排列páiliè

Konsep Dasar

Sebuah Permutasi adalah susunan elemen$m$

($m \leq n$

) yang dipilih dari elemen$n$

yang berbeda dalam urutan tertentu.

Ciri-ciri Utama

1. Urutan penting: Urutan yang berbeda dianggap sebagai permutasi yang berbeda
2. Tanpa pengulangan: Setiap elemen digunakan paling banyak sekali
3. Pemilihan: Memilih$m$

dari$n$

elemen ($m \leq n$

)

Rumus Permutasi

Permutasi Umum

Jumlah permutasi dari$m$

elemen dari elemen$n$

yang berbeda, dilambangkan dengan$A_n^m$

atau$P_n^m$

atau$P(n,m)$

:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Pemahaman:

• Posisi 1: pilihan$n$

• Posisi 2: pilihan$n-1$

• ...

• Posisi$m$

:$n-m+1$

pilihan

Dengan prinsip perkalian:

Permutasi Penuh

Ketika$m = n$

,$A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

disebut permutasi penuh:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Konvensi: $0! = 1$

Nilai Umum

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

Permutasi Khusus

1. Derangement

Jumlah permutasi di mana tidak ada elemen yang berada di posisi aslinya:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Perkiraan: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Permutasi Lingkaran

Menata elemen$n$

yang berbeda dalam lingkaran:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Tidak ada titik awal tetap, bagi dengan$n$

)

3. Permutasi dengan Pengulangan

$n$

elemen dengan$n_1$

sama,$n_2$

sama, ...,$n_k$

sama ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Teknik Perhitungan

Teknik 1: Perkalian Bertahap

Contoh: Pilih 3 orang dari 10 untuk presiden, wakil presiden, dan sekretaris. Berapa banyak cara?

Solusi:

• Presiden: 10 pilihan
• Wakil presiden: 9 pilihan
• Sekretaris: 8 pilihan

Jawaban: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Teknik 2: Tangani Elemen Khusus Terlebih Dahulu

Contoh: 5 orang dalam barisan, orang A harus di depan. Berapa banyak cara?

Solusi:

• A tetap di depan: 1 cara
• Atur 4 orang sisanya: $4! = 24$

Jawaban: $1 \times 24 = 24$

Teknik 3: Perhitungan Komplementer

Contoh: 5 orang dalam barisan, A dan B tidak berdekatan. Berapa banyak cara?

Solusi:

• Total susunan: $5! = 120$

• A dan B berdekatan (dianggap sebagai satu): $2! \times 4! = 48$

• Tidak berdekatan:$120 - 48 = 72$

Jawaban: $72$

Soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Hitung$A_6^3$

.

Solusi: Atau

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Jawaban:

---$120$

[Contoh 2] Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

5 orang berbaris untuk foto, A dan B harus berdiri bersama. Berapa banyak cara?

Solusi:

Metode pengelompokan:

1. Anggap A dan B sebagai satu unit, atur 4 unit: $4! = 24$

2. Atur A dan B secara internal: $2! = 2$

Jawaban:$24 \times 2 = 48$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Mengacaukan permutasi dan kombinasi

Salah: Tidak mempertimbangkan urutan, menganggap permutasi sebagai kombinasi

Benar: Permutasi adalah berurutan, kombinasi adalah tidak berurutan

❌ Kesalahpahaman 2: Melupakan batasan khusus

Salah: Mengabaikan kondisi seperti "digit pertama tidak boleh 0"

Benar: Tangani posisi atau elemen khusus terlebih dahulu

Hubungan dengan

$A_n^m = C_n^m \times m!$

Kombinasi

Pemahaman:

• Pilih$m$

dari$n$

: $C_n^m$

• Atur elemen-elemen$m$

ini: $m!$

Tips Belajar

1. ✅ Pahami esensi: Permutasi menekankan urutan

2. ✅ Kuasai rumus:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Latih teknik: Elemen khusus terlebih dahulu, pengelompokan, penyisipan, pelengkap

4. ✅ Analisis kasus: Masalah kompleks memerlukan klasifikasi

---

💡 Tips Ujian: Permutasi merupakan dasar kombinatorika, wajib dalam CSCA! Mencakup sekitar 40% masalah perhitungan. Menguasai analisis kasus dan teknik penanganan khusus adalah kunci.