指数函数zhǐshù hánshù

핵심 개념

지수함수는 다음과 같은 형태의 함수이다:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

여기서:

• $a$는 밑 (양수이며 1이 아니어야 함)
• $x$는 지수 (변수)

거듭제곱함수와의 중요한 차이: 지수함수에서는 변수가 지수에 위치하고, 거듭제곱함수 $x^n$에서는 변수가 밑에 위치한다.

정의역과 치역

• 정의역: $\mathbb{R}$ (모든 실수)
• 치역: $(0, +\infty)$ (모든 양의 실수)

참고: $a > 0$일 때, 모든 실수 $x$에 대해 $a^x > 0$이다.

기본 성질

1. 점 (0, 1)을 지남

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{모든 } a > 0 \text{에 대해}$

모든 지수함수는 점 $(0, 1)$을 지난다.

2. 항상 양수

$a^x > 0 \quad \text{모든 } x \in \mathbb{R} \text{에 대해}$

3. 단조성

• $a > 1$이면: $f(x) = a^x$는 순증가
• $0 < a < 1$이면: $f(x) = a^x$는 순감소

4. 지수법칙

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

그래프 특성

$a > 1$일 때 (예: $y = 2^x$)

• 왼쪽에서 오른쪽으로 증가
• $x \to -\infty$일 때 0에 접근
• $x \to +\infty$일 때 한없이 증가
• 수평 점근선: $y = 0$

$0 < a < 1$일 때 (예: $y = (1/2)^x$)

• 왼쪽에서 오른쪽으로 감소
• $x \to -\infty$일 때 한없이 증가
• $x \to +\infty$일 때 0에 접근
• 수평 점근선: $y = 0$

값의 비교

$a > 1$일 때:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

$0 < a < 1$일 때:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

암기 요령: "밑 > 1: 지수가 클수록 값이 크다; 밑 < 1: 지수가 클수록 값이 작다"

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 교과 과정에 기반하여 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

다음 값을 비교하시오: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

풀이: 밑수 $2 > 1$이므로 $y = 2^x$는 증가함수이다.

$0.5 > 0.3 > -0.1$이므로: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

답: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

비교하시오: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

풀이:

$0.5^{-0.1}$과 $0.5^{0.1}$의 경우: $0 < 0.5 < 1$이므로 $y = 0.5^x$는 감소함수이다. 따라서 $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

$0.5^{0.1}$의 경우: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

$1.5^{0.1}$의 경우: $1.5 > 1$이고 $0.1 > 0$이므로 $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

$0.5^{-0.1}$의 경우: 이는 $2^{0.1} > 1$이다.

$2^{0.1}$과 $1.5^{0.1}$ 비교: $2 > 1.5$이고 지수가 양수이므로: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

답: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

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예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$의 치역을 구하시오.

풀이:

$t = 2^x$로 치환한다. $x \in [-1, 2]$이므로: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$이고 $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$이다.

따라서: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

$t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$에서:

• $t = 1$에서 최솟값: $f = 0 + 1 = 1$
• 끝점 확인:
  • $t = \dfrac{1}{2}$일 때: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • $t = 4$일 때: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

치역: $[1, 10]$

특수 지수함수

자연 지수함수

$f(x) = e^x \quad \text{여기서 } e \approx 2.71828$

이것은 미적분학에서 가장 중요한 지수함수이다. $(e^x)' = e^x$이기 때문이다.

흔한 실수

❌ 실수 1: 거듭제곱함수와 혼동

틀림: $x^2$는 지수함수이다 ✗

맞음: $2^x$는 지수함수 (변수가 지수에 위치), $x^2$는 거듭제곱함수 ✓

❌ 실수 2: 부등식 방향 오류

틀림: $0.5 < 1$이므로 $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

맞음: $0 < a < 1$일 때, 지수가 클수록 값이 작다: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ 실수 3: $a^x > 0$ 잊기

틀림: 방정식 $2^x = -1$의 해는? ✗

맞음: 모든 $x$에 대해 $2^x > 0$이므로 해가 없다. ✓

학습 팁

1. ✅ 두 가지 경우 익히기: $a > 1$ (증가) vs $0 < a < 1$ (감소)
2. ✅ 치환법 활용: $t = a^x$로 치환하여 대수 방정식으로 변환
3. ✅ 점근선 기억: $y = 0$은 항상 수평 점근선
4. ✅ 변수 위치 확인: 지수에 변수가 있어야 지수함수

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💡 시험 팁: 지수방정식을 풀 때, $t = a^x$ 치환법을 사용하여 대수방정식으로 변환하세요. $t > 0$임을 기억하세요!