公差gōngchā

核心概念

公差是等差数列的核心参数，代表相邻项之间的恒定差值。在等差数列中，从第二项开始，每项与其前一项的差值都等于这个固定常数。

数学定义

对于等差数列$\{a_n\}$

，其公差$d$

定义为：$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

其中$d$

是序列中所有项的常数。

性质

1. 唯一性：等差数列仅有一个公差
2. 可为正、负或零： -$d > 0$

→ 递增序列 -$d < 0$

→ 递减序列 -$d = 0$

→ 恒等序列

3. 计算公式： $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

现实应用

应用1：温度变化

问题：某周每日最高气温为：20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C。求公差。

解法：

$d = 22 - 20 = 2°C$

气温每日上升2°C，呈现等差增长。

应用2：薪资增长

问题：明首年年薪为$5000, increasing by$

500元。求等差数列的公差。

解法： 每年公差$d = 500$

此为等差数列，$a_1 = 5000$

公差为，$d = 500$

。

CSCA练习题

> 💡 注：以下练习题依据CSCA考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题1：基础题（难度★☆☆☆☆）

在等差数列$\{a_n\}$

中，$a_1 = 3$

且$a_5 = 11$

。求公差$d$

。

选项：

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

详细解答：

运用公式：

** $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

验证**：

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

-$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

答案：B

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例题2：进阶（难度 ★★★☆☆）

给定等差数列$\{a_n\}$

满足$d \neq 0$

，已知$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

和$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

，求$d$

。

详细解法：

设$a_3 = a$

（中项），则：

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

条件1： $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

条件2： $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

答案： $d = \pm 1$

常见错误

❌ 错误1：公差必须为正

纠正：公差可以是正数、负数或零。

例证：数列 10, 8, 6, 4, 2, ... 的公差为$d = -2$

（负数）。

❌ 错误2：任意两项差值皆为d

纠正：公差仅表示相邻两项的差值。

对于$a_n$

和$a_m$

（其中$n > m$

）

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ 错误3：混淆首项与公差

修正：首项$a_1$

是起始值；公差$d$

是项与项之间的变化量。二者是不同概念。

学习要点

1. ✅ 理解本质：公差描述等量变化
2. ✅ 注意符号：注意d是正数还是负数
3. ✅ 灵活计算：掌握多种求差数d的方法
4. ✅ 现实识别：发现日常生活中的等差数列规律

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💡 考试技巧：公差是等差数列的核心概念。几乎所有等差数列题目都涉及此概念。务必确保能快速准确地计算公差。