排列páiliè

Konsep Inti

Sebuah Permutasi adalah susunan elemen $m$ ($m \leq n$) yang dipilih dari $n$ elemen yang berbeda dalam urutan tertentu.

Karakteristik Utama

1. Urutan sangat penting: Pesanan yang berbeda dihitung sebagai permutasi yang berbeda
2. Tidak ada pengulangan: Setiap elemen hanya digunakan paling banyak satu kali
3. Pemilihan: Pilih $m$ dari elemen $n$ ($m \leq n$)

Rumus Permutasi

Permutasi Umum

Jumlah permutasi elemen $m$ dari $n$ elemen yang berbeda, dilambangkan dengan $A_n^m$ atau $P_n^m$ atau $P(n,m)$:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Pengertian:

• Posisi 1: Pilihan $n$
• Posisi 2: $n-1$ pilihan
• ...
• Posisi $m$: pilihan $n-m+1$

Dengan prinsip perkalian: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Permutasi Penuh

Ketika $m = n$, disebut permutasi penuh:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Konvensi: $0! = 1$

Nilai Umum

$n$	$n!$
$0$	$1$
$1$	$1$
$2$	$2$
$3$	$6$
$4$	$24$
$5$	$120$
$6$	$720$

Permutasi Khusus

1. Pengacauan

Jumlah permutasi di mana tidak ada elemen yang berada di posisi semula:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Perkiraan: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Permutasi Melingkar

Mengatur $n$ elemen-elemen yang berbeda dalam sebuah lingkaran:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Tidak ada titik awal yang pasti, bagi dengan $n$)

3. Permutasi dengan Pengulangan

elemen-elemen $n$ dengan $n_1$ identik, $n_2$ identik, ..., $n_k$ identik ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Teknik Perhitungan

Teknik 1: Perkalian Langkah-demi-Langkah

Contoh: Pilihlah 3 orang dari 10 orang untuk menjadi presiden, wakil presiden, dan sekretaris. Ada berapa cara?

Penyelesaian:

• Presiden 10 pilihan
• Wakil presiden: 9 pilihan
• Sekretaris: 8 pilihan

Jawaban $10 \times 9 \times 8 = 720$

Teknik 2: Tangani Elemen Khusus Terlebih Dahulu

Contoh: 5 orang dalam satu barisan, orang A harus menjadi yang pertama. Ada berapa cara?

Penyelesaian:

• A ditetapkan terlebih dahulu: 1 cara
• Susunlah 4 cara yang tersisa: RUMUS MATEMATIKA_51

Jawaban $1 \times 24 = 24$

Teknik 3: Menghitung Komplementer

Contoh: 5 orang dalam satu barisan, A dan B tidak berdekatan. Ada berapa cara?

Solusi:

• Total susunan: $5! = 120$
• A dan B berdekatan (anggap saja sebagai satu): $2! \times 4! = 48$
• Tidak berdekatan: $120 - 48 = 72$

Jawaban $72$

Soal-soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Hitunglah $A_6^3$.

Penyelesaian:

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Atau

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Jawaban: $120$

---

[Contoh 2] Menengah (Tingkat kesulitan ★★★☆☆)

5 orang berbaris untuk berfoto, A dan B harus berdiri bersama. Ada berapa banyak cara?

Penyelesaian:

Metode pengelompokan:

1. Perlakukan A dan B sebagai satu unit, susunlah 4 unit: $4! = 24$
2. Susun A dan B secara internal: $2! = 2$

Jawab: $24 \times 2 = 48$

Kesalahpahaman Umum

❌ Miskonsepsi 1: Membingungkan antara permutasi dan kombinasi

Salah: Tidak mempertimbangkan urutan, memperlakukan permutasi sebagai kombinasi

Benar: Permutasi adalah tertata, kombinasi adalah tidak terurut

❌ Miskonsepsi 2: Melupakan batasan khusus

Salah: Mengabaikan kondisi seperti "digit pertama tidak boleh 0"

Benar: Menangani posisi atau elemen khusus terlebih dahulu

hubungan ## dengan Kombinasi

$A_n^m = C_n^m \times m!$

Pemahaman:

• Pilih $m$ dari $n$: $C_n^m$
• Susun elemen-elemen $m$ ini: $m!$

Kiat-kiat Belajar

1. pahami esensi**: Permutasi menekankan pada keteraturan
2. ✅ Menguasai rumus: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
3. ✅ Teknik latihan: Elemen khusus pertama, pengelompokan, penyisipan, pelengkap
4. ✅ Analisis kasus: Masalah yang kompleks memerlukan klasifikasi

---

💡 Tips Ujian: Permutasi adalah dasar dari kombinatorika, wajib dipelajari di CSCA! Menyumbang sekitar 40% dari masalah penghitungan. Menguasai analisis kasus dan teknik penanganan khusus adalah kuncinya.