arithmetic sequence | CSCA Math Glossary

Konsep Dasar

Deret aritmetika (等差数列) merupakan salah satu jenis deret paling dasar dalam matematika. Mulai dari suku kedua, selisih antara setiap suku dan suku sebelumnya sama dengan konstanta yang sama, yang disebut selisih umum (公差), biasanya dilambangkan dengan $d$

Definisi Matematis

Untuk suatu deret $\{a_n\}$

, jika terdapat konstanta $d$

sehingga:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Maka deret $\{a_n\}$

disebut deret aritmetika, dengan $d$

sebagai selisih umum.

Rumus Suku Umum

Suku $n$

ke- dari deret aritmetika dapat diekspresikan menggunakan suku $a_1$

pertama dan selisih umum $d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Derivasi:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Rumus Jumlah

Jumlah dari suku $n$

pertama memiliki dua rumus umum:

Rumus 1 (menggunakan suku pertama dan terakhir): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Rumus 2 (menggunakan suku pertama dan selisih umum):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Sifat Penting

Sifat 1: Rata-rata Aritmetika

Jika $a$

, $b$

, $c$

merupakan deret aritmetika, maka: $b = \frac{a + c}{2}$

Artinya, $b$

adalah rata-rata aritmetika dari $a$

dan $c$

Sifat 2: Sifat Indeks

Jika $m + n = p + q$

(di mana $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), maka:

$a_m + a_n = a_p + a_q$

Secara khusus, jika $m + n = 2p$

, maka:

$a_m + a_n = 2a_p$

Sifat 3: Sifat Jumlah

Jumlah suku $n$

pertama dapat dilihat sebagai $n$

kali rata-rata suku pertama dan terakhir:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Tabungan Bank

Masalah: Ming menabung 500 yuan setiap bulan selama 12 bulan. Berapa total tabungan setelah 12 bulan?

Analisis: Setoran bulanan membentuk deret aritmetika dengan $a_1 = 500$

, $d = 500$

, $n = 12$

Solusi: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Aplikasi 2: Penempatan Kursi di Teater

Masalah: Sebuah teater memiliki 20 kursi di baris pertama. Setiap baris berikutnya memiliki 2 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Jika ada 30 baris, berapa total kursi yang ada?

Analisis:

Suku $a_1 = 20$

pertama

Selisih umum $d = 2$
Jumlah suku $n = 30$

Solusi: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

Soal Latihan CSCA

> 💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Dalam deret $\{a_n\}$

aritmetika , $a_3 = 7$

dan $a_7 = 15$

. Temukan $a_{10}$

Pilihan:

A. 19
B. 21
C. 23
D. 25

Solusi Terperinci:

Metode 1: Menggunakan rumus suku umum

Dari rumus suku umum: - $a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① - $a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

② - ① memberikan: $4d = 8$

, sehingga $d = 2$

Substitusi ke ①: $a_1 + 4 = 7$

, sehingga $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Jawaban: B

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret $\{a_n\}$

aritmetika , $S_5 = 25$

dan $S_{10} = 100$

. Temukan $S_{15}$

Pilihan:

A. 175
B. 200
C. 225
D. 250

Penyelesaian Terperinci:

Metode: Menggunakan sifat bahwa $S_5$

, $S_{10} - S_5$

, dan $S_{15} - S_{10}$

juga membentuk deret aritmetika:

$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

Selisih umum:

Oleh $75 - 25 = 50$

karena itu: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Jawaban: C

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Apakah selisih umum bisa nol?

Jawaban: Secara matematis, ketika $d = 0$

, deret tersebut merupakan deret konstan, yang secara teknis merupakan deret aritmetika. Namun, dalam ujian CSCA, "deret aritmetika" biasanya mengacu pada $d \neq 0$

kecuali dinyatakan lain.

❌ Kesalahan 2: Apakah deret aritmetika selalu monoton naik?

Jawaban: Tidak selalu! - $d > 0$

→ urutan monoton naik - $d < 0$

→ urutan monoton turun - $d = 0$

→ urutan konstan

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan dengan urutan geometris

Perbedaan Utama:

Urutan aritmetika: selisih antara dua suku berturut-turut konstan ( $a_{n+1} - a_n = d$

)

Urutan geometris: rasio antara dua suku berturut-turut konstan ( $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

Tips Belajar

✅ Kuasai rumus-rumusnya - Rumus suku umum dan jumlah suku sangat penting
✅ Pahami selisih umum - Bisa positif, negatif, atau nol
✅ Latih sifat-sifatnya - Terutama rata-rata aritmetika dan sifat indeks
✅ Selesaikan berbagai soal - Deret aritmetika sering dikombinasikan dengan fungsi dan ketidaksetaraan
✅ Bandingkan dengan deret geometri - Pahami perbedaan dengan jelas

💡 Tips Ujian: Deret aritmetika adalah topik yang sering muncul dalam ujian matematika CSCA, menyumbang sekitar 60% dari soal deret. Latih 2-3 soal terkait setiap hari untuk memastikan penguasaan.

等差数列děngchā shùliè