公差gōngchā

Основная концепция

Общее различие является основным параметром арифметической прогрессии, представляющим постоянное различие между последовательными членами. В арифметической прогрессии, начиная со второго члена, различие между каждым членом и предшествующим ему членом равно этой фиксированной константе.

Математическое определение

Для арифметической прогрессии общее различие$d$

$\{a_n\}$

определяется как:$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

где$d$

— константа для всех членов последовательности.

Свойства

1. Уникальность: арифметическая прогрессия имеет только одно общее различие
2. Может быть положительным, отрицательным или нулевым: -$d > 0$

→ возрастающая прогрессия -$d < 0$

→ убывающая прогрессия -$d = 0$

→ постоянная прогрессия

3. Формула вычисления: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Применение в реальной жизни

Применение 1: Изменения температуры

Задача: Ежедневные максимальные температуры за неделю: 20 °C, 22 °C, 24 °C, 26 °C, 28 °C, 30 °C, 32 °C. Найдите общий разность.

Решение:

$d = 22 - 20 = 2°C$

Температура повышается на 2 °C ежедневно, демонстрируя арифметический рост.

Применение 2: Рост заработной платы

Задача: Заработная плата Минга в первый год составляет$5000, increasing by$

500 в год. Какова общая разность?

Решение: Общая разность$d = 500$

в год

Это образует арифметическую последовательность с$a_1 = 5000$

,$d = 500$

.

Практические задачи CSCA

> 💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов Китая, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Пример 1: Базовый (Сложность ★☆☆☆☆)

В арифметической прогрессии$\{a_n\}$

,$a_1 = 3$

и$a_5 = 11$

. Найдите общее различие$d$

.

Варианты:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Подробное решение:

Используя формулу:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Проверка:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

-$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

Ответ: B

---

Пример 2: Продвинутый (Сложность ★★★☆☆)

В арифметической прогрессии$\{a_n\}$

с$d \neq 0$

, заданы$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

и$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

, найдите$d$

.

Подробное решение:

Пусть$a_3 = a$

(средний член), тогда:

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

Условие 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Условие 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Ответ: $d = \pm 1$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Общее различие должно быть положительным

Исправление: Общее различие может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Пример: Последовательность 10, 8, 6, 4, 2, ... имеет$d = -2$

(отрицательное).

❌ Ошибка 2: Любые два члена отличаются на d

Исправление: Общее различие — это разница только между последовательными членами.

Для$a_n$

и$a_m$

где$n > m$

:

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Ошибка 3: Путаница между первым членом и общим различием

Исправление: Первый член$a_1$

— это начальное значение; общий разность$d$

— это изменение между членами. Это разные понятия.

Советы по изучению

1. ✅ Поймите суть: Общая разность описывает равномерное изменение
2. ✅ Осознание знака: Обратите внимание, является ли d положительным или отрицательным
3. ✅ Гибкий расчет: освойте несколько методов нахождения d
4. ✅ Применение в реальной жизни: выявляйте арифметические закономерности в повседневной жизни

---

💡 Совет по экзамену: общий разность является основой арифметических последовательностей. Она присутствует почти в каждой задаче по арифметическим последовательностям. Убедитесь, что вы можете вычислять ее быстро и точно.