公差gōngchā

Konsep Dasar

Perbedaan umum adalah parameter utama dalam deret aritmetika, yang mewakili selisih konstan antara dua suku berturut-turut. Dalam deret aritmetika, mulai dari suku kedua, selisih antara setiap suku dan suku sebelumnya sama dengan konstanta tetap ini.

Definisi Matematis

Untuk deret$\{a_n\}$

aritmetika , perbedaan umum$d$

didefinisikan sebagai:$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

di mana$d$

adalah konstan untuk semua suku dalam deret.

Sifat-sifat

1. Kekhasan: Deret aritmetika hanya memiliki satu perbedaan umum
2. Dapat positif, negatif, atau nol: -$d > 0$

→ deret naik -$d < 0$

→ deret turun -$d = 0$

→ deret konstan

3. Rumus perhitungan: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Perubahan Suhu

Masalah: Suhu tertinggi harian selama seminggu adalah: 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C. Temukan selisih umum.

Solusi:

$d = 22 - 20 = 2°C$

Suhu meningkat 2°C setiap hari, menunjukkan pertumbuhan aritmetika.

Aplikasi 2: Pertumbuhan Gaji

Masalah: Gaji tahunan Ming pada tahun pertama adalah$5000, increasing by$

500. Berapa selisih umum?

Solusi: Selisih umum$d = 500$

per tahun

Ini membentuk deret aritmetika dengan$a_1 = 5000$

,$d = 500$

.

Soal Latihan CSCA

> 💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★☆☆☆☆)

Dalam deret$\{a_n\}$

aritmetika ,$a_1 = 3$

dan$a_5 = 11$

. Temukan selisih umum$d$

.

Pilihan:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Solusi Terperinci:

Menggunakan rumus:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Verifikasi:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

Jawaban: B

---

Contoh 2: Lanjutan (Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret$\{a_n\}$

aritmetika dengan$d \neq 0$

, diberikan$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

dan$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

, temukan$d$

.

Penyelesaian Terperinci:

Misalkan$a_3 = a$

(suku tengah), maka:

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

Kondisi 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Kondisi 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Jawaban: $d = \pm 1$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Selisih umum harus positif

Koreksi: Selisih umum dapat positif, negatif, atau nol.

Contoh: Deret 10, 8, 6, 4, 2, ... memiliki$d = -2$

(negatif).

❌ Kesalahan 2: Dua suku sembarang berbeda sebesar d

Koreksi: Selisih umum adalah selisih antara suku-suku berturut-turut saja.

Untuk$a_n$

dan$a_m$

di mana$n > m$

:

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan suku pertama dengan selisih umum

Koreksi: Istilah$a_1$

pertama adalah nilai awal; selisih umum$d$

adalah perubahan antara istilah. Keduanya adalah konsep yang berbeda.

Tips Belajar

1. ✅ Pahami esensinya: Selisih umum menggambarkan perubahan yang seragam
2. ✅ Kesadaran tanda: Perhatikan apakah d positif atau negatif
3. ✅ Perhitungan fleksibel: Kuasai beberapa metode untuk menemukan d
4. ✅ Pengakuan dunia nyata: Identifikasi pola aritmatika dalam kehidupan sehari-hari

---

💡 Tips Ujian: Selisih umum adalah dasar dari deret aritmatika. Hampir setiap soal deret aritmatika melibatkan konsep ini. Pastikan Anda dapat menghitungnya dengan cepat dan akurat.