Vectors and the Dot Product

Comment l'examen réel l'évalue

Des questions tirées de vraies épreuves CSCA qui portent sur ce concept. Essayez de les résoudre avant d'afficher la réponse.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Let $O$ be the origin, and let $A$ and $B$ be two points in the plane. If $P$ is the midpoint of $AB$, which expression can represent $\overrightarrow{OP}$?
   • A．$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
   • B．$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
   • C．$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
   • D．$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
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   Réponse : C

   Answer: C Since $P$ is the midpoint of $AB$, $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Choose C.
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2. CSCA Math June 2026 Past Paper
   Given that plane vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ satisfy $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$, and $\vec{c} = \lambda \vec{a} + (1 - \lambda)\vec{b}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$), then the minimum value of $|\vec{c}|$ is
   • A．$\frac{1}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$1$
   • D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
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   Réponse : A

   $|\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2 + (1 - \lambda)^2 |\vec{b}|^2 + 2\lambda(1 - \lambda)\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda^2 + (1 - \lambda)^2 - \lambda(1 - \lambda) = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1$. This quadratic in $\lambda$ attains its minimum $\frac{1}{4}$ at $\lambda = \frac{1}{2}$, so the minimum of $|\vec{c}|$ is $\frac{1}{2}$. Choose (A).
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