排列páiliè

แนวคิดหลัก การสับเปลี่ยน คือการจัดเรียงของ $m$ องค์ประกอบ ($m \leq n$) ที่เลือกมาจาก $n$ องค์ประกอบที่แตกต่างกันในลำดับเฉพาะ

ลักษณะสำคัญ 1. ลำดับมีความสำคัญ: ลำดับที่แตกต่างกันนับเป็นการสลับที่ที่แตกต่างกัน 2. ไม่มีการซ้ำ: แต่ละองค์ประกอบถูกใช้ไม่เกินหนึ่งครั้ง 3. การเลือก: เลือก $m$ จากองค์ประกอบ $n$ ($m \leq n$)

สูตรการสับเปลี่ยน ### การสับเปลี่ยนทั่วไป จำนวนการสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ $m$ จากองค์ประกอบที่แตกต่างกัน $n$ ซึ่งแสดงด้วย $A_n^m$ หรือ $P_n^m$ หรือ $P(n,m)$: $A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

ความเข้าใจ: - ตำแหน่งที่ 1: $n$ ตัวเลือก - ตำแหน่งที่ 2: $n-1$ ตัวเลือก - ... - ตำแหน่งที่ $m$: $n-m+1$ ตัวเลือก โดยหลักการคูณ: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

การสลับตำแหน่งทั้งหมด เมื่อ $m = n$, เรียกใช้ การสลับตำแหน่งทั้งหมด: $A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ ข้อตกลง: $0! = 1$

ค่านิยมร่วม | $n$ | $n!$ | |-----|------| | $0$ | $1$ | | $1$ | $1$ |

| $2$ | $2$ | | $3$ | $6$ | | $4$ | $24$ | | | $5$ | $120$ | | $6$ | $720$ | ## การสลับที่พิเศษ ### 1. จำนวนการสลับที่ซึ่งไม่มีองค์ประกอบใดอยู่ในตำแหน่งเดิม: $D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

การประมาณ: $D_n \approx \frac{n!}{e}$ ### 2. การสลับแบบวงกลม จัดเรียงองค์ประกอบที่แตกต่างกัน $n$ ตัวในวงกลม: $Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$ (ไม่มีจุดเริ่มต้นที่แน่นอน, หารด้วย $n$) ### 3. การสลับแบบมีการซ้ำ

$n$ องค์ประกอบที่มี $n_1$ เหมือนกัน, $n_2$ เหมือนกัน, ..., $n_k$ เหมือนกัน ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$): $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$ ## เทคนิคการคำนวณ

เทคนิคที่ 1: การคูณแบบทีละขั้นตอน ตัวอย่าง: เลือกคน 3 คนจาก 10 คน เป็นประธานาธิบดี รองประธานาธิบดี และเลขานุการ มีวิธีเลือกกี่วิธี? วิธีแก้: - ประธานาธิบดี: 10 ทางเลือก - รองประธานาธิบดี: 9 ทางเลือก - เลขานุการ: 8 ทางเลือก คำตอบ: $10 \times 9 \times 8 = 720$

เทคนิคที่ 2: จัดการกับองค์ประกอบพิเศษก่อน ตัวอย่าง: มีคน 5 คนในแถว โดยบุคคล A ต้องเป็นคนแรก มีวิธีทั้งหมดกี่วิธี? วิธีแก้: - กำหนดคนแรกไว้: 1 วิธี - จัดเรียงคนเหลือ 4 คน: $4! = 24$ คำตอบ: $1 \times 24 = 24$

เทคนิคที่ 3: การนับแบบเสริมกัน ตัวอย่าง: มีคน 5 คนในแถว โดย A และ B ไม่ได้อยู่ติดกัน มีวิธีจัดเรียงทั้งหมดกี่วิธี? วิธีทำ: - การจัดเรียงทั้งหมด: $5! = 120$ - A และ B อยู่ติดกัน (นับเป็นหนึ่งคู่): $2! \times 4! = 48$

• ไม่ติดกัน: $120 - 48 = 72$ คำตอบ: $72$ ## แบบฝึกหัด CSCA ### [ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) คำนวณ $A_6^3$ วิธีทำ:

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ หรือ $A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$ คำตอบ: $120$ --- ### [ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) มีคน 5 คนยืนเรียงแถวเพื่อถ่ายรูป โดย A และ B ต้องยืนอยู่ด้วยกัน มีวิธีจัดเรียงกี่วิธี?

*วิธีแก้ปัญหา: วิธีการจัดกลุ่ม: 1. จัด A และ B เป็นหน่วยเดียว จัดเรียง 4 หน่วย: $4! = 24$ 2. จัดเรียง A และ B ภายใน: $2! = 2$ คำตอบ: $24 \times 2 = 48$ ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: สับสนระหว่างการจัดเรียงและการจัดกลุ่ม ผิด: ไม่พิจารณาลำดับ, จัดการเรียงสลับเป็นการจัดกลุ่ม ถูก: การเรียงสลับคือ มีลำดับ, การจัดกลุ่มคือ ไม่มีลำดับ ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมข้อจำกัดพิเศษ ผิด:การละเว้นเงื่อนไขเช่น "หลักแรกไม่สามารถเป็น 0" ถูกต้อง: จัดการตำแหน่งพิเศษหรือองค์ประกอบก่อน ## ความสัมพันธ์กับการผสมผสาน $A_n^m = C_n^m \times m!$ ความเข้าใจ: - เลือก $m$ จาก $n$: $C_n^m$

• จัดเรียงองค์ประกอบเหล่านี้ $m$: $m!$ ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เข้าใจแก่น: การสลับตำแหน่งเน้นลำดับ 2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ ฝึกฝนเทคนิค: องค์ประกอบพิเศษก่อน, การจัดกลุ่ม, การแทรก, การเติมเต็ม 4. ✅ การวิเคราะห์กรณี: ปัญหาซับซ้อนต้องการการจัดประเภท --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: การสับเปลี่ยนเป็นพื้นฐานของการรวมกลุ่ม, จำเป็นใน CSCA! คิดเป็นประมาณ 40% ของปัญหาการนับ การเชี่ยวชาญการวิเคราะห์กรณีและเทคนิคการจัดการพิเศษเป็นกุญแจสำคัญ