等差数列děngchā shùliè

แนวคิดหลัก อนุกรมเลขคณิต (等差数列) เป็นหนึ่งในประเภทของอนุกรมที่พื้นฐานที่สุดในคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากลำดับที่สอง ความแตกต่างระหว่างค่าใด ๆ กับค่าก่อนหน้าเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน ซึ่งเรียกว่า ผลต่างร่วม (公差) โดยทั่วไปจะแทนด้วย $d$ ### นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับลำดับ $\{a_n\}$ หากมีค่าคงที่ $d$ ที่ทำให้: $a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ ลำดับ $\{a_n\}$ จะเรียกว่าลำดับเลขคณิต โดยมี $d$ เป็นผลต่างร่วม ### สูตรหาผลรวมทั่วไป

ผลบวกของลำดับเลขคณิตลำดับที่ $n$ สามารถแสดงได้โดยใช้ผลบวกของลำดับแรก $a_1$ และผลต่างร่วม $d$: $a_n = a_1 + (n-1)d$ การอนุโลม: - $a_2 = a_1 + d$ - $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

• $a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$ - ... - $a_n = a_1 + (n-1)d$ ### สูตรผลรวม ผลรวมของ $n$ ครั้งแรกมีสูตรทั่วไปสองสูตร: สูตรที่ 1 (ใช้ครั้งแรกและครั้งสุดท้าย): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

สูตรที่ 2 (โดยใช้ผลบวกของสมาชิกแรกและผลต่างร่วม): $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$ ## คุณสมบัติที่สำคัญ ### คุณสมบัติที่ 1: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หาก $a$, $b$, $c$ เป็นลำดับเลขคณิต, ดังนั้น: นั่นคือ $b$ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของ $a$ และ $c$

สมบัติที่ 2: สมบัติของดัชนี หาก $m + n = p + q$ (โดยที่ $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$) แล้ว: $a_m + a_n = a_p + a_q$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หาก $m + n = 2p$ แล้ว: $a_m + a_n = 2a_p$ ### สมบัติที่ 3: สมบัติของผลรวม

ผลรวมของ $n$ ครั้งแรกสามารถมองได้ว่าเป็น $n$ เท่าของค่าเฉลี่ยระหว่างจำนวนแรกและจำนวนสุดท้าย: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ที่ 1: เงินฝากธนาคาร ปัญหา: หมิงฝากเงิน 500 หยวนทุกเดือนเป็นเวลา 12 เดือนยอดเงินออมทั้งหมดหลังจาก 12 เดือนคือเท่าไร? การวิเคราะห์: เงินฝากรายเดือนเป็นลำดับเลขคณิตที่มี $a_1 = 500$, $d = 500$, $n = 12$ วิธีแก้: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

แบบฝึกหัดที่ 2: การจัดที่นั่งในโรงละคร ปัญหา: โรงละครแห่งหนึ่งมีที่นั่งแถวแรก 20 ที่นั่ง แถวถัดไปแต่ละแถวจะมีที่นั่งมากกว่าแถวก่อนหน้า 2 ที่นั่ง หากมีทั้งหมด 30 แถว จะมีที่นั่งทั้งหมดกี่ที่นั่ง? การวิเคราะห์: - ผลบวกของสองจำนวนแรก $a_1 = 20$ - ผลต่างของจำนวนที่เท่ากัน $d = 2$

• จำนวนของเทอม $n = 30$ คำตอบ: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$ ## แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) ในอนุกรมเลขคณิต $\{a_n\}$, $a_3 = 7$ และ $a_7 = 15$ ให้หาค่า $a_{10}$ ตัวเลือก: - ก. 19

• B. 21 - C. 23 - D. 25 วิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด: วิธี 1: ใช้สูตรทั่วไปของจำนวนเฉพาะ 1. จากสูตรทั่วไปของจำนวนเฉพาะ: - $a_3 = a_1 + 2d = 7$ ... ① - $a_7 = a_1 + 6d = 15$ ... ②

2. ② - ① ให้: $4d = 8$ ดังนั้น $d = 2$ 3. แทนค่าลงใน ①: $a_1 + 4 = 7$ ดังนั้น $a_1 = 3$ 4. $a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$ คำตอบ: B ---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) ในอนุกรมเลขคณิต $\{a_n\}$, $S_5 = 25$ และ $S_{10} = 100$ ให้หาค่า $S_{15}$ ตัวเลือก: - A. 175

• B. 200 - C. 225 - D. 250 วิธีแก้โจทย์อย่างละเอียด: วิธี: ใช้สมบัติที่ว่า $S_5$, $S_{10} - S_5$ และ $S_{15} - S_{10}$ ก็เป็นอนุกรมเลขคณิตเช่นกัน:

• $S_5 = 25$ - $S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$ - ความต่างร่วม: $75 - 25 = 50$ ดังนั้น: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$ $S_{15} = 100 + 125 = 225$ คำตอบ: C ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ความต่างทั่วไปสามารถเป็นศูนย์ได้หรือไม่? คำตอบ: ทางคณิตศาสตร์ เมื่อ $d = 0$ ลำดับจะเป็น ลำดับคงที่ ซึ่งในทางเทคนิคแล้วเป็นลำดับเลขคณิต อย่างไรก็ตาม ในการสอบ CSCA คำว่า "ลำดับเลขคณิต" มักจะหมายถึง $d \neq 0$ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลำดับเลขคณิตเพิ่มขึ้นเสมอหรือไม่? คำตอบ: ไม่จำเป็น! - $d > 0$ → ลำดับเพิ่มขึ้น - $d < 0$ → ลำดับลดลง - $d = 0$ → ลำดับคงที่

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนกับลำดับเรขาคณิต ความแตกต่างที่สำคัญ: - ลำดับเลขคณิต: ความต่างระหว่างจำนวนที่ตามกันคงที่ ($a_{n+1} - a_n = d$) - ลำดับเรขาคณิต: อัตราส่วนระหว่างจำนวนที่ตามกันคงที่ ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$) ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เชี่ยวชาญสูตร - สูตรทั่วไปและสูตรผลรวมเป็นพื้นฐาน 2. ✅ เข้าใจความต่าง - อาจเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ 3. ✅ ฝึกฝนสมบัติ - โดยเฉพาะสมบัติเฉลี่ยเลขคณิตและสมบัติของดัชนี 4. ✅ แก้ปัญหาหลากหลาย - ลำดับเลขคณิตมักรวมกับฟังก์ชันและความไม่เท่ากัน
2. ✅ เปรียบเทียบกับอนุกรมเรขาคณิต - ทำความเข้าใจความแตกต่างอย่างชัดเจน --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: อนุกรมเลขคณิตเป็น หัวข้อที่ออกสอบบ่อย ในข้อสอบคณิตศาสตร์ CSCA คิดเป็นประมาณ 60% ของคำถามเกี่ยวกับอนุกรม ฝึกทำโจทย์ที่เกี่ยวข้อง 2-3 ข้อทุกวันเพื่อให้เชี่ยวชาญ