公差gōngchā

핵심 개념

공차는 등차수열의 핵심 매개변수로, 연속된 항들 사이의 일정한 차이를 나타냅니다. 등차수열에서 두 번째 항부터 시작하여 각 항과 그 앞의 항 사이의 차이는 이 고정된 상수와 같습니다.

수학적 정의

등차수열 $\{a_n\}$

에 대해 공차 는 다음과$d$

같이 정의됩니다:$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

여기서$d$

는 수열의 모든 항에 대해 상수이다.

성질

1. 유일성: 등차수열은 오직 하나의 공차만을 가진다
2. 양수, 음수 또는 0일 수 있음: -$d > 0$

→ 증가하는 수열 -$d < 0$

→ 감소하는 수열 -$d = 0$

→ 일정 수열

3. 계산 공식: $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

실제 적용 사례

적용 사례 1: 온도 변화

문제: 일주일 동안의 일일 최고 기온은 20°C, 22°C, 24°C, 26°C, 28°C, 30°C, 32°C입니다. 공차(공통차이)를 구하세요.

해설:

$d = 22 - 20 = 2°C$

기온이 매일 2°C씩 증가하므로 등차수열을 나타냅니다.

응용 2: 연봉 증가

문제: 명씨의 첫해 연봉은 500입니다$5000, increasing by$

. 공차(공통차이)는 얼마입니까$d = 500$

?

해설: 연간 공차

이는 , 로$a_1 = 5000$

$d = 500$

등차수열을 이룹니다.

CSCA 연습 문제

> 💡 참고: 아래 연습 문제는 CSCA 시험 범위와 중국 표준 시험 형식을 바탕으로 제작되어 학생들이 문제 유형과 해결 방법을 익히는 데 도움을 줍니다.

예시 1: 기초 (난이도 ★☆☆☆☆)

등차수열 $\{a_n\}$

에서$a_1 = 3$

이고 $a_5 = 11$

입니다.$d$

공차 를 구하세요.

선택지:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

자세한 해설:

공차 공식 적용:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

검증:

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = 7 + 2 = 9$

-$a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

정답: B

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예제 2: 고급 (난이도 ★★★☆☆)

등차수열$\{a_n\}$

에서 $d \neq 0$

이고, 와$a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

가$a_1 + a_3 + a_5 = 15$

주어졌을 때 를 구하시오$d$

.

자세한 해설:

중간항 를$a_3 = a$

두면:

$a_1 = a - 2d$

-$a_5 = a + 2d$

조건 1: $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

조건 2: $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

답: $d = \pm 1$

흔한 실수

❌ 실수 1: 공차(공통차이)는 반드시 양수여야 한다

수정: 공차는 양수, 음수 또는 0일 수 있습니다.

예시: 수열 10, 8, 6, 4, 2, ...의 공차는$d = -2$

(음수)입니다.

❌ 실수 2: 임의의 두 항의 차이가 공차 d라고 오해

정정: 공차는 연속된 두 항 사이의 차이만을 의미합니다.

와$a_n$

$a_m$

에서$n > m$

:

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ 실수 3: 첫 항과 공차를 혼동

정정: 첫 항$a_1$

은 시작값이며, 공차$d$

는 항 사이의 변화량입니다. 이들은 서로 다른 개념입니다.

학습 팁

1. ✅ 본질 이해: 공차는 균일한 변화를 나타냅니다
2. ✅ 부호 인식: d가 양수인지 음수인지 확인하세요
3. ✅ 유연한 계산: 공차 d를 구하는 다양한 방법을 숙지하세요
4. ✅ 실생활 적용: 일상 속 등차수열 패턴을 찾아보세요

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💡 시험 팁: 공차는 등차수열의 핵심입니다. 거의 모든 등차수열 문제에 등장하므로 빠르고 정확하게 계산할 수 있도록 준비하세요.