等比数列děngbǐ shùliè

핵심 개념

등비수열이란 두 번째 항부터 시작하여 각 항과 그 직전 항의 비율이 모두 같은 상수인 수열을 말합니다. 이 상수를 공비라고 하며, 일반적으로 $q$로 표기합니다.

수학적 정의

수열 $\{a_n\}$에 대해, 다음 조건을 만족하는 상수 $q \neq 0$가 존재한다면:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

이때 $\{a_n\}$는 공비 $q$를 갖는 기하급수라고 한다.

일반 항의 공식

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

여기서:

• $a_1$는 첫 번째 용어입니다.
• $q$는 공통 비율입니다.
• $n$는 과목 번호입니다.

합 공식

$q \neq 1$일 때: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

$q = 1$일 때: $S_n = n \cdot a_1$

기하급수 대 산술급수

특징	기하학적	산술
정의	연속된 항의 비율은 일정하다	연속된 항들의 차이는 일정하다
기호	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$	$a_{n+1} - a_n = d$
일반 용어	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
평균	$b^2 = ac$ (기하평균)	$b = \frac{a+c}{2}$ (산술 평균)

실생활에서의 활용 사례

응용 사례 1: 세포 분열

문제: 한 세포가 매시간 두 개의 세포로 분열합니다. 8시간 후에는 몇 개의 세포가 될까요?

해결책:

• 1학기 $a_1 = 1$
• 일반 비율 $q = 2$
• 8시간 후: $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$ 세포

예제 2: 복리

문제: 연 5%의 이자율(복리)로 $10,000을 예치했을 때, 10년 후 총액은 얼마인가?

해결책: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

응용 사례 3: 방사성 붕괴

문제: 어떤 물질의 질량은 매년 20%씩 감소합니다. 초기 질량이 100g일 때, 5년 후 남은 질량은 얼마입니까?

해결책: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 커리큘럼과 중국 표준 시험 형식을 바탕으로 제작되었으며, 학생들이 문제 유형과 해결 방법을 익힐 수 있도록 돕기 위한 것입니다.

예제 1: 기본 (난이도 ★★☆☆☆)

등비수열 $\{a_n\}$, $a_2 = 6$, $a_5 = 48$에서 공통비 $q$를 구하시오.

옵션:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

자세한 해설:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

정답: A

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

등비수열 $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$, $a_2 + a_3 = 6$가 주어졌다. $a_5$를 구하시오.

자세한 해법:

$a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②

②÷①을 나누기: $q = 2$

①에 대입: $a_1 = 1$

따라서: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

정답: 16

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 등비수열은 항상 증가한다

정정: 성장은 $a_1$와 $q$ 모두에 달려 있습니다:

• $a_1 > 0, q > 1$ → 증가
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → 감소
• $q < 0$ → 부호가 번갈아 나타나는 경우

❌ 실수 2: 공통비(common ratio)가 0일 수 있다

정정: $q \neq 0$, 그렇지 않으면 두 번째 항부터 모든 항의 값이 0이 됩니다.

❌ 실수 3: 기하평균과 산술평균을 혼동하는 것

정정:

• 기하평균: $b^2 = ac$
• 산술 평균: $b = \frac{a+c}{2}$

혼동하지 마세요!

❌ 실수 4: 합산할 때 분류하는 것을 깜빡하는 것

정정: 합을 구할 때는 항상 $q = 1$와 $q \neq 1$를 따로 고려해야 합니다.

공부 요령

1. ✅ 등차수열과 비교하기: “비”와 “차”의 차이 이해하기
2. ✅ 기본 공식: 일반 항과 합에 대한 공식을 외우세요
3. ✅ 사례 분석: $q$에 대한 다양한 사례를 검토해 보세요.
4. ✅ 실제 적용 사례: 세포 분열, 복리, 부패는 대표적인 모델입니다.

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💡 시험 팁: CSCA 시험에서 기하급수열과 산술급수열은 모두 똑같이 중요하며, 각각 급수 문제의 약 50%를 차지합니다. 두 가지를 균형 있게 공부하세요!