arithmetic sequence | CSCA Math Glossary

Concept fondamental

Une suite arithmétique (等差数列) est l'un des types de suites les plus fondamentaux en mathématiques. À partir du deuxième terme, la différence entre un terme quelconque et le terme qui le précède est égale à une constante, appelée différence commune (公差), généralement notée $d$

Définition mathématique

Pour une suite $\{a_n\}$

, s'il existe une constante $d$

telle que :

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

Alors la suite $\{a_n\}$

est appelée une suite arithmétique, avec $d$

comme différence commune.

Formule du terme général

Le $n$

-ième terme d'une suite arithmétique peut être exprimé à l'aide du premier terme $a_1$

et de la différence commune $d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Dérivation :

$a_2 = a_1 + d$

- $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Formule de somme

La somme des premiers $n$

termes a deux formules courantes :

Formule 1 (utilisant les premier et dernier termes) : $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Formule 2 (utilisant le premier terme et la différence commune) :

$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$

Propriétés importantes

Propriété 1 : moyenne arithmétique

Si $a$

, $b$

, $c$

forment une suite arithmétique, alors : $b = \frac{a + c}{2}$

Autrement dit, $b$

est la moyenne arithmétique de $a$

et $c$

Propriété 2 : propriété d'indice

Si $m + n = p + q$

(où $m, n, p, q \in \mathbb{N}^*$

), alors :

$a_m + a_n = a_p + a_q$

En particulier, si $m + n = 2p$

, alors :

$a_m + a_n = 2a_p$

Propriété 3 : propriété de somme

La somme des premiers $n$

termes peut être considérée comme $n$

fois la moyenne des premier et dernier termes :

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Applications concrètes

Application 1 : Épargne bancaire

Problème : Ming économise 500 yuans chaque mois pendant 12 mois. Quel est le montant total de son épargne après 12 mois ?

Analyse : Les dépôts mensuels forment une suite arithmétique avec $a_1 = 500$

, $d = 500$

, $n = 12$

Solution : $S_{12} = \frac{12 \times (500 + 6500)}{2} = 42,000 \text{ yuan}$

Application 2 : Places dans un théâtre

Problème : Un théâtre dispose de 20 places dans la première rangée. Chaque rangée suivante compte 2 places de plus que la précédente. S'il y a 30 rangées, combien y a-t-il de places au total ?

Analyse :

Premier terme $a_1 = 20$
Différence $d = 2$

commune

Nombre de termes $n = 30$

Solution : $S_{30} = 30 \times 20 + \frac{30 \times 29}{2} \times 2 = 600 + 870 = 1,470 \text{ seats}$

Exercices pratiques CSCA

> 💡 Remarque : les exercices pratiques suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardisés chinois afin d'aider les étudiants à se familiariser avec les types de questions et les approches de résolution de problèmes.

Exemple 1 : niveau de base (difficulté ★★☆☆☆)

Dans une suite $\{a_n\}$

arithmétique , $a_3 = 7$

et $a_7 = 15$

. Trouvez $a_{10}$

Options :

A. 19
B. 21
C. 23
D. 25

Solution détaillée :

Méthode 1 : Utilisation de la formule du terme général

À partir de la formule du terme général : - $a_3 = a_1 + 2d = 7$

... ① - $a_7 = a_1 + 6d = 15$

... ②

② - ① donne : $4d = 8$

, donc $d = 2$

En substituant dans ① : $a_1 + 4 = 7$

, donc $a_1 = 3$

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21$

Réponse : B

Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Dans une suite $\{a_n\}$

arithmétique , $S_5 = 25$

et $S_{10} = 100$

. Trouvez $S_{15}$

Options :

A. 175
B. 200
C. 225
D. 250

Solution détaillée :

Méthode : En utilisant la propriété selon laquelle $S_5$

, $S_{10} - S_5$

, et forment $S_{15} - S_{10}$

également une suite arithmétique :

- $S_5 = 25$

$S_{10} - S_5 = 100 - 25 = 75$

Différence commune :

$75 - 25 = 50$

Par conséquent :

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

Réponse : C

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : La différence commune peut-elle être nulle ?

Réponse : Mathématiquement, lorsque $d = 0$

, la suite est une suite constante, qui est techniquement une suite arithmétique. Cependant, dans les examens CSCA, « suite arithmétique » implique généralement $d \neq 0$

sauf indication contraire.

❌ Erreur 2 : Une suite arithmétique est-elle toujours croissante ?

Réponse : Pas nécessairement ! - $d > 0$

→ suite croissante - $d < 0$

→ suite décroissante - $d = 0$

→ suite constante

❌ Erreur 3 : confusion avec les suites géométriques

Différence essentielle :

Suite arithmétique : la différence entre deux termes consécutifs est constante ( $a_{n+1} - a_n = d$

)

Suite géométrique : le rapport entre deux termes consécutifs est constant ( $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

)

Conseils d'étude

✅ Maîtrisez les formules - Les formules du terme général et de la somme sont fondamentales.
✅ Comprenez la différence commune - Elle peut être positive, négative ou nulle.
✅ Entraînez-vous sur les propriétés - En particulier les propriétés de la moyenne arithmétique et de l'indice.
✅ Résolvez divers problèmes - Les suites arithmétiques sont souvent associées à des fonctions et des inégalités.
✅ Comparez avec les suites géométriques - Comprenez clairement les différences

💡 Conseil pour l'examen : les suites arithmétiques sont un sujet très fréquent dans les examens de mathématiques du CSCA, représentant environ 60 % des questions sur les suites. Entraînez-vous quotidiennement sur 2 ou 3 problèmes connexes pour vous assurer de les maîtriser.

等差数列děngchā shùliè