对数函数duìshù hánshù

核心理念

对数函数是指数函数的反函数，其形式为$y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)。

定义

若$a^y = x$ ($a > 0, a \neq 1$)，则$y$称为以$a$为底的$x$的对数： $y = \log_a x$_

其中

• $a$是基。
• $x$是参数
• $y$是对数

属性

1.域和范围

• 域：$(0, +\infty)$_
• 范围：$\mathbb{R}$_

2.定点

所有对数函数都经过 $(1, 0)$： $\log_a 1 = 0$

3.单调性

• 当$a > 1$：$y = \log_a x$在$(0, +\infty)$上是递增的
• 当 $0 < a < 1$：$y = \log_a x$在$(0, +\infty)$上递减时

对数法则

对于 $a > 0, a \neq 1$; $M > 0, N > 0$：

1.乘积法则

_$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

2.商法则

$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

3.幂次法则

$\log_a M^n = n\log_a M$

4.基数变更公式

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

5.互易关系

$\log_a b \cdot \log_b a = 1$

6.链式法则

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

特殊对数

普通对数

以 10 为底数，用$\lg x$表示： $\lg x = \log_{10} x$

自然对数

底数 $e$ ($e \approx 2.71828$), 表示 $\ln x$： $\ln x = \log_e x$

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

计算：$\log_2 8 + \log_3 27$_

解： $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$_ $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$_ $\text{Answer: } 6$

常见误解

❌ 误解 1：错误的对数法则

错误：$\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$

正确：$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$（乘积规则）

❌ 误解 2：忘记参数必须是正数

错误：定义了 $\log_2 (-4)$

正确：参数必须是$> 0$，所以$\log_2 (-4)$未定义

学习提示

1.✅ 理解定义：对数是指数的逆运算 2.✅ 记忆法则：积、商、幂、基数变化 3.✅ 检查域：参数 $> 0$、基数 $> 0$和 $\neq 1$。 4.✅练习：掌握计算技巧

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💡 考试提示：对数函数是 CSCA 的必考内容！必须掌握对数法则。约占函数问题的 20%。