geometric sequence | CSCA Math Glossary

핵심 개념

기하급수란 두 번째 항부터 시작하여 각 항과 그 앞의 항의 비율이 동일한 상수인 수열을 말한다. 이 상수를 공비라고 하며, 일반적으로 로 표기한다.

수학적 정의

수열 에 $\{a_n\}$

대해, 상수 가 존재하여 $q$

$q \neq 0$

다음을 만족할 때 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

이를 $\{a_n\}$

공비 를 가진 $q$

기하급수라고 한다.

일반항 공식

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

여기서: - $a_1$

는 첫 항 - $q$

는 공비 - $n$

는 항의 번호

합 공식

****일 $q \neq 1$

때:

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

****일 $q = 1$

때:

$S_n = n \cdot a_1$

등비수열과 등차수열 비교

특징	등비수열	등차수열
정의	연속항들의 비가 일정함	연속항들의 차이가 일정함
표기법	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

| $a_{n+1} - a_n = d$

| | 일반항 | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

| $a_n = a_1 + (n-1)d$

| | 평균 | $b^2 = ac$

(기하평균) | $b = \frac{a+c}{2}$

(산술평균) |

실제 적용 사례

적용 사례 1: 세포 분열

문제: 세포가 매시간 2개로 분열합니다. 8시간 후 세포 수는?

해결:

첫 항 $a_1 = 1$
공비 $q = 2$
8시간 후: 개 $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

적용 사례 2: 복리

문제: 연 5% 복리로 예금된 10,000달러. 10년 후 총액은?

해법: $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

응용 3: 방사성 붕괴

문제: 물질이 매년 20%씩 붕괴된다. 초기 질량 100g, 5년 후 잔여량은?

해법: $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

CSCA 연습 문제

> 💡 참고: 아래 연습 문제는 CSCA 시험 범위와 중국 표준 시험 형식을 바탕으로 설계되어 학생들이 문제 유형과 해결 방식을 익히는 데 도움을 줍니다.

예시 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

기하급수 $\{a_n\}$

에서 $a_2 = 6$

이고 $a_5 = 48$

입니다. 공비 $q$

를 구하세요.

선택지:

A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

해설:

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

정답: A

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

기하급수 $\{a_n\}$

에서 $a_1 + a_2 = 3$

이고 $a_2 + a_3 = 6$

입니다. 를 $a_5$

구하세요.

해설:

$a_1(1 + q) = 3$

... ① $a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

②÷①을 나누면: $q = 2$

이를 ①에 대입하면: $a_1 = 1$

따라서: $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

정답: 16

흔한 실수

❌ 실수 1: 등비수열은 항상 증가한다

정정: 증가 여부는 와 에 $a_1$

모두 달려 $q$

있습니다: - $a_1 > 0, q > 1$

→ 증가 - $a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ 감소 - $q < 0$

→ 부호가 번갈아 나타남

❌ 실수 2: 공비가 0일 수 있음

정정: $q \neq 0$

, 그렇지 않으면 두 번째 항부터 모든 항이 0이 됨.

❌ 실수 3: 기하평균과 산술평균 혼동

정정:

기하평균: $b^2 = ac$
산술평균:

$b = \frac{a+c}{2}$

혼동하지 마세요!

❌ 실수 4: 합산 시 분류를 잊음

수정: 합을 구할 때는 항상 와 $q \neq 1$

를 따로 $q = 1$

고려하세요.

학습 팁

✅ 등차수열과 비교: "비율" vs "차이" 이해하기
✅ 공식 숙지: 일반항과 합 공식 암기
✅ 사례 분석: 다양한 경우 고려하기 4 $q$

. ✅ 실생활 적용: 세포 분열, 복리 이자, 붕괴는 대표적인 모델

💡 시험 팁: 기하급수와 등차급수는 CSCA 시험에서 동등하게 중요하며, 각각 급수 문제의 약 50%를 차지합니다. 비교 학습하세요!

等比数列děngbǐ shùliè