奇偶性qī'ǒuxìng

Concept fondamental

La parité décrit les propriétés de symétrie d'une fonction. Une fonction peut être paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.

Condition préalable : Pour qu'une fonction ait une parité, son domaine doit être symétrique par rapport à l'origine (si $x$ appartient au domaine, alors $-x$ doit également en faire partie).

Définitions

Fonction paire (偶関数)

Une fonction $f$ est paire si : $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Propriété graphique : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des y.

Fonction impaire (奇函数)

Une fonction $f$ est impaire si : $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Propriété graphique : La courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Propriété particulière des fonctions impaires

Si $f$ est impair et que $0$ appartient à l'ensemble, alors $f(0) = 0$.

Démonstration : $f(0) = f(-0) = -f(0)$, donc $2f(0) = 0$, et par conséquent $f(0) = 0$.

Fonctions courantes et leur parité

Fonction	Parité	Vérification
$y = x^n$ (voire $n$)	Même	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$, version impaire)	Étrange	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	Même	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	Étrange	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Même	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Étrange	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Ni l'un ni l'autre	$a^{-x} \neq a^x$ et $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Ni l'un ni l'autre	Domaine non symétrique

Méthodes de détermination de la parité

Procédure étape par étape

1. Vérifier la symétrie des domaines : $-x$ se trouve-t-il dans le domaine chaque fois que $x$ s'y trouve ?
2. Calculer $f(-x)$ : Remplacer $-x$ dans la fonction
3. Comparaison avec les modèles $f(x)$ et $-f(x)$ :
   • Si $f(-x) = f(x)$ → Pair
   • Si $f(-x) = -f(x)$ → impair
   • Sinon → Ni l'un ni l'autre

Exemple 1 : Fonction paire

Déterminez la parité de $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, qui est symétrique par rapport à l'origine. ✓

Étape 2 : $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Conclusion : $f$ est pair.

Exemple 2 : Fonction impaire

Déterminez la parité de $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, symétrique par rapport à l'origine. ✓

Étape 2 : $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Conclusion : le modèle $f$ est bizarre.

Exemple 3 : Ni l'un ni l'autre

Déterminez la parité de $f(x) = x + 1$.

Étape 1 : Le domaine est $\mathbb{R}$, symétrique. ✓

Étape 2 : $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Depuis les modèles $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$ :

Conclusion : $f$ n'est ni pair ni impair.

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices pratiques suivants ont été élaborés sur la base du programme de l'examen du CSCA.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★★☆☆☆)

Déterminez la parité de $f(x) = x^3 - x$.

Solution : $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Réponse : Fonction impaire

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Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si $f(x)$ est une fonction impaire et $f(2) = 3$ également, déterminez la valeur de $f(-2) + f(0)$.

Solution :

Étant donné que $f$ est un nombre impair :

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (propriété des fonctions impaires)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Réponse : $-3$

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Exemple 3 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ est une fonction impaire, déterminez les valeurs de $b$ et de $d$.

Solution :

Pour la fonction « impaire » : $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Comparaison : $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Pour cela, il faut les références suivantes : $bx^2 = -bx^2$ et $d = -d$

Par conséquent : $b = 0$ et $d = 0$

Réponse : $b = 0$, $d = 0$

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Exemple 4 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$, démontrez que $f(x)$ est impair.

Solution :

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

Calculez maintenant $f(x) + f(-x)$ : $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

Par conséquent : $f(-x) = -f(x)$

Conclusion : Le $f(x)$ est bizarre.

Parité et opérations

Somme de fonctions

$f$	$g$	$f + g$
Même	Même	Même
Étrange	Étrange	Étrange
Même	Étrange	Ni l'un ni l'autre (en général)

Produit de fonctions

$f$	$g$	$f \cdot g$
Même	Même	Même
Étrange	Étrange	Même
Même	Étrange	Étrange

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : ne pas tenir compte de la symétrie du domaine

Faux : $f(x) = \sqrt{x}$ est pair, car $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Correct : Le domaine $[0, +\infty)$ n'est pas symétrique par rapport à l'origine ; la parité est donc indéfinie. ✓

❌ Erreur n° 2 : oublier la formule $f(0) = 0$ pour les fonctions impaires

Si $f$ est impair et défini à $x = 0$, alors $f(0) = 0$.

❌ Erreur n° 3 : ne vérifier qu'une seule valeur

Faux : $f(1) = f(-1)$, donc $f$ est pair. ✗

Correct : Il faut vérifier le code $f(-x) = f(x)$ pour TOUS les codes $x$ du domaine. ✓

Conseils pour étudier

1. ✅ Vérifier d'abord le domaine : la symétrie par rapport à l'origine est obligatoire
2. ✅ Recourez à la vérification algébrique : ne vous fiez pas uniquement aux graphiques
3. ✅ Rappel : propriété particulière : les fonctions impaires passent par l'origine
4. ✅ Connaître les règles du jeu : impair × impair = pair

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💡 Astuce d'examen : Pour les polynômes, les fonctions impaires ne comportent que des termes de degré impair, tandis que les fonctions paires ne comportent que des termes de degré pair !