等比数列děngbǐ shùliè

Konsep Dasar

Sebuah deret geometri adalah deret di mana, mulai dari suku kedua, rasio setiap suku terhadap suku sebelumnya sama dengan konstanta yang sama. Konstanta ini disebut rasio umum, biasanya dilambangkan dengan$q$

.

Definisi Matematis

Untuk sebuah deret$\{a_n\}$

, jika terdapat konstanta$q \neq 0$

sehingga:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

maka$\{a_n\}$

disebut deret geometri dengan rasio umum$q$

.

Rumus Suku Umum

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

di mana: -$a_1$

adalah suku pertama -$q$

adalah rasio umum -$n$

adalah nomor suku

Rumus Jumlah

**Ketika$q \neq 1$

**:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

**Ketika$q = 1$

**:

$S_n = n \cdot a_1$

Deret Geometris vs Deret Aritmetika

Fitur	Geometris	Aritmetika
Definisi	Rasio antara suku-suku berturut-turut konstan	Selisih antara suku-suku berturut-turut konstan
Notasi	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

|$a_{n+1} - a_n = d$

| | Suku Umum |$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

|$a_n = a_1 + (n-1)d$

| | Rata-rata |$b^2 = ac$

(rata-rata geometris) |$b = \frac{a+c}{2}$

(rata-rata aritmetika) |

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Pembelahan Sel

Masalah: Sebuah sel membelah setiap jam menjadi 2 sel. Berapa banyak sel setelah 8 jam?

Solusi:

• Istilah$a_1 = 1$

pertama

• Rasio umum$q = 2$

• Setelah 8 jam:$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

sel

Aplikasi 2: Bunga Majemuk

Masalah: $10.000 disimpan dengan bunga majemuk 5% per tahun. Total setelah 10 tahun?

Penyelesaian: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Aplikasi 3: Peluruhan Radioaktif

Masalah: Zat mengalami peluruhan 20% per tahun. Massa awal 100g, sisa setelah 5 tahun?

Penyelesaian: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Soal Latihan CSCA

> 💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Dalam deret$\{a_n\}$

geometri ,$a_2 = 6$

dan$a_5 = 48$

. Temukan rasio umum$q$

.

Pilihan:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Solusi Terperinci:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Jawaban: A

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret$\{a_n\}$

geometri ,$a_1 + a_2 = 3$

dan$a_2 + a_3 = 6$

. Temukan$a_5$

.

Solusi Terperinci:

$a_1(1 + q) = 3$

... ①$a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

Bagi ②÷①: $q = 2$

Substitusikan ke ①:

Oleh$a_1 = 1$

karena itu: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Jawaban: 16

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Deret geometri selalu bertambah

Koreksi: Pertumbuhan bergantung pada dan$a_1$

$q$

: -$a_1 > 0, q > 1$

→ bertambah -$a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ berkurang -$q < 0$

→ berganti tanda

❌ Kesalahan 2: Rasio umum bisa nol

Koreksi:$q \neq 0$

, jika tidak, semua suku mulai dari suku kedua akan nol.

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan rata-rata geometris dan aritmetika

Koreksi:

• Rata-rata geometris: $b^2 = ac$

• Rata-rata aritmetika: $b = \frac{a+c}{2}$

Jangan campurkan keduanya!

❌ Kesalahan 4: Lupa mengklasifikasikan saat menjumlahkan

Koreksi: Selalu pertimbangkan$q = 1$

dan$q \neq 1$

terpisah saat mencari jumlah.

Tips Belajar

1. ✅ Bandingkan dengan deret aritmetika: Pahami "rasio" vs "selisih"

2. ✅ Kuasai rumus: Hafalkan rumus suku umum dan rumus jumlah

3. ✅ Analisis kasus: Pertimbangkan kasus-kasus berbeda untuk$q$

4. ✅ Aplikasi nyata: Pembelahan sel, bunga majemuk, dan peluruhan adalah model-model tipikal

---

💡 Tips Ujian: Deret geometri dan deret aritmetika sama pentingnya dalam ujian CSCA, masing-masing menyumbang sekitar 50% dari soal deret. Pelajari keduanya secara komparatif!