公差gōngchā

核心理念

共差**是算术级数的核心参数，代表连续项之间的常数差。在算术级数中，从第二项开始，每项与前项之差都等于这个固定常数。

数学定义

对于一个算术数列 $\{a_n\}$ ，公差 $d$ 的定义如下：

$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$_

其中$d$是算术序列中所有项的常数。

属性

1. 唯一性：算术序列只有一个公差

2. 可以是正、负或零：

   • $d > 0$→递增序列
   • $d < 0$→递减序列
   • $d = 0$ → 常序列

3. 计算公式： $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$_

实际应用

应用 1: 温度变化

问题：一周内的日最高气温是20°C、22°C、24°C、26°C、28°C、30°C、32°C。求共同差。

解： $d = 22 - 20 = 2°C$_

气温每天上升 2°C，呈算术级数增长。

应用 2：工资增长

问题：小明第一年的年薪是$5000, increasing by$500。共同差额是多少？

解：

这与$a_1 = 5000$，$d = 500$构成一个算术序列。

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试形式设计的，旨在帮助学生熟悉题型和解题方法。

###例题 1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

在一个算术序列$\{a_n\}$，$a_1 = 3$和$a_5 = 11$中。求公差$d$。

选项：

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

详细解决方案：

使用公式 $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

验证：

• $a_2 = 3 + 2 = 5$_
• $a_3 = 5 + 2 = 7$_
• _$a_4 = 7 + 2 = 9$
• $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓

答案：B

---

示例 2：高级 (难度 ★★★☆☆)

在有$d \neq 0$的算术序列$\{a_n\}$中，给定$a_1 + a_3 + a_5 = 15$和$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$，求$d$。

详细解法：

设$a_3 = a$（中间项），则：

• $a_1 = a - 2d$_
• $a_5 = a + 2d$_

条件 1： $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$_ _$3a = 15$ $a = 5$

条件 2： $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ _$5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

答案： $d = \pm 1$

常见错误

❌ 错误 1: 共差必须为正数

更正：公差可以是正、负或零。

示例：序列 10, 8, 6, 4, 2, ...有$d = -2$（负数）。

❌ 错误 2：任何两个项相差 d

更正：公差是连续项之间的差。

对于$a_n$和$a_m$，其中$n > m$： $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$_

❌ 错误 3：混淆首项与公差

更正：首项 $a_1$ 是起始值；共差 $d$ 是项与项之间的变化。它们是个不同的概念。

学习提示

1.✅ 理解本质：共同差异描述统一变化 2.✅ 符号意识：注意 d 是正数还是负数 3.✅ 灵活计算：掌握多种求 d 的方法 4.✅ 现实世界的识别：识别日常生活中的运算模式

---

💡 考试提示：共差是算术序列的基础。几乎每个算术序列问题都涉及到它。确保你能快速准确地计算它。