等差数列děngchā shùliè

แนวคิดหลัก

ลำดับเลขคณิต (等差数列) เป็นหนึ่งในประเภทของลำดับที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากลำดับที่สอง ความแตกต่างระหว่างลำดับใด ๆ กับลำดับก่อนหน้าจะเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน ซึ่งเรียกว่า ความต่างร่วม (公差) โดยทั่วไปจะแทนด้วย$d$

.

นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับลำดับ $\{a_n\}$

หากมีค่าคงที่$d$

ที่ทำให้:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

ลำดับ$\{a_n\}$

นี้เรียกว่าลำดับเลขคณิต โดยมี$d$

เป็นค่าต่างคงที่

สูตรหาผลรวมทั่วไป

ผลรวม$n$

ของลำดับเลขคณิตที่ตำแหน่งที่ สามารถหาได้โดยใช้ผลรวมของลำดับเลขคณิตที่ตำแหน่งที่$a_1$

และผลรวมของลำดับเลขคณิตที่ตำแหน่งที่$d$

:

การพิสูจน์

$a_n = a_1 + (n-1)d$

: -$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

-$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

• ...

$a_n = a_1 + (n-1)d$

สูตรผลรวม

ผลรวมของจำนวนแรก$n$

มีสูตรทั่วไปสองสูตร:

สูตรที่ 1 (ใช้จำนวนแรกและจำนวนสุดท้าย): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

สูตรที่ 2 (ใช้จำนวนแรกและผลต่างร่วม):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

คุณสมบัติที่สำคัญ

คุณสมบัติที่ 1: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ถ้า$a$

,$b$

,$c$

เป็นลำดับเลขคณิต, ดังนั้น:$b = \frac{a + c}{2}$

นั่นคือ$b$

คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของ$a$

และ$c$

.

สมบัติที่ 2: สมบัติของดัชนี

ถ้า$m + n = p + q$

(โดยที่$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), แล้ว:

$a_m + a_n = a_p + a_q$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $m + n = 2p$

แล้ว:

$a_m + a_n = 2a_p$

สมบัติที่ 3: สมบัติของผลรวม

ผลรวมของจำนวน$n$

แรก สามารถมองได้ว่าเป็น$n$

คูณกับค่าเฉลี่ยของจำนวนแรกและจำนวนสุดท้าย:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

การประยุกต์ใช้ 1: เงินฝากออมทรัพย์ธนาคาร

ปัญหา: หมิงฝากเงิน 500 หยวนทุกเดือนเป็นเวลา 12 เดือน เงินออมทั้งหมดหลังจาก 12 เดือนจะเป็นเท่าใด?

การวิเคราะห์: เงินฝากรายเดือนเป็นลำดับเลขคณิตที่มี$a_1 = 500$

,$d = 500$

,$n = 12$

.

วิธีแก้: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

การใช้งานที่ 2: ที่นั่งในโรงละคร

ปัญหา: โรงละครแห่งหนึ่งมีที่นั่งในแถวแรก 20 ที่นั่ง แถวถัดไปจะมีที่นั่งมากกว่าแถวก่อนหน้า 2 ที่นั่ง หากมีทั้งหมด 30 แถว จะมีที่นั่งทั้งหมดกี่ที่?

การวิเคราะห์:

• จำนวน$a_1 = 20$

แรก

• ความต่างระหว่างจำนวน$d = 2$

• จำนวนทั้งหมด$n = 30$

วิธีแก้: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

แบบฝึกหัด CSCA

> 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบข้อสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักศึกษาคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและแนวทางการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ในอนุกรมเลขคณิต$a_3 = 7$

$\{a_n\}$

และ $a_7 = 15$

หา$a_{10}$

ค่าของ

ตัวเลือก:

• ก. 19
• ข. 21
• ค. 23
• ง. 25

วิธีแก้โดยละเอียด:

วิธี 1: ใช้สูตรหาผลรวมทั่วไปของลำดับ

1. จากสูตรหาผลรวมทั่วไปของลำดับ: -$a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① -$a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

2. ② - ① ให้:$4d = 8$

, ดังนั้น $d = 2$

3. แทนค่าใน ①:$a_1 + 4 = 7$

, ดังนั้น $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

คำตอบ: B

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ในอนุกรมเลขคณิต$\{a_n\}$

,$S_5 = 25$

และ$S_{10} = 100$

. จงหา$S_{15}$

.

ตัวเลือก:

• ก. 175
• ข. 200
• ค. 225
• D. 250

วิธีแก้โดยละเอียด:

วิธี: ใช้สมบัติที่ว่า$S_5$

,$S_{10} - S_5$

, และ$S_{15} - S_{10}$

ก็เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน:

$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

• ความต่างร่วม: $75 - 25 = 50$

ดังนั้น: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

คำตอบ: C

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ความต่างร่วมสามารถเป็นศูนย์ได้หรือไม่?

คำตอบ: ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อ$d = 0$

, ลำดับนี้เป็น ลำดับคงที่ ซึ่งในทางเทคนิคแล้วเป็นลำดับเลขคณิต อย่างไรก็ตาม ในการสอบ CSCA คำว่า "ลำดับเลขคณิต" มักจะหมายถึง$d \neq 0$

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลำดับเลขคณิตเพิ่มขึ้นเสมอหรือไม่?

คำตอบ: ไม่จำเป็น! -$d > 0$

→ ลำดับเพิ่มขึ้น -$d < 0$

→ ลำดับลดลง -$d = 0$

→ ลำดับคงที่

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนกับลำดับเรขาคณิต

ความแตกต่างที่สำคัญ:

• ลำดับเลขคณิต: ความต่างระหว่างจำนวนที่ติดกันเป็นค่าคงที่ ($a_{n+1} - a_n = d$

)

• ลำดับเรขาคณิต: อัตราส่วนระหว่างจำนวนที่ติดกันเป็นค่าคงที่ ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เชี่ยวชาญสูตร - สูตรทั่วไปและสูตรผลรวมเป็นพื้นฐาน
2. ✅ เข้าใจความต่างทั่วไป - อาจเป็นบวก ลบ หรือศูนย์
3. ✅ ฝึกฝนสมบัติ - โดยเฉพาะสมบัติเฉลี่ยเลขคณิตและสมบัติของดัชนี
4. ✅ แก้ปัญหาหลากหลาย - ลำดับเลขคณิตมักใช้ร่วมกับฟังก์ชันและความไม่เท่ากัน
5. ✅ เปรียบเทียบกับอนุกรมเรขาคณิต - ทำความเข้าใจความแตกต่างอย่างชัดเจน

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: อนุกรมเลขคณิตเป็น หัวข้อที่ออกสอบบ่อย ในข้อสอบคณิตศาสตร์ CSCA คิดเป็นประมาณ 60% ของคำถามเกี่ยวกับอนุกรม ฝึกทำโจทย์ที่เกี่ยวข้อง 2-3 ข้อทุกวันเพื่อให้เชี่ยวชาญ