Half-Angle Formulas

半角公式

Use the squared half-angle identities to find sine or cosine, then choose the sign from the quadrant of the half-angle.

9 Prüfungsaufgaben · 5 Termine6 in Übungsklausuren15 zum Üben

Die CSCA-Prüfung wird auf Chinesisch oder Englisch geschrieben — die Kandidaten wählen selbst. Konzepte und Formeln stehen hier deshalb in diesen beiden Sprachen; diese Seite zeigt die englische Fassung.

Formeln

Squared Half-Angle Identities
Identität
$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\quad\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$

So prüft die echte Prüfung das

Aufgaben aus echten CSCA-Prüfungen, die dieses Konzept abfragen. Löse sie selbst, bevor du die Antwort öffnest.

CSCA Math December 2025 Past Paper
Given $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ and $\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$ , find $\sin\frac{\alpha}{2}$ .
- A． $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C． $\frac{1}{2}$
- D． $-\frac{1}{2}$
Antwort & Lösungsweg anzeigen
Antwort: B
Answer: B Since $\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)$ , $\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Choose B.
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CSCA Math April 2026 Past Paper
If $\cos \alpha = - \frac { 7 } { 25 }$ and $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$ , then $\cos \frac { \alpha } { 2 } =$
- A． $- \frac { 4 } { 5 }$
- B． $\frac { 4 } { 5 }$
- C． $\frac { 3 } { 5 }$
- D． $- \frac { 3 } { 5 }$
Antwort & Lösungsweg anzeigen
Antwort: C
$\frac { \alpha } { 2 } \in \left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$ , so $\cos \frac { \alpha } { 2 } > 0$ . Half-angle: $\cos \frac { \alpha } { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } = \sqrt { \frac { 18 / 25 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 9 } { 25 } } = \frac { 3 } { 5 }$ .
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CSCA Math June 2026 Past Paper
If $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ , and $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ , then $\sin \frac{\alpha}{2} =$
- A． $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C． $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Antwort & Lösungsweg anzeigen
Antwort: B
$\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]$ , so $\sin \frac{\alpha}{2} \geq 0$ . By the half-angle formula, $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Choose (B).
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Beleg aus echten Prüfungen

Erfasste Vorkommen in früheren Prüfungen stehen unten; die kostenlose Online-Prüfbarkeit ist separat markiert.

9 Aufgaben aus 5 Prüfungsterminen1 von 5 Terminen kostenlos online prüfbar

CSCA Math June 2026 Past Paper2 AufgabenLesefassung noch nicht öffentlich
CSCA Math April 2026 Past Paper2 AufgabenLesefassung noch nicht öffentlich
CSCA Math March 2026 Past Paper2 AufgabenLesefassung noch nicht öffentlich
CSCA Math January 2026 Past Paper2 AufgabenLesefassung noch nicht öffentlich
CSCA Math December 2025 Past Paper1 AufgabeAufgabe 34 und Lösung kostenlos auf Englisch ansehen (gesamte Prüfung)

6 Aufgaben in 5 Übungsklausuren — eigene Sätze, also ein Abdeckungshinweis und kein Prüfungsbeleg

15 passende Übungsaufgaben vorhandenKostenlos üben: Elementare Funktion

Prüfungsbelege stammen aus den erfassten CSCA-Prüfungen; Aufgaben ohne Originalvorlage sind ausgeschlossen, Endspurt-Sätze werden bewusst nicht mitgezählt.

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