奇偶性qī'ǒuxìng

핵심 개념

홀짝성은 함수의 대칭 성질을 나타낸다. 함수는 짝함수, 홀함수, 또는 둘 다 아닐 수 있다.

전제 조건: 함수가 홀짝성을 가지려면, 정의역이 원점에 대해 대칭이어야 한다 ($x$가 정의역에 속하면 $-x$도 정의역에 속해야 한다).

정의

짝함수 (偶函数)

함수 $f$가 짝함수인 조건: $f(-x) = f(x) \quad \text{정의역의 모든 } x \text{에 대해}$

그래프 성질: 그래프가 y축에 대해 대칭이다.

홀함수 (奇函数)

함수 $f$가 홀함수인 조건: $f(-x) = -f(x) \quad \text{정의역의 모든 } x \text{에 대해}$

그래프 성질: 그래프가 원점에 대해 대칭이다.

홀함수의 특별한 성질

$f$가 홀함수이고 $0$이 정의역에 속하면, $f(0) = 0$이다.

증명: $f(0) = f(-0) = -f(0)$이므로 $2f(0) = 0$, 따라서 $f(0) = 0$.

일반 함수와 홀짝성

함수	홀짝성	검증
$y = x^n$ ($n$이 짝수)	짝함수	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$이 홀수)	홀함수	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	홀함수	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	짝함수	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	홀함수	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	둘 다 아님	$a^{-x} \neq a^x$이고 $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	둘 다 아님	정의역이 대칭이 아님

홀짝성 판별 방법

단계별 과정

1. 정의역 대칭 확인: $x$가 정의역에 있을 때 $-x$도 있는가?
2. $f(-x)$ 계산: 함수에 $-x$를 대입
3. $f(x)$와 $-f(x)$와 비교:
   • $f(-x) = f(x)$이면 → 짝함수
   • $f(-x) = -f(x)$이면 → 홀함수
   • 그 외 → 짝함수도 홀함수도 아님

예제 1: 짝함수

$f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$의 홀짝성을 판별하시오.

단계 1: 정의역은 $\mathbb{R}$, 원점에 대해 대칭. ✓

단계 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

결론: $f$는 짝함수이다.

예제 2: 홀함수

$f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$의 홀짝성을 판별하시오.

단계 1: 정의역은 $\mathbb{R}$, 원점에 대해 대칭. ✓

단계 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

결론: $f$는 홀함수이다.

예제 3: 둘 다 아님

$f(x) = x + 1$의 홀짝성을 판별하시오.

단계 1: 정의역은 $\mathbb{R}$, 대칭. ✓

단계 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

$f(-x) \neq f(x)$이고 $f(-x) \neq -f(x)$이므로:

결론: $f$는 짝함수도 홀함수도 아니다.

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 교과과정에 기반하여 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = x^3 - x$의 홀짝성을 판별하시오.

해설: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

정답: 홀함수

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x)$가 홀함수이고 $f(2) = 3$일 때, $f(-2) + f(0)$을 구하시오.

해설:

$f$가 홀함수이므로:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (홀함수의 성질)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

정답: $-3$

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예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$가 홀함수일 때, $b$와 $d$의 값을 구하시오.

해설:

홀함수 조건: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

비교: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

필요 조건: $bx^2 = -bx^2$이고 $d = -d$

따라서: $b = 0$이고 $d = 0$

정답: $b = 0$, $d = 0$

홀짝성과 연산

함수의 합

$f$	$g$	$f + g$
짝	짝	짝
홀	홀	홀
짝	홀	일반적으로 둘 다 아님

함수의 곱

$f$	$g$	$f \cdot g$
짝	짝	짝
홀	홀	짝
짝	홀	홀

흔한 실수

❌ 실수 1: 정의역 대칭 무시

오류: $f(x) = \sqrt{x}$는 $\sqrt{x} \geq 0$이므로 짝함수이다 ✗

정답: 정의역 $[0, +\infty)$는 원점에 대해 대칭이 아니므로 홀짝성을 논할 수 없다. ✓

❌ 실수 2: 홀함수에서 $f(0) = 0$ 잊기

$f$가 홀함수이고 $x = 0$에서 정의되면, $f(0) = 0$이다.

❌ 실수 3: 하나의 값만 확인

오류: $f(1) = f(-1)$이므로 $f$는 짝함수이다. ✗

정답: 정의역의 모든 $x$에 대해 $f(-x) = f(x)$를 확인해야 한다. ✓

학습 팁

1. ✅ 정의역 먼저 확인: 원점에 대한 대칭이 필요
2. ✅ 대수적 검증 사용: 그래프에만 의존하지 말 것
3. ✅ 특별한 성질 기억: 홀함수는 원점을 지남
4. ✅ 곱셈 규칙 숙지: 홀 × 홀 = 짝

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💡 시험 팁: 다항식에서 홀함수는 홀수 차수 항만, 짝함수는 짝수 차수 항만 가진다!