奇偶性qī'ǒuxìng

핵심 개념

짝수성은 함수의 대칭성을 나타냅니다. 함수는 짝함수, 홀함수, 또는 그 어느 쪽도 아닐 수 있습니다.

필수 조건: 함수가 짝수성을 가지려면, 그 정의역이 원점을 중심으로 대칭이어야 한다(즉, $x$가 정의역에 속한다면 $-x$도 정의역에 속해야 한다).

정의

짝함수 (偶函数)

함수 $f$는 다음의 경우 짝수이다: $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

그래프의 성질: 이 그래프는 y축을 중심으로 대칭이다.

홀함수 (奇函数)

함수 $f$는 다음의 경우 홀수이다: $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

그래프의 성질: 이 그래프는 원점을 중심으로 대칭이다.

홀함수의 특별한 성질

$f$가 홀수이고 $0$가 해당 영역에 속한다면, $f(0) = 0$도 해당 영역에 속한다.

증명: $f(0) = f(-0) = -f(0)$이므로, $2f(0) = 0$이고, 따라서 $f(0) = 0$이다.

일반적인 함수와 그 패리티

함수	패리티	검증
$y = x^n$ ($n$ 포함)	심지어	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ 홀수)	이상한	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	심지어	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	이상한	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	심지어	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	이상한	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	둘 다 아님	$a^{-x} \neq a^x$ 및 $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	둘 다 아님	도메인이 대칭적이지 않음

패리티를 판별하는 방법

단계별 절차

1. 도메인 대칭성 확인: $x$가 도메인에 속할 때마다 $-x$도 도메인에 속하는가?
2. $f(-x)$ 계산: 함수에 $-x$를 대입하십시오.
3. $f(x)$ 및 $-f(x)$와 비교:
   • $f(-x) = f(x)$인 경우 → 짝수
   • $f(-x) = -f(x)$인 경우 → 홀수
   • 그렇지 않으면 → 둘 다 아님

예 1: 짝함수

$f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$의 패리티를 구하시오.

1단계: 도메인은 $\mathbb{R}$이며, 이는 원점을 축으로 대칭이다. ✓

2단계: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

결론: $f$는 균형 잡힌 제품입니다.

예 2: 홀함수

$f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$의 패리티를 구하시오.

1단계: 도메인은 $\mathbb{R}$이며, 원점을 대칭축으로 한다. ✓

2단계: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

결론: $f$는 특이하다.

예 3: 둘 다 아님

$f(x) = x + 1$의 패리티를 구하십시오.

1단계: 도메인은 $\mathbb{R}$이며, 대칭형입니다. ✓

2단계: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

$f(-x) \neq f(x)$ 및 $f(-x) \neq -f(x)$의 경우:

결론: $f$는 짝수도 홀수도 아니다.

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 출제 범위를 바탕으로 구성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = x^3 - x$의 패리티를 구하시오.

해결책: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

답: 홀함수

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x)$가 홀함수이고 $f(2) = 3$일 때, $f(-2) + f(0)$를 구하시오.

해결책:

$f$는 홀수이므로:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (홀함수의 성질)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

답: $-3$

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예제 3: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$가 홀함수라면, $b$와 $d$의 값을 구하시오.

해결책:

홀수 함수의 경우: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

비교 대상: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

이를 위해서는 $bx^2 = -bx^2$ 및 $d = -d$가 필요합니다.

따라서: $b = 0$ 및 $d = 0$

답: $b = 0$, $d = 0$

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예제 4: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$가 성립한다면, $f(x)$가 홀수임을 증명하시오.

해결책:

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

이제 $f(x) + f(-x)$를 계산해 봅시다: $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

따라서: $f(-x) = -f(x)$

결론: $f(x)$는 좀 특이하다.

패리티와 연산

함수의 합

$f$	$g$	$f + g$
심지어	심지어	심지어
이상한	이상한	이상한
심지어	이상한	둘 다 아님 (일반적으로)

함수의 곱

$f$	$g$	$f \cdot g$
심지어	심지어	심지어
이상한	이상한	심지어
심지어	이상한	이상한

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 도메인 대칭성을 간과하는 것

틀림: $f(x) = \sqrt{x}$는 짝수이다. 왜냐하면 $\sqrt{x} \geq 0$ ✗이기 때문이다.

정답: 도메인 $[0, +\infty)$는 원점을 중심으로 대칭이 아니므로, 패리티는 정의되지 않습니다. ✓

❌ 실수 2: 홀함수에서 $f(0) = 0$를 잊어버리는 것

$f$가 홀수이고 $x = 0$에서 정의되어 있다면, $f(0) = 0$도 마찬가지이다.

❌ 실수 3: 하나의 값만 확인하기

틀림: $f(1) = f(-1)$이므로, $f$는 짝수입니다. ✗

정답: 도메인 내의 모든 $x$에 대해 $f(-x) = f(x)$를 반드시 확인해야 합니다. ✓

공부 요령

1. ✅ 먼저 도메인을 확인하세요: 원점에 대한 대칭성이 필요합니다
2. ✅ 대수적 검증을 활용하세요: 그래프에만 의존하지 마세요
3. ✅ 특수한 성질을 기억하세요: 홀함수는 원점을 지나갑니다
4. ✅ 제품 규칙 숙지: 홀수 × 홀수 = 짝수

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💡 시험 팁: 다항식의 경우, 홀수 함수는 홀수 차 항만 포함하고, 짝수 함수는 짝수 차 항만 포함합니다!