公差gōngchā

Konsep Pokok

Selisih tetap merupakan parameter utama dari deret aritmetika, yang mewakili selisih konstan antara suku-suku yang berurutan. Dalam deret aritmetika, mulai dari suku kedua, selisih antara setiap suku dengan suku sebelumnya sama dengan konstanta tetap ini.

Definisi Matematis

Untuk deret aritmetika $\{a_n\}$, selisih umum $d$ didefinisikan sebagai:

$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

di mana $d$ merupakan konstanta untuk semua suku dalam deret tersebut.

Sifat-sifat

1. Keunikan: Deret aritmetika hanya memiliki satu selisih tetap

2. Bisa positif, negatif, atau nol:

   • $d > 0$ → urutan naik
   • $d < 0$ → urutan menurun
   • $d = 0$ → urutan konstan

3. Rumus perhitungan: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Aplikasi di Dunia Nyata

Aplikasi 1: Perubahan Suhu

Soal: Suhu tertinggi harian selama seminggu adalah: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. Tentukan selisih tetapnya.

Solusi: $d = 22 - 20 = 2°C$

Suhu meningkat sebesar 2°C setiap hari, yang menunjukkan pertumbuhan aritmetika.

Aplikasi 2: Kenaikan Gaji

Soal: Gaji tahun pertama Ming adalah $5000, increasing by$500 per tahun. Berapa selisih umum angka-angka tersebut?

Solusi: Selisih umum $d = 500$ per tahun

Hal ini membentuk deret aritmetika yang terdiri dari $a_1 = 5000$ dan $d = 500$.

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis soal dan pendekatan dalam memecahkan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★☆☆☆☆)

Dalam deret aritmetika $\{a_n\}$, $a_1 = 3$, dan $a_5 = 11$, tentukan selisih umum $d$.

Pilihan:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Penjelasan Terperinci:

Dengan menggunakan rumus: $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Verifikasi:

• $a_2 = 3 + 2 = 5$
• $a_3 = 5 + 2 = 7$
• $a_4 = 7 + 2 = 9$
• $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓

Jawaban: B

---

Contoh 2: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret aritmetika $\{a_n\}$ hingga $d \neq 0$, dengan $a_1 + a_3 + a_5 = 15$ dan $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$ yang telah diketahui, tentukan nilai $d$.

Penjelasan Lengkap:

Misalkan $a_3 = a$ (bagian tengah), maka:

• $a_1 = a - 2d$
• $a_5 = a + 2d$

Syarat 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Syarat 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Jawaban: $d = \pm 1$

Kesalahan yang Sering Terjadi

❌ Kesalahan 1: Selisih umum harus positif

Koreksi: Selisih umum dapat bernilai positif, negatif, atau nol.

Contoh: Deret 10, 8, 6, 4, 2, ... memiliki kode $d = -2$ (negatif).

❌ Kesalahan 2: Dua suku mana pun memiliki selisih sebesar d

Koreksi: Selisih umum adalah selisih antara suku-suku yang berurutan saja.

Untuk $a_n$ dan $a_m$, di mana $n > m$: $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan suku pertama dengan selisih umum

Koreksi: Suku pertama $a_1$ adalah nilai awal; selisih umum $d$ adalah selisih antara suku-suku. Keduanya merupakan konsep yang berbeda.

Tips Belajar

1. ✅ Memahami intinya: Perbedaan umum menggambarkan perubahan yang seragam
2. ✅ Perhatikan tanda: Perhatikan apakah d bernilai positif atau negatif
3. ✅ Perhitungan fleksibel: Kuasai berbagai metode untuk mencari d
4. ✅ Pengenalan dalam kehidupan nyata: Mengidentifikasi pola-pola aritmatika dalam kehidupan sehari-hari

---

💡 Kiat Ujian: Selisih umum merupakan konsep dasar dalam deret aritmetika. Hampir setiap soal deret aritmetika melibatkan konsep ini. Pastikan kamu bisa menghitungnya dengan cepat dan akurat.