公差gōngchā

แนวคิดหลัก ความต่างร่วม เป็นพารามิเตอร์หลักของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งแสดงถึงความต่างคงที่ระหว่างแต่ละสมาชิกที่เรียงตามลำดับ ในอนุกรมเลขคณิต เริ่มจากสมาชิกที่สอง ความต่างระหว่างแต่ละสมาชิกกับสมาชิกก่อนหน้าจะเท่ากับค่าคงที่นี้

นิยามทางคณิตศาสตร์ สำหรับลำดับเลขคณิต $\{a_n\}$ ความต่างร่วม $d$ ถูกนิยามว่า: $d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ โดยที่ $d$ เป็น ค่าคงที่ สำหรับทุกสมาชิกในลำดับ

คุณสมบัติ 1. ความเป็นเอกลักษณ์: ลำดับเลขคณิตมีค่าต่างร่วมเพียงค่าเดียว 2. สามารถเป็นบวก ลบ หรือศูนย์: - $d > 0$ → ลำดับเพิ่มขึ้น - $d < 0$ → ลำดับลดลง - $d = 0$ → ลำดับคงที่ 3. *สูตรการคำนวณ: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$ ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ที่ 1: การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ ปัญหา: อุณหภูมิสูงสุดรายวันในหนึ่งสัปดาห์คือ: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°Cหาความต่างร่วม วิธีแก้: $d = 22 - 20 = 2°C$ อุณหภูมิเพิ่มขึ้น 2°C ทุกวัน แสดงการเติบโตแบบเลขคณิต ### การประยุกต์ใช้ 2: การเติบโตของเงินเดือน โจทย์: เงินเดือนปีแรกของหมิงคือ $5000, increasing by$500 ต่อปี ความต่างร่วมคือเท่าไร?

*วิธีแก้: ความต่างร่วม $d = 500$ ต่อปี ซึ่งก่อให้เกิดอนุกรมเลขคณิตที่มี $a_1 = 5000$, $d = 500$.

CSCA แบบฝึกหัด > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา ### ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★☆☆☆☆)

ในลำดับเลขคณิต $\{a_n\}$, $a_1 = 3$ และ $a_5 = 11$ ให้หาผลต่างร่วม $d$ ตัวเลือก: - A. 1 - B. 2 - C. 3 - D. 4 วิธีทำอย่างละเอียด:

โดยใช้สูตร: $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$ การตรวจสอบ: - $a_2 = 3 + 2 = 5$ - $a_3 = 5 + 2 = 7$ - $a_4 = 7 + 2 = 9$ - $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓ คำตอบ: B ---

ตัวอย่าง 2: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★☆☆) ในลำดับเลขคณิต $\{a_n\}$ ที่มี $d \neq 0$ โดยให้ $a_1 + a_3 + a_5 = 15$ และ $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$ ให้หาค่า $d$ วิธีแก้โดยละเอียด:

ให้ $a_3 = a$ (ตัวกลาง) แล้ว: - $a_1 = a - 2d$ - $a_5 = a + 2d$ เงื่อนไขที่ 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

เงื่อนไข 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$ คำตอบ: $d = \pm 1$ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ความแตกต่างทั่วไปต้องเป็นบวก

*การแก้ไข: ความแตกต่างทั่วไปอาจเป็นบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์ ตัวอย่าง: ลำดับ 10, 8, 6, 4, 2, ... มี $d = -2$ (ลบ) ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: สองจำนวนใด ๆ จะต่างกันด้วย d

*การแก้ไข: ความต่างร่วมคือความต่างระหว่าง จำนวนที่ตามมาติดต่อกัน เท่านั้น สำหรับ $a_n$ และ $a_m$ ที่ $n > m$: $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$ ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างจำนวนแรกกับความต่างร่วม

*การแก้ไข: เงื่อนไขแรก $a_1$ คือค่าเริ่มต้น; ส่วนต่างร่วม $d$ คือการเปลี่ยนแปลงระหว่างเงื่อนไข. พวกมันคือ แนวคิดที่แตกต่างกัน. ## คำแนะนำการศึกษา 1. ✅ เข้าใจแก่นสาร: ส่วนต่างร่วมอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่สม่ำเสมอ 2. ✅ ตระหนักถึงสัญลักษณ์:สังเกตว่า d เป็นบวกหรือลบ 3. ✅ การคำนวณที่ยืดหยุ่น: ฝึกฝนวิธีการหลายวิธีในการหาค่า d 4. ✅ การรับรู้ในโลกจริง: ระบุรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: ความต่างร่วมเป็นพื้นฐานของอนุกรมเลขคณิต เกือบทุกปัญหาอนุกรมเลขคณิตเกี่ยวข้องกับมัน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ