等比数列děngbǐ shùliè

แนวคิดหลัก ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่เมื่อเริ่มจากลำดับที่สองเป็นต้นไป อัตราส่วนของแต่ละลำดับกับลำดับก่อนหน้าเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน ค่าคงที่นี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม ซึ่งโดยทั่วไปจะแทนด้วย $q$

นิยามทางคณิตศาสตร์ สำหรับลำดับ $\{a_n\}$ หากมีค่าคงที่ $q \neq 0$ ที่ทำให้: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$ แล้ว $\{a_n\}$ จะเรียกว่าลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $q$

สูตรทั่วไป $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ โดยที่: - $a_1$ คือผลรวมของจำนวนแรก - $q$ คืออัตราส่วนร่วม - $n$ คือลำดับของจำนวน

สูตรการรวมผล เมื่อ $q \neq 1$: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$ เมื่อ $q = 1$: $S_n = n \cdot a_1$ ## ลำดับเรขาคณิตกับลำดับเลขคณิต | คุณลักษณะ | เรขาคณิต | เลขคณิต |

|---------|-----------|------------| | คำนิยาม | อัตราส่วน ของจำนวนที่ต่อเนื่องกันคงที่ | ความต่าง ของจำนวนที่ต่อเนื่องกันคงที่ | | สัญลักษณ์ | $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ | $a_{n+1} - a_n = d$ | | คำศัพท์ทั่วไป | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | | ค่าเฉลี่ย | $b^2 = ac$ (ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต) | $b = \frac{a+c}{2}$ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) | ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ที่ 1: การแบ่งเซลล์

*ปัญหา: เซลล์หนึ่งแบ่งตัวทุกชั่วโมงเป็น 2 เซลล์ หลังจาก 8 ชั่วโมงจะมีเซลล์ทั้งหมดกี่เซลล์? วิธีแก้: - จำนวนแรก $a_1 = 1$ - อัตราส่วนร่วม $q = 2$ - หลังจาก 8 ชั่วโมง: $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$ เซลล์ ### การประยุกต์ 2: ดอกเบี้ยทบต้น

*ปัญหา: ฝากเงิน $10,000 ที่อัตราดอกเบี้ย 5$16,288.95$$ ### การประยุกต์ 3: การสลายกัมมันตรังสี ปัญหา: สารสลายตัว 20% ต่อปี มวลเริ่มต้น 100 กรัม เหลือหลังจาก 5 ปี?

*วิธีแก้ปัญหา: สูตรทางคณิตศาสตร์ 5 ### แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักศึกษาคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและแนวทางการแก้ปัญหา ### ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ในลำดับเรขาคณิต $\{a_n\}$, $a_2 = 6$ และ $a_5 = 48$ ให้หาอัตราส่วนร่วม $q$ ตัวเลือก: - ก. 2 - ข. 3 - ค. 4

• D. 8 วิธีแก้โดยละเอียด: $a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$ คำตอบ: A --- ### ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ในลำดับเรขาคณิต $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$ และ $a_2 + a_3 = 6$ ให้หาค่า $a_5$

*วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด: $a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ② หาร ②÷①: $q = 2$ แทนค่าลงใน ①: $a_1 = 1$ ดังนั้น: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

คำตอบ: 16 ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลำดับเรขาคณิตจะเพิ่มขึ้นเสมอ การแก้ไข: การเติบโตขึ้นอยู่กับทั้ง $a_1$ และ $q$:

• $a_1 > 0, q > 1$ → เพิ่มขึ้น - $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → ลดลง - $q < 0$ → สลับเครื่องหมาย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: อัตราส่วนร่วมอาจเท่ากับศูนย์ การแก้ไข: $q \neq 0$ มิฉะนั้นทุกพจน์ตั้งแต่พจน์ที่สองเป็นต้นไปจะเท่ากับศูนย์

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิต การแก้ไข: - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต: $b^2 = ac$ - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต: $b = \frac{a+c}{2}$ อย่าสับสนระหว่างสองค่านี้! ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: ลืมจำแนกประเภทเมื่อรวมผล

*การแก้ไข: ให้พิจารณา $q = 1$ และ $q \neq 1$ แยกกันเสมอเมื่อหาผลรวม ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เปรียบเทียบกับอนุกรมเลขคณิต: เข้าใจ "อัตราส่วน" กับ "ความต่าง" 2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร: จดจำสูตรทั่วไปและสูตรผลรวม 3.✅ การวิเคราะห์กรณี: พิจารณาหลายกรณีสำหรับ $q$ 4. ✅ การประยุกต์ใช้จริง: การแบ่งเซลล์, ดอกเบี้ยทบต้น, การสลายตัวเป็นแบบจำลองทั่วไป --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: ลำดับเรขาคณิตและลำดับเลขคณิตมีความสำคัญเท่าเทียมกันในการสอบ CSCA โดยแต่ละลำดับคิดเป็นประมาณ 50% ของปัญหาลำดับทั้งหมด ศึกษาเปรียบเทียบกัน!