奇偶性qī'ǒuxìng

Основная концепция

Паритет характеризует свойства симметрии функции. Функция может быть четной, нечетной или не обладать ни тем, ни другим свойством.

Условие: Чтобы функция обладала четностью, её область определения должна быть симметричной относительно начала координат (если $x$ входит в область определения, то $-x$ также должен входить в эту область).

Определения

Чётная функция (偶函数)

Функция $f$ является четной, если: $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Свойство графика: График симметричен относительно оси y.

Нечетная функция (奇函数)

Функция $f$ является нечетной, если: $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Свойство графика: График симметричен относительно начала координат.

Особое свойство нечетных функций

Если $f$ — нечетное число, а $0$ входит в область определения, то $f(0) = 0$.

Доказательство: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, следовательно, $2f(0) = 0$, а значит, $f(0) = 0$.

Общие функции и их четность

Функция	Паритет	Проверка
$y = x^n$ (даже $n$)	Даже	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ — нечетный)	Необычное	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	Даже	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	Необычный	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Даже	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Необычно	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Ни то, ни другое	$a^{-x} \neq a^x$ и $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Ни то, ни другое	Домен несимметричный

Методы определения паритета

Пошаговая инструкция

1. Проверить симметрию домена: Находится ли $-x$ в домене всякий раз, когда в нём находится $x$?
2. Вычислить $f(-x)$: Подставить $-x$ в формулу
3. Сравните с моделями $f(x)$ и $-f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ → Чётное
   • Если $f(-x) = -f(x)$ → Нечетное
   • В противном случае → Ни то, ни другое

Пример 1: Чёткая функция

Определите паритет $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Шаг 1: Домен $\mathbb{R}$ симметричен относительно начала координат. ✓

Шаг 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Вывод: $f$ — четный.

Пример 2: Нечетная функция

Определите четность кода $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Шаг 1: Домен — $\mathbb{R}$, симметричный относительно начала координат. ✓

Шаг 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Вывод: $f$ — это странная вещь.

Пример 3: Ни то, ни другое

Определите четность $f(x) = x + 1$.

Шаг 1: Домен — $\mathbb{R}$, симметричный. ✓

Шаг 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Что касается моделей $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$:

Вывод: $f$ — ни четное, ни нечетное.

Практические задачи по CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задачи составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Определите паритет $f(x) = x^3 - x$.

Решение: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Ответ: Нечетная функция

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Если $f(x)$ — нечетная функция, а $f(2) = 3$ — четная, найдите значение $f(-2) + f(0)$.

Решение:

Поскольку $f$ — нечетное число:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (свойство нечетных функций)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Ответ: $-3$

---

Пример 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если функция $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ является нечетной, найдите значения функций $b$ и $d$.

Решение:

Для нечетной функции: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Сравнение: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Для этого потребуются: $bx^2 = -bx^2$ и $d = -d$

Следовательно: $b = 0$ и $d = 0$

Ответ: $b = 0$, $d = 0$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$, докажите, что $f(x)$ — нечетное число.

Решение:

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

Теперь вычислим $f(x) + f(-x)$: $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

Следовательно: $f(-x) = -f(x)$

Вывод: $f(x)$ — странная модель.

Паритет и операции

Сумма функций

$f$	$g$	$f + g$
Даже	Даже	Даже
Необычный	Необычный	Необычный
Даже	Необычный	Ни то, ни другое (как правило)

Произведение функций

$f$	$g$	$f \cdot g$
Даже	Даже	Даже
Необычный	Необычный	Даже
Даже	Необычное	Необычный

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: игнорирование симметрии домена

Неверно: $f(x) = \sqrt{x}$ — четное число, поскольку $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Правильно: Домен $[0, +\infty)$ не является симметричным относительно начала координат, поэтому его четность не определена. ✓

❌ Ошибка 2: Неучет $f(0) = 0$ при рассмотрении нечетных функций

Если $f$ — нечетное число и определено в $x = 0$, то $f(0) = 0$.

❌ Ошибка 3: Проверка только одного значения

Неправильно: $f(1) = f(-1)$, значит, $f$ — четное число. ✗

Правильно: Необходимо проверить $f(-x) = f(x)$ для ВСЕХ $x$ в домене. ✓

Советы по учебе

1. ✅ Сначала проверьте домен: требуется симметричность относительно начала координат
2. ✅ Используйте алгебраическую проверку: не полагайтесь исключительно на графики
3. ✅ Запомните особенность: нечетные функции проходят через начало координат
4. ✅ Знайте правила игры: нечетное × нечетное = четное

---

💡 Совет по подготовке к экзамену: В многочленах нечетные функции содержат только слагаемые нечетной степени, а четные функции — только слагаемые четной степени!