等差数列děngchā shùliè

核心概念

等差数列是数学中最基础的数列类型之一。从第二项开始，任意项与其前一项之间的差值始终等于同一个常数，该常数称为公差，通常用 表示$d$

。

数学定义

对于序列$\{a_n\}$

，若存在常数$d$

满足：

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

则该序列$\{a_n\}$

称为等差数列，其中$d$

即为公差。

通项公式

等差数列的第 $n$

项可通过首项$a_1$

与公差 表示：

**$d$

推导过程**

$a_n = a_1 + (n-1)d$

：

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

-$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

• ...

$a_n = a_1 + (n-1)d$

项和公式$n$

前 项的和存在两种常用公式：

公式1（利用首项与末项）： $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

公式2（利用首项与公差）：

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

重要性质

性质1：算术平均

若$a$

,$b$

,$c$

构成等差数列，则：$b = \frac{a + c}{2}$

即$b$

是 与$a$

的**$c$

算术平均数**。

性质2：指数性质

若$m + n = p + q$

（其中$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

）则：

特别 $a_m + a_n = a_p + a_q$

地，若 $m + n = 2p$

则：

$a_m + a_n = 2a_p$

性质3：和性质

前$n$

项的和可视为首项与末项平均值的 倍$n$

：

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

现实应用

应用1：银行储蓄

问题：明每月存500元，持续12个月。12个月后总存款额是多少？

分析：每月存款构成等比数列，公比为$a_1 = 500$

，$d = 500$

公差为$n = 12$

。

解法： $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

应用2：剧院座位

问题：剧院第一排有20个座位，每排座位数比前一排多2个。若共有30排，总座位数是多少？

分析：

• 首项 $a_1 = 20$

• 公差 $d = 2$

• 项数
  **$n = 30$

解法**： $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

CSCA练习题

> 💡 注：以下练习题依据CSCA考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题1：基础题（难度★★☆☆☆）

等差数列 $\{a_n\}$

中，$a_3 = 7$

且$a_7 = 15$

。求$a_{10}$

。

选项：

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

详细解法：

方法一：运用通项公式

1. 由通项公式得： -$a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① -$a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ② 2. ② - ①得：$4d = 8$

，故 $d = 2$

3. 代入①得：$a_1 + 4 = 7$

，故 $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

答案：B

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例题2：中级（难度★★★☆☆）

在等差数列$\{a_n\}$

中，$S_5 = 25$

且$S_{10} = 100$

。求$S_{15}$

。

选项：

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

详细解法：

方法：利用公差为0时，(a+b)S_{15} - S_{10}$$S_{10} - S_5$$S_5

= b + 2a 且 (a+b) = b + 2a 的性质：

-S_5 = 25$$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75

• 公差：

因此$75 - 25 = 50$

：

**答案$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

：C**

常见误区

❌ 误区1：公差可以为零吗？

解答：数学上，当 $d = 0$

时，该序列属于常数序列，严格来说仍属于等差数列。但CSCA考试中，"等差数列"通常默认$d \neq 0$

（除非另有说明）。

❌ 误区2：等差数列是否总是递增的？

解答：未必！ -$d > 0$

→ 递增序列 -$d < 0$

→ 递减序列 -$d = 0$

→ 常数序列

❌ 误区三：与等比数列混淆

核心区别：

• 等差数列：相邻项差值恒定（$a_{n+1} - a_n = d$

）

• 等比数列：相邻项比值恒定（$\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

）

学习要点

1. ✅ 掌握公式 - 通项公式与总和公式是基础
2. ✅ 理解公差性质 - 公差可为正、负或零
3. ✅ 练习性质应用 - 尤其算术平均数与指数性质
4. ✅ 解决各类问题 - 算术数列常与函数、不等式结合
5. ✅ 对比等比数列 - 明确两者差异

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💡 备考要诀：等差数列是CSCA数学考试的高频考点，约占数列题目的60%。每日练习2-3道相关题目确保掌握。