等比数列děngbǐ shùliè

Основное понятие

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой, начиная со второго члена, отношение каждого члена к предыдущему члену равно одной и той же константе. Эта константа называется общим отношением и обычно обозначается$q$

.

Математическое определение

Для последовательности$\{a_n\}$

, если существует константа$q \neq 0$

такая, что:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

то$\{a_n\}$

называется геометрической прогрессией с общим отношением$q$

.

Формула общего

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

члена

где: -$a_1$

— первый член -$q$

— общее отношение -$n$

— номер члена

Формула суммы

**Когда$q \neq 1$

**:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

**Когда$q = 1$

**:

$S_n = n \cdot a_1$

Геометрическая и арифметическая последовательности

Характеристика	Геометрическая	Арифметическая
Определение	Отношение последовательных членов является постоянным	Разница последовательных членов является постоянной
Обозначение	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

|$a_{n+1} - a_n = d$

| | Общий член |$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

|$a_n = a_1 + (n-1)d$

| | Среднее |$b^2 = ac$

(геометрическое среднее) |$b = \frac{a+c}{2}$

(арифметическое среднее) |

Применение в реальной жизни

Применение 1: Деление клеток

Задача: Каждый час клетка делится на 2 клетки. Сколько клеток будет через 8 часов?

Решение:

• Первый член $a_1 = 1$

• Общее отношение $q = 2$

• Через 8 часов: клеток$a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Применение 2: Проценты

Задача: 10 000 долларов, размещенные под 5 % годовых (сложные проценты). Общая сумма через 10 лет?

Решение: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Применение 3: Радиоактивный распад

Задача: Вещество распадается на 20 % в год. Начальная масса 100 г, сколько останется через 5 лет?

Решение: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Практические задачи CSCA

> 💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов в Китае, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

В геометрической прогрессии$\{a_n\}$

,$a_2 = 6$

и$a_5 = 48$

. Найдите общее отношение$q$

.

Варианты:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Подробное решение:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Ответ: A

---

Пример 2: средний уровень (сложность ★★★☆☆)

В геометрической прогрессии и$\{a_n\}$

a_2 + a_3 = 6$$a_1 + a_2 = 3

. Найдите$a_5$

.

Подробное решение:

$a_1(1 + q) = 3$

... ①$a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

Разделим ②÷①: $q = 2$

Подставим в ①: $a_1 = 1$

Следовательно: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Ответ: 16

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Геометрические последовательности всегда растут

Исправление: Рост зависит как$a_1$

от$q$

, так и от : -$a_1 > 0, q > 1$

→ растущая -$a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ убывающая -$q < 0$

→ чередующиеся знаки

❌ Ошибка 2: Общее отношение может быть равно нулю

Исправление:$q \neq 0$

, иначе все члены, начиная со второго, были бы равны нулю.

❌ Ошибка 3: Путаница между геометрическим и арифметическим средними

Исправление:

• Геометрическое среднее: $b^2 = ac$

• Арифметическое среднее: $b = \frac{a+c}{2}$

Не путайте их!

❌ Ошибка 4: Забывание классифицировать при суммировании

Исправление: При вычислении сумм всегда учитывайте$q = 1$

и$q \neq 1$

отдельно.

Советы по изучению

1. ✅ Сравните с арифметическими последовательностями: Поймите разницу между «отношением» и «разностью»

2. ✅ Освойте формулы: Запомните формулы общего члена и суммы

3. ✅ Анализ случаев: Рассмотрите различные случаи для$q$

4. ✅ Реальные приложения: Деление клеток, сложные проценты, распад — типичные модели

---

💡 Совет по экзамену: Геометрические и арифметические последовательности одинаково важны в экзаменах CSCA, каждая из них составляет около 50% задач по последовательностям. Изучайте их сравнительно!