排列páiliè

แนวคิดหลัก

การสับเปลี่ยน คือการจัดเรียงของ$m$

องค์ประกอบ ($m \leq n$

) ที่เลือกมาจาก$n$

องค์ประกอบที่แตกต่างกันในลำดับเฉพาะ

ลักษณะสำคัญ

1. ลำดับมีความสำคัญ: ลำดับที่แตกต่างกันนับเป็นการสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน
2. ไม่มีการซ้ำ: แต่ละองค์ประกอบถูกใช้ไม่เกินหนึ่งครั้ง
3. การเลือก: เลือก$m$

จาก$n$

องค์ประกอบ ($m \leq n$

)

สูตรการสับเปลี่ยน

การสับเปลี่ยนทั่วไป

จำนวนการสับเปลี่ยนของ$m$

องค์ประกอบจาก องค์ประกอบ$n$

ที่แตกต่างกัน ซึ่งแทนด้วย$A_n^m$

หรือ$P_n^m$

หรือ$P(n,m)$

:

**

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

ความเข้าใจ**:

• ตำแหน่งที่ 1: ตัวเลือก$n$

• ตำแหน่งที่ 2: ตัวเลือก$n-1$

• ...

• ตำแหน่ง$m$

: $n-m+1$

ตัวเลือก

โดยหลักการคูณ: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

การสลับตำแหน่งทั้งหมด

เมื่อ$m = n$

, เรียกว่า การสลับตำแหน่งทั้งหมด:

**ข้อตกลง

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

**: $0! = 1$

ค่าที่ใช้ร่วมกัน

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

การสลับตำแหน่งพิเศษ

1. การสลับตำแหน่งแบบสับสน

จำนวนการสลับตำแหน่งที่ไม่มีองค์ประกอบใดอยู่ในตำแหน่งเดิม:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

ค่าประมาณ: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. การสลับตำแหน่งแบบวงกลม

การจัดเรียง$n$

องค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นวงกลม:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(ไม่มีจุดเริ่มต้นที่แน่นอน ให้หารด้วย$n$

)

3. การสับเปลี่ยนที่มี

$n$

องค์ประกอบซ้ำ$n_1$

เหมือนกัน,$n_2$

เหมือนกัน, ...,$n_k$

เหมือนกัน ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

เทคนิคการคำนวณ

เทคนิคที่ 1: การคูณแบบทีละขั้นตอน

ตัวอย่าง: เลือกบุคคล 3 คนจาก 10 คน เป็นประธานาธิบดี รองประธานาธิบดี และเลขานุการ มีวิธีเลือกกี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา:

• ประธาน: 10 ทางเลือก
• รองประธาน: 9 ทางเลือก
• เลขานุการ: 8 ทางเลือก

คำตอบ: $10 \times 9 \times 8 = 720$

เทคนิคที่ 2: จัดการกับองค์ประกอบพิเศษก่อน

ตัวอย่าง: มีคน 5 คนในแถว โดยบุคคล A ต้องเป็นคนแรก มีกี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา:

• กำหนดตำแหน่งแรก: 1 วิธี
• จัดตำแหน่งที่เหลือ 4: $4! = 24$

คำตอบ: $1 \times 24 = 24$

เทคนิคที่ 3: การนับแบบเสริม

ตัวอย่าง: คน 5 คนในแถว โดยที่ A และ B ไม่ติดกัน มีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี?

วิธีแก้:

• การจัดทั้งหมด: $5! = 120$

• A และ B ติดกัน (นับเป็นหนึ่ง): $2! \times 4! = 48$

• ไม่ติดกัน:$120 - 48 = 72$

คำตอบ: $72$

แบบฝึกหัด CSCA

[ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

คำนวณ$A_6^3$

.

วิธีทำ: หรือ

**

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

คำตอบ**:

---$120$

[ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

มี 5 คนยืนเรียงแถวเพื่อถ่ายรูป โดย A และ B ต้องยืนอยู่ด้วยกัน มีวิธีจัดเรียงทั้งหมดกี่วิธี?

วิธีแก้:

วิธีจัดกลุ่ม:

1. ถือว่า A และ B เป็นหน่วยเดียวกัน จัดเรียง 4 หน่วย: $4! = 24$

2. จัดเรียง A และ B ภายใน: $2! = 2$

คำตอบ:$24 \times 2 = 48$

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: สับสนระหว่างการจัดเรียงและการเลือกแบบไม่ซ้ำ

ผิด: ไม่พิจารณาลำดับ, ถือว่าสับเปลี่ยนเป็นการจัดกลุ่ม

ถูกต้อง: สับเปลี่ยนคือ มีลำดับ, การจัดกลุ่มคือ ไม่มีลำดับ

❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมข้อจำกัดพิเศษ

ผิด: ไม่สนใจเงื่อนไขเช่น "หลักแรกไม่สามารถเป็น 0"

ถูกต้อง: จัดการตำแหน่งพิเศษหรือองค์ประกอบก่อน

ความสัมพันธ์กับการรวมกัน

**

$A_n^m = C_n^m \times m!$

ความเข้าใจ**:

• เลือก$m$

จาก$n$

: $C_n^m$

• จัดเรียง$m$

องค์ประกอบเหล่านี้ : $m!$

เคล็ดลับการศึกษา

1. ✅ เข้าใจแก่น: การสับเปลี่ยนเน้นลำดับ

2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ ฝึกฝนเทคนิค: องค์ประกอบพิเศษก่อน, การจัดกลุ่ม, การแทรก, การเสริม

4. ✅ การวิเคราะห์กรณี: ปัญหาซับซ้อนต้องการการจัดประเภท

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: การสับเปลี่ยนเป็นพื้นฐานของการรวมกลุ่ม, จำเป็นใน CSCA! คิดเป็นประมาณ 40% ของปัญหาการนับ การเชี่ยวชาญการวิเคราะห์กรณีและเทคนิคการจัดการพิเศษเป็นกุญแจสำคัญ