组合zǔhé

แนวคิดหลัก การรวม คือการเลือกองค์ประกอบ $m$ องค์ประกอบ ($m \leq n$) จากองค์ประกอบที่ต่างกัน $n$ องค์ประกอบ โดยไม่คำนึงถึงลำดับ

ลักษณะสำคัญ 1. ลำดับไม่สำคัญ: องค์ประกอบเดียวกันในลำดับต่างกันนับเป็นการจัดเรียงแบบเดียวกัน 2. ไม่มีการซ้ำ: แต่ละองค์ประกอบใช้ได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น 3. การเลือก: เลือก $m$ จากองค์ประกอบ $n$ ($m \leq n$)

ความแตกต่างจากการสับเปลี่ยน - การสับเปลี่ยน: มีลำดับ, $\{A, B, C\}$ และ $\{B, A, C\}$ แตกต่างกัน - การจับคู่: ไม่มีลำดับ, $\{A, B, C\}$ และ $\{B, A, C\}$ เหมือนกัน ## สูตรการจับคู่

จำนวนของชุดค่าผสมขององค์ประกอบ $m$ จากองค์ประกอบที่แตกต่างกัน $n$ องค์ประกอบ ซึ่งแสดงด้วย $C_n^m$ หรือ $\binom{n}{m}$ หรือ $C(n,m)$: $C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

*ความเข้าใจ: - จัดเรียงก่อน: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$ - ลำดับภายใน: $A_m^m = m!$ - ผลลัพธ์: $C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ ## คุณสมบัติของการจัดเรียง ### 1. สมมาตร $C_n^m = C_n^{n-m}$

*ความหมาย: เลือก $m$ จาก $n$ = ทิ้ง $n-m$ จาก $n$ ### 2. สมบัติของปาสกาล $C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

*ความหมาย: รวมองค์ประกอบเฉพาะ + ยกเว้นองค์ประกอบเฉพาะ ### 3. ค่าพิเศษ - $C_n^0 = 1$ (เลือกไม่มี, ทางเดียว) - $C_n^1 = n$ (เลือกหนึ่ง, ทางเลือก $n$) - $C_n^n = 1$ (เลือกทั้งหมด, ทางเดียว)

4. ผลรวมของพหุนาม $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$ (จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกจำนวนองค์ประกอบใด ๆ จาก $n$) ## เทคนิคการคำนวณ ### เทคนิคที่ 1: ใช้ความสมมาตร $C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ ### เทคนิคที่ 2: อัตลักษณ์ของปาสกาล

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$ ### เทคนิคที่ 3: หาคำตอบโดยการหักล้าง $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ ## แบบฝึกหัด CSCA ### [ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) คำนวณ $C_7^3$.

*วิธีแก้: $C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ คำตอบ: $35$ --- ### [ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) จากเด็กชาย 10 คน และเด็กหญิง 8 คน เลือก 5 คนเพื่อเป็นทีมโดยมีเด็กหญิงอย่างน้อย 2 คน มีวิธีเลือกกี่วิธี?

*วิธีแก้ปัญหา: การวิเคราะห์กรณี: กรณี 1: เด็กหญิง 2 คน เด็กชาย 3 คน: $C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$ กรณี 2: เด็กหญิง 3 คน เด็กชาย 2 คน: $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

กรณี 3: เด็กผู้หญิง 4 คน เด็กผู้ชาย 1 คน: สูตรคณิตศาสตร์ 41 กรณี 4: เด็กผู้หญิง 5 คน เด็กผู้ชาย 0 คน: สูตรคณิตศาสตร์ 42 คำตอบ: สูตรคณิตศาสตร์ 43 ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: สับสนระหว่างการผสมกับการสับเปลี่ยน ผิด: ใช้ $C_n^5$ สำหรับการจัดเรียงคน 5 คนในแถว ถูก: แถวมีลำดับ ควรใช้ $A_n^5$ ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมวิเคราะห์กรณี

ผิด: คำนวณโดยตรง "อย่างน้อย 2 คน" ถูก: แบ่งเป็นกรณี: 2 คน, 3 คน, 4 คน, 5 คน ## ความสัมพันธ์กับการสลับที่ $A_n^m = C_n^m \times m!$ $C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$ ## เคล็ดลับการศึกษา

1. ✅ เข้าใจแก่น: การรวมกันไม่สนใจลำดับ 2. ✅ สูตรหลัก: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ 3. ✅ จำคุณสมบัติ: ความสมมาตร, อัตลักษณ์ของปาสคาล 4. ✅ การวิเคราะห์กรณี: "อย่างน้อย", "มากที่สุด" ต้องมีกรณี
2. ✅ แยกความแตกต่างจากการสับเปลี่ยน: ตรวจสอบว่าลำดับมีความสำคัญ --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: การจัดชุดเป็นกุญแจสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์เชิงจัดเรียงและนับ ซึ่งเป็นวิชาบังคับใน CSCA! คิดเป็นประมาณ 60% ของปัญหาการนับ การวิเคราะห์กรณีศึกษาและวิธีรวม-ยกเว้นเป็นเทคนิคที่สำคัญ