奇偶性qī'ǒuxìng

Основное понятие

Чётность описывает свойства симметрии функции. Функция может быть чётной, нечётной или ни тем, ни другим.

Предварительное условие: Чтобы функция обладала свойством чётности, её область определения должна быть симметрична относительно начала координат (если $x$ принадлежит области определения, то $-x$ тоже должен принадлежать).

Определения

Чётная функция (偶函数)

Функция $f$ является чётной, если: $f(-x) = f(x) \quad \text{для всех } x \text{ из области определения}$

Графическое свойство: График симметричен относительно оси ординат.

Нечётная функция (奇函数)

Функция $f$ является нечётной, если: $f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех } x \text{ из области определения}$

Графическое свойство: График симметричен относительно начала координат.

Особое свойство нечётных функций

Если $f$ — нечётная функция и $0$ принадлежит области определения, то $f(0) = 0$.

Доказательство: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, следовательно $2f(0) = 0$, значит $f(0) = 0$.

Распространённые функции и их чётность

Функция	Чётность	Проверка
$y = x^n$ ($n$ — чётное)	Чётная	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ — нечётное)	Нечётная	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	Нечётная	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Чётная	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Нечётная	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Ни то, ни другое	$a^{-x} \neq a^x$ и $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Ни то, ни другое	Область определения не симметрична

Методы определения чётности

Пошаговый процесс

1. Проверить симметрию области определения: Если $x$ принадлежит области определения, то принадлежит ли $-x$?
2. Вычислить $f(-x)$: Подставить $-x$ в функцию
3. Сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ → Чётная
   • Если $f(-x) = -f(x)$ → Нечётная
   • В противном случае → Ни чётная, ни нечётная

Пример 1: Чётная функция

Определите чётность функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Шаг 1: Область определения — $\mathbb{R}$, симметрична относительно начала координат. ✓

Шаг 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Вывод: $f$ — чётная функция.

Пример 2: Нечётная функция

Определите чётность функции $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Шаг 1: Область определения — $\mathbb{R}$, симметрична относительно начала координат. ✓

Шаг 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Вывод: $f$ — нечётная функция.

Пример 3: Ни чётная, ни нечётная

Определите чётность функции $f(x) = x + 1$.

Шаг 1: Область определения — $\mathbb{R}$, симметрична. ✓

Шаг 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$:

Вывод: $f$ — ни чётная, ни нечётная.

Практические задания CSCA

💡 Примечание: Следующие задания разработаны на основе учебной программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Определите чётность функции $f(x) = x^3 - x$.

Решение: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Ответ: Нечётная функция

---

Пример 2: Средний (Сложность ★★★☆☆)

Если $f(x)$ — нечётная функция и $f(2) = 3$, найдите $f(-2) + f(0)$.

Решение:

Так как $f$ нечётная:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (свойство нечётных функций)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Ответ: $-3$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ — нечётная функция, найдите значения $b$ и $d$.

Решение:

Для нечётной функции: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Сравнение: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Требуется: $bx^2 = -bx^2$ и $d = -d$

Следовательно: $b = 0$ и $d = 0$

Ответ: $b = 0$, $d = 0$

Чётность и операции

Сумма функций

$f$	$g$	$f + g$
Чётная	Чётная	Чётная
Нечётная	Нечётная	Нечётная
Чётная	Нечётная	Ни то, ни другое (как правило)

Произведение функций

$f$	$g$	$f \cdot g$
Чётная	Чётная	Чётная
Нечётная	Нечётная	Чётная
Чётная	Нечётная	Нечётная

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Игнорирование симметрии области определения

Неправильно: $f(x) = \sqrt{x}$ — чётная, так как $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Правильно: Область определения $[0, +\infty)$ не симметрична относительно начала координат, поэтому чётность не определена. ✓

❌ Ошибка 2: Забыть, что $f(0) = 0$ для нечётных функций

Если $f$ — нечётная и определена при $x = 0$, то $f(0) = 0$.

❌ Ошибка 3: Проверка только одного значения

Неправильно: $f(1) = f(-1)$, значит $f$ — чётная. ✗

Правильно: Необходимо проверить $f(-x) = f(x)$ для ВСЕХ $x$ из области определения. ✓

Советы по изучению

1. ✅ Сначала проверьте область определения: Требуется симметрия относительно начала координат
2. ✅ Используйте алгебраическую проверку: Не полагайтесь только на графики
3. ✅ Помните особое свойство: Нечётные функции проходят через начало координат
4. ✅ Знайте правила произведения: нечётная × нечётная = чётная

---

💡 Совет к экзамену: Для многочленов нечётные функции содержат только члены нечётной степени, а чётные функции — только члены чётной степени!