等差数列děngchā shùliè

핵심 개념

등차수열(等差数列)은 수학에서 가장 기본적인 수열 유형 중 하나입니다. 두 번째 항부터 시작하여, 어떤 항과 그 앞의 항 사이의 차이는 항상 같은 상수, 즉 공차(公差)와 같으며, 일반적으로 로 표시됩니다$d$

.

수학적 정의

수열 에$\{a_n\}$

대해, 상수 가 존재하여$d$

다음을 만족할 때:

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

이때 수열$\{a_n\}$

을 등차수열이라 하며, 를$d$

공차라 한다.

일반항 공식

등차수열의 번째$n$

항은 첫항$a_1$

과 공차 를 사용하여 다음과 같이 표현할$d$

수 있다:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

도출 과정:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

-$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

• ...

$a_n = a_1 + (n-1)d$

합 공식

처음$n$

항들의 합은 두 가지 일반적인 공식이 있습니다:

공식 1 (첫 항과 마지막 항 사용): $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

공식 2 (첫 항과 공차 사용):

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

중요한 성질

성질 1: 산술 평균$a$

,

,c$$b

가 등차수열을 이룬다면:$b = \frac{a + c}{2}$

즉,$b$

는 와 $a$

의 **산술$c$

평균**이다.

성질 2: 지수 성질

($m + n = p + q$

여기서$m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

)일 때:

$a_m + a_n = a_p + a_q$

특히, 일$m + n = 2p$

때:

$a_m + a_n = 2a_p$

성질 3: 합 성질

처음$n$

항들의 합은 첫 항과 마지막 항의 평균의 배로$n$

볼 수 있다:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

실제 적용

응용 1: 은행 예금

문제: 명은 12개월 동안 매월 500위안을 저축합니다. 12개월 후 총 저축액은 얼마입니까?

분석: 월별 예금은 ,$d = 500$

,n = 12$$a_1 = 500

로 이루어진 등차수열을 이룹니다.

해결: $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

응용 2: 극장 좌석

문제: 극장 1열에는 20개의 좌석이 있습니다. 이후 각 열마다 이전 열보다 좌석이 2개씩 더 많습니다. 총 30열이라면 전체 좌석 수는 몇 개인가요?

분석:

• 첫 항 $a_1 = 20$

• 공차 $d = 2$

• 항의 개수$n = 30$

해법: $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

CSCA 연습 문제

> 💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 과목 및 중국 표준 시험 형식을 바탕으로 설계되어 학생들이 문제 유형과 해결 방식을 익히는 데 도움을 줍니다.

예시 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

등차수열 $\{a_n\}$

에서$a_3 = 7$

이고 $a_7 = 15$

입니다$a_{10}$

. 를 구하세요.

선택지:

• A. 19
• B. 21
• C. 23
• D. 25

자세한 해설:

방법 1: 공비 공식 활용

1. 공비 공식에서: -$a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① -$a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

2. ② - ①을 대입하면:$4d = 8$

, 따라서 $d = 2$

3. ①에 대입하면:$a_1 + 4 = 7$

, 따라서 $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

정답: B

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

등차수열 $\{a_n\}$

에서$S_5 = 25$

이고 $S_{10} = 100$

입니다$S_{15}$

. 를 구하시오.

선택지:

• A. 175
• B. 200
• C. 225
• D. 250

자세한 해설:

방법: ,$S_{10} - S_5$

,$S_{15} - S_{10}$

또한$S_5$

등차수열을 이룬다는 성질을 이용함:

$S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

• 공차: $75 - 25 = 50$

따라서: $S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

정답: C

흔한 실수

❌ 실수 1: 공차가 0일 수 있나요?

답변: 수학적으로, 일 때$d = 0$

, 이 수열은 상수 수열이며, 이는 기술적으로 등차수열에 해당합니다. 그러나 CSCA 시험에서는 별도로 명시되지 않는 한 "등차수열$d \neq 0$

"은 일반적으로 를 의미합니다.

❌ 실수 2: 등차수열은 항상 증가하는가?

답변: 반드시 그렇지는 않습니다! -$d > 0$

→ 증가 수열 -$d < 0$

→ 감소 수열 -$d = 0$

→ 상수 수열

❌ 실수 3: 등비수열과 혼동하기

핵심 차이점:

• 등차수열: 연속항 간의 공차(차이)가 일정함 ($a_{n+1} - a_n = d$

)

• 등비수열: 연속항 간의 공비(비율)가 일정함 ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

학습 팁

1. ✅ 공식을 완벽히 숙지하라 - 일반항과 합 공식이 기본
2. ✅ 공차의 성질을 이해하라 - 양수, 음수, 0일 수 있음
3. ✅ 성질을 연습하라 - 특히 산술평균과 지수 성질
4. ✅ 다양한 문제를 풀어라 - 등차수열은 함수, 부등식과 결합되는 경우가 많음
5. ✅ 등비수열과 비교하기 - 차이점을 명확히 이해하세요

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💡 시험 팁: 등차수열은 CSCA 수학 시험에서 빈도 높은 주제로, 수열 관련 문제의 약 60%를 차지합니다. 숙달을 위해 매일 2~3개의 관련 문제를 연습하세요.