等比数列děngbǐ shùliè

Konsep Pokok

Deret geometri adalah deret di mana, mulai dari suku kedua, perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama dengan suatu konstanta. Konstanta ini disebut rasio umum, yang biasanya dilambangkan dengan $q$.

Definisi Matematis

Untuk suatu urutan $\{a_n\}$, jika terdapat suatu konstanta $q \neq 0$ sedemikian sehingga:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

maka $\{a_n\}$ disebut deret geometri dengan rasio umum $q$.

Rumus Umum

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

di mana:

• $a_1$ adalah istilah pertama
• $q$ adalah rasio umum
• $n$ adalah nomor istilah

Rumus Jumlah

Saat $q \neq 1$: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

Saat $q = 1$: $S_n = n \cdot a_1$

Deret Geometris vs Deret Aritmetika

Fitur	Geometris	Aritmetika
Definisi	Rasio antara suku-suku berturut-turut adalah konstan	Selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan
Notasi	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$	$a_{n+1} - a_n = d$
Istilah Umum	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Rata-rata	$b^2 = ac$ (rata-rata geometris)	$b = \frac{a+c}{2}$ (rata-rata aritmetika)

Aplikasi di Dunia Nyata

Aplikasi 1: Pembelahan Sel

Soal: Sebuah sel membelah diri setiap jam menjadi 2 sel. Berapa banyak sel yang akan terbentuk setelah 8 jam?

Solusi:

• Semester pertama $a_1 = 1$
• Rasio umum $q = 2$
• Setelah 8 jam: sel $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Aplikasi 2: Bunga Majemuk

Soal: $10.000 disimpan dengan bunga tahunan 5% (bunga majemuk). Berapa totalnya setelah 10 tahun?

Solusi: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Aplikasi 3: Peluruhan Radioaktif

Soal: Massa suatu zat berkurang sebesar 20% setiap tahun. Massa awalnya 100 g, berapa massa yang tersisa setelah 5 tahun?

Solusi: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis soal dan pendekatan dalam memecahkan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Dalam deret geometri $\{a_n\}$, $a_2 = 6$, dan $a_5 = 48$, tentukan rasio umum $q$.

Pilihan:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Penjelasan Lengkap:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Jawaban: A

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Dalam deret geometri $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$, dan $a_2 + a_3 = 6$, tentukan nilai $a_5$.

Penjelasan Lengkap:

$a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②

Pembagian ②÷①: $q = 2$

Masukkan ke dalam ①: $a_1 = 1$

Oleh karena itu: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Jawaban: 16

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Deret geometri selalu bertambah

Koreksi: Pertumbuhan bergantung pada $a_1$ dan $q$:

• $a_1 > 0, q > 1$ → meningkat
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → menurun
• $q < 0$ → tanda bergantian

❌ Kesalahan 2: Rasio umum bisa bernilai nol

Koreksi: $q \neq 0$; jika tidak, semua suku mulai dari suku kedua ke depan akan bernilai nol.

❌ Kesalahan 3: Mengacaukan rata-rata geometris dan rata-rata aritmetika

Koreksi:

• Rata-rata geometris: $b^2 = ac$
• Rata-rata aritmetika: $b = \frac{a+c}{2}$

Jangan sampai salah mengartikannya!

❌ Kesalahan ke-4: Lupa mengelompokkan saat menjumlahkan

Koreksi: Selalu hitung $q = 1$ dan $q \neq 1$ secara terpisah saat menghitung jumlahnya.

Tips Belajar

1. ✅ Bandingkan dengan deret aritmetika: Pahami perbedaan antara "rasio" dan "selisih"
2. ✅ Rumus-rumus dasar: Hafalkan rumus suku umum dan rumus penjumlahan
3. ✅ Analisis kasus: Pertimbangkan berbagai kasus untuk $q$
4. ✅ Aplikasi nyata: Pembelahan sel, bunga majemuk, dan peluruhan merupakan contoh model yang umum

---

💡 Tips Ujian: Deret geometris dan deret aritmetika sama-sama penting dalam ujian CSCA; masing-masing mencakup sekitar 50% dari soal-soal deret. Pelajarilah keduanya secara seimbang!