公差gōngchā

แนวคิดหลัก

ความต่างร่วม เป็นพารามิเตอร์หลักของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งแสดงถึงความต่างคงที่ระหว่างจำนวนถัดไปในอนุกรม ในอนุกรมเลขคณิต เริ่มจากจำนวนที่สอง ความต่างระหว่างแต่ละจำนวนกับจำนวนก่อนหน้าจะเท่ากับค่าคงที่นี้

นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับอนุกรมเลขคณิต ความต่าง$\{a_n\}$

ร่วม$d$

นิยามดังนี้:$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

ที่$d$

เป็น ค่าคงที่ สำหรับทุกสมาชิกในลำดับ

สมบัติ

1. ความเป็นเอกลักษณ์: ลำดับเลขคณิตมีค่าต่างร่วมเพียงค่าเดียว
2. สามารถเป็นบวก ลบ หรือศูนย์: -$d > 0$

→ ลำดับเพิ่มขึ้น -$d < 0$

→ ลำดับลดลง -$d = 0$

→ ลำดับคงที่

3. สูตรการคำนวณ: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

การประยุกต์ใช้ที่ 1: การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ

ปัญหา: อุณหภูมิสูงสุดรายวันในหนึ่งสัปดาห์คือ: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. หาค่าความต่างร่วม.

วิธีแก้:

อุณหภูมิ $d = 22 - 20 = 2°C$

เพิ่มขึ้น 2°C ทุกวัน แสดงการเติบโตแบบเลขคณิต

การประยุกต์ใช้ 2: การเติบโตของเงินเดือน

ปัญหา: เงินเดือนปีแรกของหมิงคือ$5000, increasing by$

500 ต่อปี ความต่างเฉลี่ยคือเท่าไร?

วิธีแก้: ความต่าง$d = 500$

เฉลี่ย ต่อปี

นี่เป็นลำดับเลขคณิตที่มี$a_1 = 5000$

,$d = 500$

.

CSCA แบบฝึกหัด

> 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★☆☆☆☆)

ในลำดับเลขคณิต$\{a_n\}$

,$a_1 = 3$

และ$a_5 = 11$

. หาผลต่างร่วม$d$

.

ตัวเลือก:

• ก. 1
• ข. 2
• ค. 3
• ง. 4

วิธีแก้โดยละเอียด:

ใช้สูตร:

**การตรวจสอบ $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

**:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

-$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

คำตอบ: B

---

ตัวอย่าง 2: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

ในอนุกรมเลขคณิต$\{a_n\}$

โดยที่$d \neq 0$

, ให้$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

และ$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

หา $d$

.

วิธีแก้โดยละเอียด:

ให้$a_3 = a$

(ตัวกลาง) แล้ว:

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

เงื่อนไขที่ 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

เงื่อนไขที่ 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

คำตอบ: $d = \pm 1$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ความต่างร่วมต้องเป็นบวก

การแก้ไข: ความต่างร่วมสามารถเป็นบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์ก็ได้

ตัวอย่าง: ลำดับ 10, 8, 6, 4, 2, ... มี$d = -2$

(ลบ).

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: สองพจน์ใด ๆ ต่างกันด้วย d

การแก้ไข: ความต่างร่วมคือความต่างระหว่าง พจน์ที่ติดกัน เท่านั้น

สำหรับ$a_n$

และ$a_m$

โดยที่$n > m$

:

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างพจน์แรกกับความต่างร่วม

การแก้ไข: ค่าแรก$a_1$

คือค่าเริ่มต้น; ค่าต่างร่วม$d$

คือค่าที่เปลี่ยนแปลงระหว่างค่าต่างๆ พวกมันคือ แนวคิดที่แตกต่างกัน

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจแก่นแท้: ค่าต่างร่วมอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่สม่ำเสมอ
2. ✅ ตระหนักถึงสัญลักษณ์: สังเกตว่า d เป็นบวกหรือลบ
3. ✅ การคำนวณที่ยืดหยุ่น: เชี่ยวชาญหลายวิธีในการหา d
4. ✅ การรับรู้ในโลกจริง: ระบุรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: ความต่างร่วมเป็นพื้นฐานของอนุกรมเลขคณิต เกือบทุกปัญหาอนุกรมเลขคณิตเกี่ยวข้องกับมัน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ