排列páiliè

Konsep Pokok

Permutasi adalah susunan $m$ elemen ($m \leq n$) yang dipilih dari $n$ elemen yang berbeda dalam urutan tertentu.

Karakteristik Utama

1. Urutan itu penting: Urutan yang berbeda dianggap sebagai permutasi yang berbeda
2. Tanpa pengulangan: Setiap elemen digunakan paling banyak sekali
3. Pemilihan: Pilih $m$ dari elemen-elemen $n$ ($m \leq n$)

Rumus Permutasi

Permutasi Umum

Jumlah permutasi elemen-elemen $m$ yang terbentuk dari $n$ elemen yang berbeda, yang dilambangkan dengan $A_n^m$ atau $P_n^m$ atau $P(n,m)$:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Pemahaman:

• Posisi 1: Pilihan $n$
• Posisi 2: Pilihan $n-1$
• ...
• Posisi $m$: Pilihan $n-m+1$

Berdasarkan prinsip perkalian: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Permutasi Penuh

Ketika $m = n$, yang disebut permutasi penuh:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Konvensi: $0! = 1$

Nilai-Nilai Bersama

$n$	$n!$
$0$	$1$
$1$	$1$
$2$	$2$
$3$	$6$
$4$	$24$
$5$	$120$
$6$	$720$

Permutasi Khusus

1. Gangguan

Jumlah permutasi di mana tidak ada elemen yang berada pada posisi aslinya:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Perkiraan: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Permutasi Sirkular

Menyusun elemen-elemen $n$ yang berbeda dalam bentuk lingkaran:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Tidak ada titik awal yang tetap, dibagi oleh $n$)

3. Permutasi dengan Pengulangan

Elemen $n$ identik dengan $n_1$, identik dengan $n_2$, ..., identik dengan $n_k$ ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Teknik Perhitungan

Teknik 1: Perkalian Langkah demi Langkah

Contoh: Pilih 3 orang dari 10 orang untuk menjabat sebagai presiden, wakil presiden, dan sekretaris. Berapa banyak cara yang mungkin?

Solusi:

• Presiden: 10 pilihan
• Wakil presiden: 9 pilihan
• Sekretaris: 8 pilihan

Jawaban: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Teknik 2: Tangani Elemen Khusus Terlebih Dahulu

Contoh: Ada 5 orang yang berbaris, orang A harus berada di urutan pertama. Berapa banyak kemungkinan susunannya?

Solusi:

• Yang pertama tetap: 1 arah
• Susun 4 yang tersisa: $4! = 24$

Jawaban: $1 \times 24 = 24$

Teknik 3: Penghitungan Komplementer

Contoh: Ada 5 orang yang berbaris, A dan B tidak berdampingan. Berapa banyak kemungkinan susunannya?

Solusi:

• Jumlah paket: $5! = 120$
• A dan B bersebelahan (dianggap sebagai satu kesatuan): $2! \times 4! = 48$
• Tidak bersebelahan: $120 - 48 = 72$

Jawaban: $72$

Soal-soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Hitung $A_6^3$.

Solusi:

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Atau

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Jawaban: $120$

---

[Contoh 2] Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

5 orang berbaris untuk berfoto; A dan B harus berdiri berdampingan. Berapa banyak cara?

Solusi:

Metode pengelompokan:

1. Anggap A dan B sebagai satu unit, susun 4 unit: $4! = 24$
2. Susun A dan B secara internal: $2! = 2$

Jawaban: $24 \times 2 = 48$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Mengacaukan permutasi dan kombinasi

Salah: Tidak memperhitungkan urutan, menganggap permutasi sebagai kombinasi

Benar: Permutasi bersifat terurut, sedangkan kombinasi bersifat tidak terurut

❌ Kesalahpahaman ke-2: Melupakan batasan-batasan khusus

Salah: Mengabaikan kondisi seperti "angka pertama tidak boleh 0"

Benar: Tangani posisi atau elemen khusus terlebih dahulu

Hubungan dengan Kombinasi

$A_n^m = C_n^m \times m!$

Pemahaman:

• Pilih $m$ dari $n$: $C_n^m$
• Susunlah elemen-elemen $m$ ini: $m!$

Tips Belajar

1. ✅ Memahami inti: Permutasi menekankan urutan
2. ✅ Rumus utama: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
3. ✅ Teknik latihan: Elemen khusus terlebih dahulu, pengelompokan, penyisipan, pelengkap
4. ✅ Analisis kasus: Masalah yang kompleks memerlukan klasifikasi

---

💡 Tips Ujian: Permutasi merupakan konsep dasar dalam kombinatorika, dan wajib dikuasai dalam ujian CSCA! Topik ini mencakup sekitar 40% dari soal-soal perhitungan. Menguasai analisis kasus dan teknik penanganan khusus merupakan kunci keberhasilan.