等比数列děngbǐ shùliè

แนวคิดหลัก

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่เมื่อเริ่มจากสมาชิกที่สองเป็นต้นไป อัตราส่วนของสมาชิกแต่ละตัวกับสมาชิกก่อนหน้าเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน ค่าคงที่นี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม ซึ่งโดยทั่วไปจะแทนด้วย$q$

.

นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับลำดับ หาก$\{a_n\}$

มีค่าคงที่$q \neq 0$

ที่ทำให้:

ลำดับ${a_n}$$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$$

นี้เรียกว่า ลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม$q$

.

สูตรทั่วไป

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

ของลำดับ

โดยที่: -$a_1$

คือผลรวมของลำดับแรก -$q$

คืออัตราส่วนร่วม -$n$

คือลำดับที่

สูตรผลรวม

**เมื่อ$q \neq 1$

**:

** $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

เมื่อ$q = 1$

**:

$S_n = n \cdot a_1$

ลำดับเรขาคณิตกับลำดับเลขคณิต

| ลักษณะ | เรขาคณิต | เลขคณิต | |---------|----------|-|------------| | นิยาม | อัตราส่วน ของจำนวนที่ตามกันมีค่าคงที่ | ความต่าง ของจำนวนที่ตามกันมีค่าคงที่ | | สัญลักษณ์ |$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

|$a_{n+1} - a_n = d$

| | จำนวนทั่วไป |$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

|$a_n = a_1 + (n-1)d$

| | ค่าเฉลี่ย |$b^2 = ac$

(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต) |$b = \frac{a+c}{2}$

(ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) |

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

การประยุกต์ใช้ที่ 1: การแบ่งเซลล์

ปัญหา: เซลล์หนึ่งเซลล์แบ่งตัวทุกชั่วโมงเป็น 2 เซลล์ หลังจาก 8 ชั่วโมงจะมีเซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์?

วิธีแก้:

• จำนวนแรก -$a_1 = 1$

อัตราส่วนร่วม$q = 2$

• หลังจาก 8 ชั่วโมง:$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

เซลล์

การประยุกต์ใช้ที่ 2: ดอกเบี้ยทบต้น

ปัญหา: ฝากเงิน $10,000 ที่อัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี (ทบต้น) ยอดรวมหลังจาก 10 ปี?

วิธีแก้: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

การประยุกต์ 3: การสลายกัมมันตรังสี

ปัญหา: สารสลายตัว 20% ต่อปี มวลเริ่มต้น 100 กรัม เหลือหลังจาก 5 ปี?

วิธีแก้: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

แบบฝึกหัด CSCA

> 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบข้อสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักศึกษาคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและแนวทางการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ในลำดับเรขาคณิต$\{a_n\}$

,$a_2 = 6$

และ$a_5 = 48$

. จงหาอัตราส่วนร่วม$q$

.

ตัวเลือก:

• ก. 2
• ข. 3
• ค. 4
• ง. 8

วิธีทำอย่างละเอียด:

**

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

คำตอบ: ก. 2**

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ในลำดับเรขาคณิต$\{a_n\}$

,$a_1 + a_2 = 3$

และ$a_2 + a_3 = 6$

. ให้หา$a_5$

.

วิธีทำอย่างละเอียด:

$a_1(1 + q) = 3$

... ①$a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

หาร ②÷①:

$q = 2$

แทนค่าลงใน ①: $a_1 = 1$

ดังนั้น: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

คำตอบ: 16

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลำดับเรขาคณิตเพิ่มขึ้นเสมอ

การแก้ไข: การเติบโตขึ้นอยู่กับทั้ง$a_1$

และ$q$

: -$a_1 > 0, q > 1$

→ เพิ่มขึ้น -$a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ ลดลง -$q < 0$

→ สลับสัญญาณ

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: อัตราส่วนร่วมอาจเป็นศูนย์ได้

การแก้ไข:$q \neq 0$

มิฉะนั้นทุกพจน์ตั้งแต่ที่สองเป็นต้นไปจะเป็นศูนย์

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

การแก้ไข:

• ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต: $b^2 = ac$

• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

อย่าสับสน$b = \frac{a+c}{2}$

ระหว่างสองค่านี้!

❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: ลืมจำแนกเมื่อรวมผล

การแก้ไข: พิจารณา$q = 1$

และ$q \neq 1$

แยกกันเสมอเมื่อหาผลรวม

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เปรียบเทียบกับอนุกรมเลขคณิต: เข้าใจ "อัตราส่วน" กับ "ความต่าง"

2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร: จำสูตรทั่วไปและสูตรผลรวม

3. ✅ การวิเคราะห์กรณี: พิจารณาหลายกรณีสำหรับ$q$

4. ✅ การประยุกต์ใช้จริง: การแบ่งเซลล์, ดอกเบี้ยทบต้น, การสลายตัวเป็นแบบจำลองทั่วไป

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: ลำดับเรขาคณิตและลำดับเลขคณิตมีความสำคัญเท่าเทียมกันในการสอบ CSCA โดยแต่ละลำดับคิดเป็นประมาณ 50% ของปัญหาลำดับทั้งหมด ศึกษาเปรียบเทียบกัน!