等差数列děngchā shùliè

Konsep Inti

Barisan aritmetika (等差数列) adalah salah satu jenis barisan yang paling mendasar dalam matematika. Mulai dari suku kedua, selisih antara suku mana pun dan suku sebelumnya sama dengan konstanta yang sama, yang disebut perbedaan umum (公差), biasanya dilambangkan dengan $d$.

Definisi Matematika

Untuk sebuah barisan $\{a_n\}$, jika ada konstanta $d$ yang sedemikian rupa:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Maka barisan $\{a_n\}$ disebut barisan aritmetika, dengan $d$ sebagai selisih umum.

Rumus Istilah Umum

Suku ke-15 dari barisan aritmetika dapat dinyatakan dengan menggunakan suku pertama $a_1$ dan selisih umum $d$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Derivasi:

• $a_2 = a_1 + d$
• $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
• $a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$
• ...
• $a_n = a_1 + (n-1)d$

Rumus Penjumlahan

Jumlah dari suku $n$ pertama memiliki dua rumus umum:

Rumus 1 (menggunakan suku pertama dan terakhir): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Rumus 2 (menggunakan suku pertama dan selisih umum): $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Properti Penting

Properti 1: Rata-rata Aritmatika

Jika $a$, $b$, $c$ membentuk deret aritmatika, maka: $b = \frac{a + c}{2}$

Artinya, $b$ adalah rata-rata aritmatika dari $a$ dan $c$.

Properti 2: Properti Indeks

Jika $m + n = p + q$ (di mana $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$), maka: $a_m + a_n = a_p + a_q$

Khususnya, jika $m + n = 2p$, maka: $a_m + a_n = 2a_p$

Properti 3: Properti Penjumlahan

Jumlah suku $n$ pertama dapat dilihat sebagai $n$ dikalikan dengan rata-rata suku pertama dan terakhir: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Tabungan Bank

Masalah: Ming menabung 500 yuan setiap bulan selama 12 bulan. Berapa total tabungannya setelah 12 bulan?

Analisis: Simpanan bulanan membentuk deret aritmetika dengan $a_1 = 500$, $d = 500$, $n = 12$.

Solusi: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Aplikasi 2: Tempat Duduk Teater

Masalah: Sebuah teater memiliki 20 kursi di baris pertama. Setiap baris berikutnya memiliki 2 kursi lebih banyak dari baris sebelumnya. Jika ada 30 baris, berapa banyak kursi yang tersedia secara keseluruhan?

Analisis:

• Suku pertama $a_1 = 20$
• Selisih umum $d = 2$
• Jumlah suku $n = 30$

Solusi: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan tipe soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Dalam urutan aritmatika $\{a_n\}$, $a_3 = 7$ dan $a_7 = 15$. Temukan $a_{10}$.

Opsi:

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

Solusi Terperinci:

Metode 1: Menggunakan rumus istilah umum

1. Dari rumus istilah umum:

   • $a_3 = a_1 + 2d = 7$ ... ①
   • $a_7 = a_1 + 6d = 15$ ... ②

2. ② - ① memberikan: $4d = 8$, jadi $d = 2$

3. Mengganti ke dalam ①: $a_1 + 4 = 7$, jadi $a_1 = 3$

4. $a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Jawab: B

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam sebuah barisan aritmatika $\{a_n\}$, $S_5 = 25$ dan $S_{10} = 100$. Temukan $S_{15}$.

Opsi:

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

Solusi Terperinci:

Metode: Menggunakan properti bahwa $S_5$, $S_{10} - S_5$, dan $S_{15} - S_{10}$ juga membentuk sebuah deret aritmatika:

• $S_5 = 25$
• $S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$
• Perbedaan umum: $75 - 25 = 50$

Oleh karena itu: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Jawaban: C

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Dapatkah selisih umum menjadi nol?

Jawaban: Secara matematis, ketika $d = 0$, deret tersebut adalah deret konstan, yang secara teknis merupakan deret aritmatika. Namun, dalam ujian CSCA, "deret aritmatika" biasanya berarti $d \neq 0$ kecuali jika ditentukan lain.

Kesalahan 2: Apakah deret aritmetika selalu bertambah?

Jawaban: Belum tentu!

• $d > 0$ → barisan naik
• $d < 0$ → barisan menurun
• $d = 0$ → deret konstan

❌ Kesalahan 3: Bingung dengan deret geometri

Perbedaan Kunci:

• Deret aritmetika: selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan ($a_{n+1} - a_n = d$)
• Deret geometri: perbandingan antara suku-suku yang berurutan adalah konstan ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$)

Kiat-kiat Belajar

1. kuasai rumus-rumus** - Rumus suku dan penjumlahan umum sangat penting
2. ✅ Pahami perbedaan umum - Bisa positif, negatif, atau nol
3. ✅ Mempraktikkan properti - Terutama rata-rata aritmatika dan properti indeks
4. ✅ Memecahkan berbagai masalah - Deret aritmatika sering kali digabungkan dengan fungsi dan pertidaksamaan
5. ✅ Bandingkan dengan deret geometri - Pahami perbedaannya dengan jelas

---

💡 Tip Ujian: Deret aritmatika adalah topik dengan frekuensi tinggi dalam ujian matematika CSCA, mencakup sekitar 60% dari soal-soal deret. Berlatihlah 2-3 soal terkait setiap hari untuk memastikan penguasaan Anda.