等比数列děngbǐ shùliè

Concept fondamental

Une suites géométrique est une suite dans laquelle, à partir du deuxième terme, le rapport entre chaque terme et le terme qui le précède est égal à une même constante. Cette constante s'appelle le rapport commun, généralement noté $q$.

Définition mathématique

Pour une suite $\{a_n\}$, s'il existe une constante $q \neq 0$ telle que :

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

On dit alors que $\{a_n\}$ est une suite géométrique dont le rapport est $q$.

Formule générale du terme

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

où :

• $a_1$ est le premier terme
• $q$ est le rapport commun
• $n$ est le numéro de référence

Formule de somme

Quand $q \neq 1$ : $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

Quand $q = 1$ : $S_n = n \cdot a_1$

Suites géométriques et suites arithmétiques

Fonctionnalité	Géométrique	Arithmétique
Définition	Le rapport entre deux termes consécutifs est constant	La différence entre deux termes consécutifs est constante
Notation	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$	$a_{n+1} - a_n = d$
Terme général	$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Moyenne	$b^2 = ac$ (moyenne géométrique)	$b = \frac{a+c}{2}$ (moyenne arithmétique)

Applications concrètes

Application n° 1 : Division cellulaire

Problème : Une cellule se divise toutes les heures en deux cellules. Combien y aura-t-il de cellules au bout de 8 heures ?

Solution :

• Premier trimestre $a_1 = 1$
• Rapport courant $q = 2$
• Au bout de 8 heures : cellules $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Application n° 2 : les intérêts composés

Problème : 10 000 $ placés à un taux d'intérêt annuel de 5 % (composé). Quel sera le montant total au bout de 10 ans ?

Solution : $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Application n° 3 : Désintégration radioactive

Problème : Une substance se décompose à raison de 20 % par an. Sa masse initiale est de 100 g. Quelle est sa masse restante au bout de 5 ans ?

Solution : $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices pratiques suivants ont été conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats des épreuves standardisées chinoises afin d'aider les élèves à se familiariser avec les types de questions et les méthodes de résolution.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★★☆☆☆)

Dans la suite géométrique $\{a_n\}$, $a_2 = 6$ et $a_5 = 48$, déterminez le rapport commun de $q$.

Options :

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 8

Solution détaillée :

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Réponse : A

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Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Dans la suite géométrique $\{a_n\}$, $a_1 + a_2 = 3$ et $a_2 + a_3 = 6$, calculez la valeur de $a_5$.

Solution détaillée :

$a_1(1 + q) = 3$ ... ① $a_1 q(1 + q) = 6$ ... ②

Division ②÷① : $q = 2$

Remplacer par ① : $a_1 = 1$

Par conséquent : $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Réponse : 16

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : les suites géométriques sont toujours croissantes

Correction : La croissance dépend à la fois de $a_1$ et de $q$ :

• $a_1 > 0, q > 1$ → en hausse
• $a_1 > 0, 0 < q < 1$ → en baisse
• $q < 0$ → signes alternés

❌ Erreur n° 2 : le rapport commun peut être égal à zéro

Correction : $q \neq 0$, sinon tous les termes à partir du deuxième seraient égaux à zéro.

❌ Erreur n° 3 : confondre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique

Correction :

• Moyenne géométrique : $b^2 = ac$
• Moyenne arithmétique : $b = \frac{a+c}{2}$

Ne les confondez pas !

❌ Erreur n° 4 : oublier de classer les données lors du calcul de la somme

Correction : Pensez toujours à traiter les modèles $q = 1$ et $q \neq 1$ séparément lorsque vous calculez les sommes.

Conseils pour les études

1. ✅ Comparaison avec les suites arithmétiques : Comprendre la différence entre « rapport » et « différence »
2. ✅ Formules de base : Mémorisez les formules générales des termes et des sommes
3. ✅ Analyse de cas : Examiner différents cas pour le modèle $q$
4. ✅ Applications concrètes : la division cellulaire, les intérêts composés et la désintégration sont des modèles typiques

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💡 Astuce pour l'examen : Les suites géométriques et arithmétiques revêtent la même importance dans les examens du CSCA, chacune représentant environ 50 % des problèmes portant sur les suites. Étudiez-les de manière équilibrée !