组合zǔhé

Konsep Dasar

Sebuah kombinasi adalah pemilihan$m$

elemen ($m \leq n$

) dari elemen$n$

yang berbeda tanpa memperhatikan urutan.

Ciri-ciri Utama

1. Urutan tidak penting: Elemen yang sama dalam urutan yang berbeda dihitung sebagai satu kombinasi
2. Tanpa pengulangan: Setiap elemen digunakan paling banyak sekali
3. Pemilihan: Memilih$m$

dari$n$

elemen ($m \leq n$

)

Perbedaan dengan Permutasi

• Permutasi: Berurutan,$\{A, B, C\}$

dan$\{B, A, C\}$

berbeda

• Kombinasi: Tidak berurutan,$\{A, B, C\}$

dan$\{B, A, C\}$

sama

Rumus Kombinasi

Jumlah kombinasi dari$m$

elemen dari elemen$n$

yang berbeda, dilambangkan dengan$C_n^m$

atau$\binom{n}{m}$

atau$C(n,m)$

:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Pemahaman:

• Atur terlebih dahulu: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• Hapus urutan internal: $A_m^m = m!$

• Hasil:$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Sifat-sifat Kombinasi

1.

$C_n^m = C_n^{n-m}$

Simetri

Arti: Memilih$m$

dari$n$

= Memilih$n-m$

dari$n$

2. Identitas Pascal

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Arti: Termasuk elemen tertentu + Menghilangkan elemen tertentu

3. Nilai Khusus

-$C_n^0 = 1$

(memilih tidak ada, satu arah) -$C_n^1 = n$

(memilih satu,$n$

pilihan) -$C_n^n = 1$

(memilih semua, satu arah)

4. Jumlah$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

Binomial

(Jumlah cara memilih sejumlah elemen dari$n$

)

Teknik Perhitungan

Teknik 1: Gunakan

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

Simetri### Teknik 2: Identitas

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

Pascal### Teknik 3: Sederhanakan dengan

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

Pembatalan

Soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Hitung$C_7^3$

.

Solusi:

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Jawaban: $35$

---

[Contoh 2] Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Dari 10 laki-laki dan 8 perempuan, pilih 5 orang untuk tim dengan minimal 2 perempuan. Berapa banyak cara?

Solusi:

Analisis kasus:

Kasus 1: 2 perempuan, 3 laki-laki:

$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

Kasus 2: 3 perempuan, 2 laki-laki: $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

Kasus 3: 4 perempuan, 1 laki-laki: $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

Kasus 4: 5 perempuan, 0 laki-laki: $C_8^5 = 56$

Jawaban: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Mengacaukan kombinasi dengan permutasi

Salah: Menggunakan$C_n^5$

untuk mengatur 5 orang dalam barisan

Benar: Barisan memiliki urutan, harus menggunakan$A_n^5$

❌ Kesalahpahaman 2: Melupakan analisis kasus

Salah: Langsung menghitung "setidaknya 2 perempuan"

Benar: Membagi menjadi kasus: 2 perempuan, 3 perempuan, 4 perempuan, 5 perempuan

Hubungan dengan Permutasi

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

Tips Belajar

1. ✅ Pahami esensi: Kombinasi mengabaikan urutan

2. ✅ Kuasai rumus:$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ Ingat sifat-sifat: Simetri, Identitas Pascal

4. ✅ Analisis kasus: "Setidaknya", "paling banyak" memerlukan analisis kasus

5. ✅ Bedakan dari permutasi: Periksa apakah urutan penting

---

💡 Tips Ujian: Kombinasi adalah kunci dalam kombinatorika, wajib dalam CSCA! Mencakup sekitar 60% masalah perhitungan. Analisis kasus dan prinsip inklusi-eksklusi adalah teknik esensial.