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复数及其四则运算

Complex Numbers and Arithmetic

复数的加减乘除四则运算、共轭与模；除法通过分母实数化完成。

真题 2 题 · 2 次考试模拟卷 28 题练习 40 题

公式

  • 虚数单位

    定义
    i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1

  • 复数的模

    定义
    ∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2|z|=|a+b\mathrm{i}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

    适用条件：a, b ∈ R

    a, b
    z = a+bi 的实部与虚部（a, b ∈ R）

  • 共轭复数

    定义
    a+bi‾=a−bi,zz‾=∣z∣2\overline{a+b\mathrm{i}}=a-b\mathrm{i},\quad z\overline{z}=|z|^{2}

  • 复数除法（分母实数化）

    法则
    a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^{2}+d^{2}}

    适用条件：c+di ≠ 0

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

  1. CSCA 2026年4月数学真题
    (z−2i)(2−i)=5( z - 2 i ) ( 2 - i ) = 5 ，则 z=z =
    • A．2+3i2 + 3 i
    • B．2−3i2 - 3 i
    • C．3−2i3 - 2 i
    • D．3+2i3 + 2 i
    查看答案与解析

    答案：A

    z−2i=52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)5=2+iz - 2 i = \frac { 5 } { 2 - i } = \frac { 5 ( 2 + i ) } { ( 2 - i ) ( 2 + i ) } = \frac { 5 ( 2 + i ) } { 5 } = 2 + i 。故 z=2+i+2i=2+3iz = 2 + i + 2 i = 2 + 3 i 。
    计时做完整套：CSCA 2026年4月数学真题
  2. CSCA 2026年6月数学真题
    已知复数 z=−1+iz = -1 + i，其中 ii 为虚数单位，则 z+1z+2+z+2z+1=\frac{z+1}{z+2} + \frac{z+2}{z+1} =
    • A．32−12i\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i
    • B．32+12i\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i
    • C．12−32i\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i
    • D．1−i1 - i
    查看答案与解析

    答案：A

    z+1=iz + 1 = i，z+2=1+iz + 2 = 1 + i。z+1z+2=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+12i\frac{z+1}{z+2} = \frac{i}{1+i} = \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i；z+2z+1=1+ii=(1+i)(−i)i⋅(−i)=1−i\frac{z+2}{z+1} = \frac{1+i}{i} = \frac{(1+i)(-i)}{i \cdot (-i)} = 1 - i。两式相加得 32−12i\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i，故选 A。
    计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题

真题证据

以下为已收录真题中的考查记录；可在线核验的范围另行标明。

2 次考试共 2 题可免费在线核验 0/2 次考试
  • CSCA 2026年6月数学真题1 题该卷尚未开放阅读
  • CSCA 2026年4月数学真题1 题该卷尚未开放阅读

14 套模拟卷共 28 题——出自我们自己的卷子，属覆盖信号而非真题证据

练习题库中有 40 道相关题目免费练习：复数

真题证据取自已收录的 CSCA 真题，已排除原卷缺失的占位题；冲刺卷刻意不计入。

相关术语

复数