等差数列děngchā shùliè

核心理念

等差数列是数学中最基本的数列类型之一。从第二项开始，任何一项与前一项之差都等于同一个常数，称为公差（公差），通常用$d$表示。

数学定义

对于一个数列 $\{a_n\}$, 如果存在一个常数 $d$ 使得：

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

则数列 $\{a_n\}$ 称为算术数列，以 $d$ 为公差。

一般项公式

算术级数的 $n$_ 项可以用第一项 $a_1$ 和公差 $d$ 来表示：

$a_n = a_1 + (n-1)d$_

Derivation：

• $a_2 = a_1 + d$
• $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$_
• $a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$
• ...
• $a_n = a_1 + (n-1)d$

求和公式

第一个 $n$ 项的和有两个常用公式：

公式 1（使用首项和末项）： 公式 2__

公式 2（使用首项和公差）： $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$_

重要性质

属性 1: 算术平均数

如果$a$, $b$,$c$组成一个算术序列, 那么： $b = \frac{a + c}{2}$

即$b$是$a$和$c$的算术平均数。

性质 2：指数性质

若$m + n = p + q$ (其中$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$), 则： $a_m + a_n = a_p + a_q$

特别是，如果$m + n = 2p$，那么． $a_m + a_n = 2a_p$_

性质 3: 和性质

前$n$项的和可以看作$n$乘以前项和后项的平均数： $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$_

实际应用

应用 1: 银行储蓄

问题：小明每月储蓄 500 元，连续储蓄 12 个月。12 个月后的储蓄总额是多少？

分析：每月存款与$a_1 = 500$，$d = 500$，$n = 12$组成一个算术序列。

解： $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$。

应用 2: 剧院座位

问题：某剧院第一排有 20 个座位。之后的每一排都比前一排多 2 个座位。如果有 30 排，一共有多少个座位？

分析：

• 第一项_$a_1 = 20$_
• 共差 $d = 2$
• 学期数 $n = 30$

解： $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$_

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

在算术数列$\{a_n\}$，$a_3 = 7$和$a_7 = 15$中。求$a_{10}$。

选项：

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

详细解答：

方法 1：使用通项公式

1.根据通项公式：

• $a_3 = a_1 + 2d = 7$ ... ①
• $a_7 = a_1 + 6d = 15$ ... ②

2.② - ① 得出$4d = 8$，所以 $d = 2$

3.代入①：$a_1 + 4 = 7$，所以 $a_1 = 3$_。

4.$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

答案：B

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示例 2：中级（难度★★★☆☆)

在算术数列$\{a_n\}$，$S_5 = 25$和$S_{10} = 100$中。求$S_{15}$。

选项：

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

详细解答：

方法：利用$S_5$, $S_{10} - S_5$_和$S_{15} - S_{10}$_也构成算术序列的性质：

• $S_5 = 25$_
• $S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$_
• 共同差异：$75 - 25 = 50$

因此：$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$_

答案：CC

常见错误

❌错误 1：公差可以为零吗？

答：从数学上讲，当$d = 0$时，序列是一个常数序列，这在技术上是一个算术序列。然而，在 CSCA 考试中，"算术序列 "通常意味着$d \neq 0$，除非另有说明。

❌ 错误 2：算术序列总是递增的吗？

答：不一定！

• $d > 0$ → 递增序列
• $d < 0$→递减数列
• $d = 0$→常数序列

❌ 错误 3：与几何数列混淆

主要区别：

• 几何数列：连续项之间的比值是常数 ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$)。

学习提示

1.✅ 掌握公式 - 通项公式和求和公式是基础 2.✅ 理解共差 - 共差可以是正、负或零 3.✅ 练习性质 - 特别是算术平均数和指数性质 4.✅ 解决各种问题 - 算术序列经常与函数和不等式相结合 5.✅ 与几何数列比较 - 清楚地了解两者的区别

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💡 考试提示：算术序列是 CSCA 数学考试中的**高频题目，约占序列问题的 60%。每天练习 2-3 道相关问题，以确保熟练掌握。