组合zǔhé

แนวคิดหลัก

การรวม คือการเลือก$m$

องค์ประกอบ ($m \leq n$

) จาก องค์ประกอบ$n$

ที่แตกต่างกัน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ

ลักษณะสำคัญ

1. ลำดับไม่สำคัญ: องค์ประกอบเดียวกันในลำดับที่ต่างกันนับเป็นการรวมกันหนึ่งครั้ง
2. ไม่มีการซ้ำ: แต่ละองค์ประกอบใช้ไม่เกินหนึ่งครั้ง
3. การเลือก: เลือก$m$

จาก$n$

องค์ประกอบ ($m \leq n$

)

ความแตกต่างจากการสับเปลี่ยน

• การสับเปลี่ยน: มีลำดับ,$\{A, B, C\}$

และ$\{B, A, C\}$

ต่างกัน

• การจับคู่: ไม่มีลำดับ,$\{A, B, C\}$

และ$\{B, A, C\}$

เหมือนกัน

สูตรการจับคู่

จำนวนการจับคู่ของ$m$

องค์ประกอบจาก องค์ประกอบ$n$

ที่แตกต่างกัน, แทนด้วย$C_n^m$

หรือ$\binom{n}{m}$

หรือ$C(n,m)$

:

**ความเข้าใจ

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

**:

• จัดเรียงก่อน: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• ลบลำดับภายใน: $A_m^m = m!$

• ผลลัพธ์:$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

คุณสมบัติของการจับคู่

1. สมมาตร

**

$C_n^m = C_n^{n-m}$

ความหมาย**: การเลือก$m$

จาก$n$

= การทิ้ง$n-m$

จาก$n$

2. อัตลักษณ์ของปาสกาล

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

ความหมาย: รวมองค์ประกอบเฉพาะ + ยกเว้นองค์ประกอบเฉพาะ

3. ค่าพิเศษ

-$C_n^0 = 1$

(เลือกไม่มี, ทางเดียว) -$C_n^1 = n$

(เลือกหนึ่ง,$n$

ตัวเลือก) -$C_n^n = 1$

(เลือกทั้งหมด, ทางเดียว)

4. ผลรวมแบบ$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

ทวินาม

(จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกจำนวนองค์ประกอบใด ๆ จาก$n$

)

เทคนิคการคำนวณ

เทคนิคที่ 1: การ

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

ใช้สมมาตร### เทคนิคที่ 2: อัตลักษณ์

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

ของปาสกาล### เทคนิคที่ 3: การทำให้ง่ายโดยการหักล้าง

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

แบบฝึกหัด CSCA

[ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

คำนวณ$C_7^3$

.

วิธีแก้ปัญหา:

**คำตอบ

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

**:

---$35$

[ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

จากเด็กผู้ชาย 10 คน และเด็กผู้หญิง 8 คน เลือก 5 คนเพื่อเป็นทีมโดยมีเด็กผู้หญิงอย่างน้อย 2 คน มีวิธีเลือกกี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหา:

การวิเคราะห์กรณี:

กรณี 1: เด็กผู้หญิง 2 คน เด็กผู้ชาย 3 คน:

**กรณี$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

2**: เด็กผู้หญิง 3 คน เด็กผู้ชาย 2 คน:

$C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

กรณี 3: เด็กผู้หญิง 4 คน เด็กผู้ชาย 1 คน:

**กรณี$C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

4**: เด็กผู้หญิง 5 คน เด็กผู้ชาย 0 คน:

**คำตอบ$C_8^5 = 56$

**: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: สับสนระหว่างการเรียงสลับกับการจัดเรียง

ผิด: ใช้$C_n^5$

ในการจัดเรียงคน 5 คนในแถว

ถูก: แถวมีลำดับ ควรใช้$A_n^5$

❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมวิเคราะห์กรณี

ผิด: คำนวณ "อย่างน้อย 2 คนที่เป็นผู้หญิง" โดยตรง

ถูกต้อง: แบ่งเป็นกรณี: 2 คน, 3 คน, 4 คน, 5 คน

ความสัมพันธ์กับการสลับ

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

ที่

เทคนิคการเรียน

1. ✅ เข้าใจแก่น: การจัดหมู่ไม่สนใจลำดับ

2. ✅ เชี่ยวชาญสูตร:$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ จำคุณสมบัติ: ความสมมาตร, สูตรของปาสคาล

4. ✅ การวิเคราะห์กรณี: "อย่างน้อย", "มากที่สุด" ต้องมีกรณี

5. ✅ แยกแยะจากการสับเปลี่ยน: ตรวจสอบว่าลำดับมีความสำคัญหรือไม่

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: การผสมผสานเป็นกุญแจสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์เชิงการจัด เป็นสิ่งจำเป็นใน CSCA! คิดเป็นประมาณ 60% ของปัญหาการนับ การวิเคราะห์กรณีและวิธีรวม-ยกเว้นเป็นเทคนิคที่สำคัญ