等比数列děngbǐ shùliè

Konsep Inti

Barisan geometri adalah barisan yang dimulai dari suku kedua, rasio setiap suku dengan suku sebelumnya sama dengan konstanta yang sama. Konstanta ini disebut rasio umum, biasanya dilambangkan dengan $q$.

Definisi Matematika

Untuk barisan $\{a_n\}$, jika ada konstanta $q \neq 0$ sedemikian sehingga:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

maka $\{a_n\}$ disebut barisan geometri dengan rasio umum $q$.

Rumus Istilah Umum

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

dimana

• $a_1$ adalah suku pertama
• $q$ adalah rasio umum
• $n$ adalah suku kedua

Rumus Penjumlahan

Ketika $q \neq 1$: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

** Apabila $q = 1$**: $S_n = n \cdot a_1$

Deret Geometri vs Deret Aritmatika

Fitur	Geometri	Aritmatika
Definisi	Rasio suku-suku yang berurutan adalah konstan	Berbeda suku-suku yang berurutan adalah konstan
Notasi	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$	$a_{n+1} - a_n = d$
Istilah Umum	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Rata-rata	RATA_RATA_RATA_26 (rata-rata geometris)	RATA_RATA_27 (rata-rata aritmatika)

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Pembelahan Sel

Masalah: Sebuah sel membelah setiap jam menjadi 2 sel. Berapa banyak sel setelah 8 jam?

Solusi:

• Suku pertama $a_1 = 1$
• Rasio umum $q = 2$
• Setelah 8 jam: $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$ sel

Aplikasi 2: Bunga Majemuk

Masalah: $10.000 didepositokan dengan bunga tahunan 5% (majemuk). Total setelah 10 tahun?

Solusi: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Aplikasi 3: Peluruhan Radioaktif

Masalah: Zat meluruh 20% setiap tahunnya. Massa awal 100g, tersisa setelah 5 tahun?

Solusi: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan tipe soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Dalam barisan geometri $\{a_n\}$, $a_2 = 6$ dan $a_5 = 48$. Temukan rasio umum $q$.

Pilihan:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Solusi Terperinci:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Jawab: A

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam urutan geometris $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$ dan $a_2 + a_3 = 6$. Temukan $a_5$.

Solusi Terperinci:

$a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②

Bagilah ②÷①: $q = 2$

Substitusikan ke dalam ①: $a_1 = 1$

Oleh karena itu: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Jawaban: 16

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Urutan geometris selalu meningkat

Koreksi: Pertumbuhan bergantung pada $a_1$ dan $q$:

• $a_1 > 0, q > 1$ → meningkat
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → menurun
• $q < 0$ → tanda bergantian

❌ Kesalahan 2: Rasio umum bisa menjadi nol

Koreksi: $q \neq 0$, jika tidak, semua suku dari suku kedua dan seterusnya akan menjadi nol.

❌ Kesalahan 3: Membingungkan antara geometris dan aritmatika

Koreksi:

• Rata-rata geometris: $b^2 = ac$
• Rata-rata aritmatika: $b = \frac{a+c}{2}$

Jangan sampai tertukar!

❌ Kesalahan 4: Lupa mengklasifikasikan saat menjumlahkan

Koreksi: Selalu pertimbangkan $q = 1$ dan $q \neq 1$ secara terpisah saat mencari jumlah.

Tips Belajar

1. ✅ Bandingkan dengan urutan aritmatika: Memahami "rasio" vs "perbedaan"
2. ✅ Menguasai rumus: Menghafal rumus suku bunga dan penjumlahan umum
3. ✅ Analisis kasus: Pertimbangkan berbagai kasus untuk $q$
4. ✅ Aplikasi nyata: Pembelahan sel, bunga majemuk, peluruhan adalah model-model umum

---

💡 Tip Ujian: Urutan geometris dan aritmatika sama pentingnya dalam ujian CSCA, masing-masing mencakup sekitar 50% dari soal-soal urutan. Pelajarilah secara komparatif!