等差数列děngchā shùliè

Основная концепция

Арифметическая прогрессия (等差数列) — один из самых фундаментальных типов прогрессий в математике. Начиная со второго члена, разность между любым членом и предшествующим ему членом равна одной и той же константе, называемой общей разностью (公差), которая обычно обозначается$d$

.

Математическое определение

Для последовательности$\{a_n\}$

, если существует константа$d$

такая, что:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Тогда последовательность$\{a_n\}$

называется арифметической последовательностью с общим$d$

различием .

Формула общего члена

-й$n$

член арифметической последовательности можно выразить с помощью первого члена$a_1$

и общего различия$d$

:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Вывод:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

• ...

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы

Сумма первых$n$

членов имеет две распространенные формулы:

Формула 1 (с использованием первого и последнего членов): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Формула 2 (с использованием первого члена и общего различия):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Важные свойства

Свойство 1: среднее арифметическое

Если$a$

,$b$

,$c$

образуют арифметическую прогрессию, то:$b = \frac{a + c}{2}$

То есть$b$

является арифметическим средним$a$

и$c$

.

Свойство 2: Свойство индекса

Если$m + n = p + q$

(где$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), то:

$a_m + a_n = a_p + a_q$

В частности, если$m + n = 2p$

, то:

$a_m + a_n = 2a_p$

Свойство 3: Свойство суммы

Сумма первых$n$

членов может рассматриваться как$n$

кратное среднему значению первого и последнего членов:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Применение в реальной жизни

Применение 1: Банковские сбережения

Задача: Мин ежемесячно откладывает 500 юаней в течение 12 месяцев. Какова общая сумма сбережений через 12 месяцев?

Анализ: Ежемесячные вклады образуют арифметическую прогрессию с$a_1 = 500$

,$d = 500$

,$n = 12$

.

Решение: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Применение 2: Места в театре

Задача: В театре 20 мест в первом ряду. В каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Если всего 30 рядов, то сколько всего мест?

Анализ:

• Первый член $a_1 = 20$

• Общее различие $d = 2$

• Количество членов$n = 30$

Решение: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

Практические задачи CSCA

> 💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов по китайскому языку, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

В арифметической прогрессии$\{a_n\}$

,$a_3 = 7$

и$a_7 = 15$

. Найдите$a_{10}$

.

Варианты:

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

Подробное решение:

Метод 1: Использование формулы общего члена

1. Из формулы общего члена: -$a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① -$a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

2. ② - ① дает:$4d = 8$

, поэтому $d = 2$

3. Подставляя в ①:$a_1 + 4 = 7$

, поэтому $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Ответ: B

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

В арифметической прогрессии$\{a_n\}$

,$S_5 = 25$

и$S_{10} = 100$

. Найдите$S_{15}$

.

Варианты:

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

Подробное решение:

Метод: Используя свойство, что$S_5$

,$S_{10} - S_5$

, и$S_{15} - S_{10}$

также образуют арифметическую прогрессию:

-$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

• Общее различие:

$75 - 25 = 50$

Следовательно:

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Ответ: C

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Может ли общее различие быть равным нулю?

Ответ: Математически, когда$d = 0$

, последовательность является постоянной последовательностью, которая технически является арифметической последовательностью. Однако в экзаменах CSCA «арифметическая последовательность» обычно подразумевает$d \neq 0$

, если не указано иное.

❌ Ошибка 2: Всегда ли арифметическая последовательность возрастающая?

Ответ: Не обязательно! -$d > 0$

→ возрастающая последовательность -$d < 0$

→ убывающая последовательность -$d = 0$

→ постоянная последовательность

❌ Ошибка 3: Путаница с геометрическими последовательностями

Ключевое различие:

• Арифметическая последовательность: разность между последовательными членами постоянна ($a_{n+1} - a_n = d$

)

• Геометрическая последовательность: отношение между последовательными членами постоянно ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

Советы по изучению

1. ✅ Освойте формулы - формулы общего члена и суммы являются основополагающими
2. ✅ Поймите, что такое общий разность - она может быть положительной, отрицательной или равной нулю
3. ✅ Практикуйтесь в использовании свойств - особенно среднего арифметического и индекса
4. ✅ Решайте различные задачи - арифметические последовательности часто сочетаются с функциями и неравенствами
5. ✅ Сравните с геометрическими последовательностями — четко понимайте различия

---

💡 Совет по экзамену: Арифметические последовательности — часто встречающаяся тема в экзаменах по математике CSCA, составляющая около 60 % вопросов по последовательностям. Ежедневно решайте 2–3 связанных задачи, чтобы обеспечить хорошее владение материалом.