等比数列děngbǐ shùliè

核心概念

等比数列是指从第二项开始，每项与前一项之比都等于某个常数的数列。该常数称为公比，通常用 表示$q$

。

数学定义

对于数列$\{a_n\}$

，若存在常数$q \neq 0$

满足：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

则$\{a_n\}$

称为公比为 $q$

的等比数列。

通项公式

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

其中： -$a_1$

为首项 -$q$

为公比 -$n$

为项序号

级数求和公式

**当$q \neq 1$

**时：

**当$q = 1$

**时 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

：

$S_n = n \cdot a_1$

几何级数与等差级数

| 特征 | 几何级数 | 等差级数 | |---------|----------| 特征 | 连续项的比值恒定 | 连续项的差值恒定 | | 符号 |a_{n+1} - a_n = d$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q

| | | 通项 |$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

|$a_n = a_1 + (n-1)d$

| | 平均值 |$b^2 = ac$

(几何平均)$b = \frac{a+c}{2}$

| (算术平均) |

现实应用

应用1：细胞分裂

问题：每小时细胞分裂为2个子细胞。8小时后有多少细胞？

解法：

• 首项 $a_1 = 1$

• 公比 $q = 2$

• 8小时后：$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

个细胞

应用2：复利

问题：10,000美元按年利率5%（复利）存入银行，10年后总额是多少？

解法： $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

应用3：放射性衰变

问题：某物质每年衰变20%，初始质量100克，5年后剩余多少？

解法： $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

CSCA模拟试题

> 💡 注：以下练习题依据CSCA考试大纲及中国标准化考试形式设计，旨在帮助学生熟悉题型与解题思路。

例题1：基础题（难度★★☆☆☆）

在等比数列$\{a_n\}$

中，$a_2 = 6$

且$a_5 = 48$

。求公比$q$

。

选项：

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

详细解法：

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

答案：A

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

在等比数列$\{a_n\}$

中，$a_1 + a_2 = 3$

且$a_2 + a_3 = 6$

。求$a_5$

。

详细解法：

$a_1(1 + q) = 3$

... ①$a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

②÷①得：

代入①得$q = 2$

：

$a_1 = 1$

故：

$a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

答案：16

常见错误

❌ 错误1：等比数列必然递增

纠正：增长取决于$a_1$

和 $q$

： -$a_1 > 0, q > 1$

→ 递增 -$a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ 递减 -$q < 0$

→ 符号交替

❌ 错误2：公比可为零

纠正$q \neq 0$

：公比≠0，否则第二项起所有项皆为零。

❌ 错误3：混淆几何平均与算术平均

纠正：

• 几何平均： $b^2 = ac$

• 算术平均：

$b = \frac{a+c}{2}$

切勿混淆！

❌ 错误4：求和时忘记分类

修正：求和时务必分别考虑$q = 1$

$q \neq 1$

和 的情况。

学习要点

1. ✅ 与等差数列对比：理解"公比"与"公差"的区别
2. ✅ 掌握公式： 牢记通项公式与求和公式
3. ✅ 分情况分析：针对不同情况分别$q$

处理4. ✅ 实际应用：细胞分裂、复利计算、衰变模型等典型案例

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💡 考试技巧：几何数列与等差数列在CSCA考试中同等重要，各占数列题约50%。建议进行对比学习！