等比数列děngbǐ shùliè

核心理念

一个几何数列是这样一个数列：从第二项开始，每一项与前一项之比等于同一个常数。这个常数叫做公比，通常用 $q$ 表示。

数学定义

对于一个数列 $\{a_n\}$, 如果存在一个常数 $q \neq 0$ 使得：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

则 $\{a_n\}$ 称为具有公比 $q$ 的几何数列。

一般项公式

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

其中

• $a_1$是第一项
• $q$是公比
• $n$是项号

求和公式

当 $q \neq 1$： 当$q \neq 1$**:$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$时

当 $q = 1$ 时： 当_$S_n = n \cdot a_1$时

几何级数与算术级数

| 特征 | 几何 | 算术 | | 几何序列 |---------|-----------|------------| | 定义 | 连续项的比恒定 | 连续项的差恒定 | 连续项的差恒定 | 符号 | $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ | $a_{n+1} - a_n = d$ | | $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ | $a_{n+1} - a_n = d$ | 一般项 | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | | 平均值 | 平均值 | $b^2 = ac$ （几何平均数） | $b = \frac{a+c}{2}$ （算术平均数） | $b = \frac{a+c}{2}$

实际应用

应用 1: 细胞分裂

问题：一个细胞每小时分裂成 2 个细胞。8 小时后有多少个细胞？

解：

• 第一项 $a_1 = 1$
• 公比 $q = 2$
• 8 小时后$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$ 细胞

应用 2：复利

问题：存入 10,000 美元，年利率为 5%（复利）。10 年后的总额？

解： $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$_

应用 3: 放射性衰变

问题：物质每年衰变 20%。初始质量 100 克，5 年后剩余多少？

解： $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$_

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试的形式设计的，以帮助学生熟悉题型和解题方法。

例题 1：基础题（难度★★☆☆☆)

在几何数列$\{a_n\}$，$a_2 = 6$和$a_5 = 48$中。求公比$q$。

选项：

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

详细解答：

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$_ $48 = 6 \cdot q^3$_ $q^3 = 8$_ $q = 2$

答案：AA

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示例 2：中级（难度★★★☆☆)

在几何数列$\{a_n\}$，$a_1 + a_2 = 3$和$a_2 + a_3 = 6$中。求$a_5$。

详细解法：

$a_1(1 + q) = 3$ ... ①． $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②．

除以 ②÷①：$q = 2$_

代入 ①：$a_1 = 1$_

因此$a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

答案：16

常见错误

❌ 错误 1：几何序列总是增加的

更正：增长取决于$a_1$和$q$：

• $a_1 > 0, q > 1$→增长
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → 减少
• $q < 0$→交替符号

❌ 错误 2：公比可以为零

更正：$q \neq 0$，否则从第二项起的所有项都是零。

❌ 错误 3：混淆几何平均数和算术平均数

更正：

• 几何平均数：$b^2 = ac$
• 算术平均数：$b = \frac{a+c}{2}$_

不要混淆它们！

❌ 错误 4：求和时忘记分类

更正：求和时一定要把 $q = 1$ 和 $q \neq 1$ 分开考虑。

学习提示

1.✅ 与算术序列比较：理解 "比 "与 "差 2.✅ 掌握公式：记住一般项和公式 3.✅ 案例分析：考虑$q$的不同情况 4.✅ 实际应用：细胞分裂、复利、衰变是典型的模型

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💡 考试提示：几何序列和算术序列在 CSCA 考试中同等重要，各占序列问题的 50%左右。对它们进行比较学习！