奇偶性qī'ǒuxìng

Concept fondamental

La parité décrit les propriétés de symétrie d'une fonction. Une fonction peut être paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.

Prérequis : Pour qu'une fonction possède une parité, son domaine de définition doit être symétrique par rapport à l'origine (si $x$ appartient au domaine, alors $-x$ doit aussi y appartenir).

Définitions

Fonction paire (偶函数)

Une fonction $f$ est paire si : $f(-x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \text{ du domaine}$

Propriété graphique : Le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire (奇函数)

Une fonction $f$ est impaire si : $f(-x) = -f(x) \quad \text{pour tout } x \text{ du domaine}$

Propriété graphique : Le graphe est symétrique par rapport à l'origine.

Propriété spéciale des fonctions impaires

Si $f$ est impaire et $0$ appartient au domaine, alors $f(0) = 0$.

Preuve : $f(0) = f(-0) = -f(0)$, donc $2f(0) = 0$, d'où $f(0) = 0$.

Fonctions courantes et leur parité

Fonction	Parité	Vérification
$y = x^n$ ($n$ pair)	Paire	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ impair)	Impaire	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	Impaire	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Paire	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Impaire	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Ni l'un ni l'autre	$a^{-x} \neq a^x$ et $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Ni l'un ni l'autre	Domaine non symétrique

Méthodes pour déterminer la parité

Procédure étape par étape

1. Vérifier la symétrie du domaine : $-x$ est-il dans le domaine lorsque $x$ y est ?
2. Calculer $f(-x)$ : Substituer $-x$ dans la fonction
3. Comparer avec $f(x)$ et $-f(x)$ :
   • Si $f(-x) = f(x)$ → Paire
   • Si $f(-x) = -f(x)$ → Impaire
   • Sinon → Ni paire ni impaire

Exemple 1 : Fonction paire

Déterminer la parité de $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, symétrique par rapport à l'origine. ✓

Étape 2 : $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Conclusion : $f$ est paire.

Exemple 2 : Fonction impaire

Déterminer la parité de $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, symétrique par rapport à l'origine. ✓

Étape 2 : $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Conclusion : $f$ est impaire.

Exemple 3 : Ni paire ni impaire

Déterminer la parité de $f(x) = x + 1$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, symétrique. ✓

Étape 2 : $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Puisque $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$ :

Conclusion : $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants sont conçus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Déterminer la parité de $f(x) = x^3 - x$.

Solution : $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Réponse : Fonction impaire

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Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si $f(x)$ est une fonction impaire et $f(2) = 3$, trouver $f(-2) + f(0)$.

Solution :

Puisque $f$ est impaire :

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (propriété des fonctions impaires)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Réponse : $-3$

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Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ est une fonction impaire, trouver les valeurs de $b$ et $d$.

Solution :

Pour une fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

En comparant : $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Cela nécessite : $bx^2 = -bx^2$ et $d = -d$

Par conséquent : $b = 0$ et $d = 0$

Réponse : $b = 0$, $d = 0$

Parité et opérations

Somme de fonctions

$f$	$g$	$f + g$
Paire	Paire	Paire
Impaire	Impaire	Impaire
Paire	Impaire	Ni l'un ni l'autre (en général)

Produit de fonctions

$f$	$g$	$f \cdot g$
Paire	Paire	Paire
Impaire	Impaire	Paire
Paire	Impaire	Impaire

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Ignorer la symétrie du domaine

Faux : $f(x) = \sqrt{x}$ est paire car $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Correct : Le domaine $[0, +\infty)$ n'est pas symétrique par rapport à l'origine, donc la parité n'est pas définie. ✓

❌ Erreur 2 : Oublier $f(0) = 0$ pour les fonctions impaires

Si $f$ est impaire et définie en $x = 0$, alors $f(0) = 0$.

❌ Erreur 3 : Ne vérifier qu'une seule valeur

Faux : $f(1) = f(-1)$, donc $f$ est paire. ✗

Correct : Il faut vérifier $f(-x) = f(x)$ pour TOUT $x$ du domaine. ✓

Conseils d'étude

1. ✅ Vérifier d'abord le domaine : La symétrie par rapport à l'origine est requise
2. ✅ Utiliser la vérification algébrique : Ne pas se fier uniquement aux graphiques
3. ✅ Retenir la propriété spéciale : Les fonctions impaires passent par l'origine
4. ✅ Connaître les règles de produit : impaire × impaire = paire

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💡 Conseil d'examen : Pour les polynômes, les fonctions impaires n'ont que des termes de degré impair et les fonctions paires n'ont que des termes de degré pair !