公差gōngchā

Konsep Inti

Beda umum adalah parameter inti dari barisan aritmetika, yang merepresentasikan perbedaan konstan antara suku-suku yang berurutan. Dalam deret aritmetika, mulai dari suku kedua, selisih antara setiap suku dengan suku sebelumnya sama dengan konstanta tetap ini.

Definisi Matematis

Untuk barisan aritmetika $\{a_n\}$, selisih umum $d$ didefinisikan sebagai:

$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

di mana $d$ adalah konstanta untuk semua suku dalam deret tersebut.

Properti

1. Keunikan: Barisan aritmetika hanya memiliki satu perbedaan umum

2. Bisa positif, negatif, atau nol:

   • $d > 0$ → barisan naik
   • $d < 0$ → barisan menurun
   • $d = 0$ → deret konstan

3. Rumus perhitungan: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Perubahan Suhu

Masalah: Suhu tinggi harian selama seminggu adalah: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. Temukan perbedaan yang umum.

Penyelesaian: $d = 22 - 20 = 2°C$

Suhu meningkat 2°C setiap hari, menunjukkan pertumbuhan aritmatika.

Aplikasi 2: Pertumbuhan Gaji

Masalah: Gaji tahun pertama Ming adalah $5000, increasing by$500 per tahun. Apa perbedaan umumnya?

Solusi: Selisih umum $d = 500$ per tahun

Ini membentuk deret aritmatika dengan $a_1 = 5000$, $d = 500$.

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan tipe soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★☆☆☆☆)

Dalam urutan aritmatika $\{a_n\}$, $a_1 = 3$ dan $a_5 = 11$. Temukan selisih umum $d$.

Pilihan jawaban:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Solusi Terperinci:

Menggunakan rumus: $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Verifikasi:

• $a_2 = 3 + 2 = 5$
• $a_3 = 5 + 2 = 7$
• $a_4 = 7 + 2 = 9$
• $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓

Jawab: B

---

Contoh 2: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret aritmatika $\{a_n\}$ dengan $d \neq 0$, diberikan $a_1 + a_3 + a_5 = 15$ dan $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$, temukan $d$.

Solusi Terperinci:

Maka, jadikan $a_3 = a$ (suku tengah):

• $a_1 = a - 2d$
• $a_5 = a + 2d$

Kondisi 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Kondisi 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Jawaban: $d = \pm 1$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Selisih umum harus positif

Koreksi: Selisih umum bisa positif, negatif, atau nol.

Contoh: Urutan 10, 8, 6, 4, 2, ... memiliki $d = -2$ (negatif).

Kesalahan 2: Setiap dua suku berbeda dengan d

Koreksi: Perbedaan yang umum adalah perbedaan antara kedua suku yang berurutan saja.

Untuk $a_n$ dan $a_m$ di mana $n > m$: $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan suku pertama dengan selisih biasa

Koreksi: Suku pertama $a_1$ adalah nilai awal; selisih umum $d$ adalah perubahan antar suku. Keduanya merupakan konsep yang berbeda.

Kiat-kiat Belajar

1. pahami esensinya**: Perbedaan umum menggambarkan perubahan yang seragam
2. ✅ Kesadaran tanda: Perhatikan apakah d positif atau negatif
3. ✅ Perhitungan yang fleksibel: Kuasai berbagai metode untuk menemukan d
4. ✅ Pengenalan dunia nyata: Mengidentifikasi pola aritmatika dalam kehidupan sehari-hari

---

💡 Tip Ujian: Perbedaan umum merupakan hal mendasar dalam barisan aritmetika. Hampir setiap soal deret aritmetika melibatkannya. Pastikan Anda dapat menghitungnya dengan cepat dan akurat.