geometric sequence | CSCA Math Glossary

Concept fondamental

Une suite géométrique est une suite dans laquelle, à partir du deuxième terme, le rapport entre chaque terme et le terme précédent est égal à une constante. Cette constante est appelée rappel commun, généralement notée $q$

Définition mathématique

Pour une suite $\{a_n\}$

, s'il existe une constante $q \neq 0$

telle que :

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, a_n \neq 0)$

alors $\{a_n\}$

est appelée une suite géométrique de rappel commun $q$

Formule du terme

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

général

où : - $a_1$

est le premier terme - $q$

est le rapport commun - $n$

est le numéro du terme

Formule de la somme

**Lorsque $q \neq 1$

** :

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n q}{1 - q}$

**Lorsque $q = 1$

** :

$S_n = n \cdot a_1$

Suites géométriques et arithmétiques

Caractéristique	Géométrique	Arithmétique
Définition	Le rapport entre deux termes consécutifs est constant	La différence entre deux termes consécutifs est constante
Notation	$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$

| $a_{n+1} - a_n = d$

| | Terme général | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

| $a_n = a_1 + (n-1)d$

| | Moyenne | $b^2 = ac$

(moyenne géométrique) | $b = \frac{a+c}{2}$

(moyenne arithmétique) |

Applications concrètes

Application 1 : division cellulaire

Problème : une cellule se divise toutes les heures en deux cellules. Combien y a-t-il de cellules après 8 heures ?

Solution :

Premier terme $a_1 = 1$
Rapport commun $q = 2$
Après 8 heures : cellules $a_9 = 1 \times 2^{8} = 256$

Application 2 : intérêts composés

Problème : 10 000 $ déposés à un taux d'intérêt annuel de 5 % (composé). Total après 10 ans ?

Solution : $a_{11} = 10000 \times 1.05^{10} \approx \$16,288.95$

Application 3 : Désintégration radioactive

Problème : Une substance se désintègre de 20 % par an. Masse initiale 100 g, quantité restante après 5 ans ?

Solution : $a_6 = 100 \times 0.8^5 = 32.768 \text{ g}$

Problèmes d'entraînement CSCA

> 💡 Remarque : les problèmes d'entraînement suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardisés chinois afin d'aider les étudiants à se familiariser avec les types de questions et les approches de résolution de problèmes.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★★☆☆☆)

Dans la suite $\{a_n\}$

géométrique , $a_2 = 6$

et $a_5 = 48$

. Trouvez le commun de la suite $q$

Options :

A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

Solution détaillée :

$a_5 = a_2 \cdot q^{3}$ $48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

Réponse : A

Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Dans la suite $\{a_n\}$

géométrique , $a_1 + a_2 = 3$

et $a_2 + a_3 = 6$

. Trouvez $a_5$

Solution détaillée :

$a_1(1 + q) = 3$

... ① $a_1 q(1 + q) = 6$

... ②

Divisez ②÷① : $q = 2$

Remplacez dans ① : $a_1 = 1$

Par conséquent : $a_5 = 1 \times 2^4 = 16$

Réponse : 16

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : les suites géométriques augmentent toujours

Correction : la croissance dépend à la fois de $a_1$

et $q$

de : - $a_1 > 0, q > 1$

→ augmentation - $a_1 > 0, 0 < q < 1$

→ diminution - $q < 0$

→ alternance des signes

❌ Erreur 2 : le rapport commun peut être égal à zéro

Correction : $q \neq 0$

, sinon tous les termes à partir du deuxième seraient égaux à zéro.

❌ Erreur 3 : confondre les moyennes géométriques et arithmétiques

Correction :

Moyenne géométrique : $b^2 = ac$
Moyenne arithmétique :

Ne les $b = \frac{a+c}{2}$

confondez pas !

❌ Erreur n° 4 : oublier de classer lors de la sommation

Correction : toujours considérer $q = 1$

et $q \neq 1$

séparément lors du calcul des sommes.

Conseils d'étude

✅ Comparer avec les suites arithmétiques : comprendre la différence entre « rapport » et « différence »
✅ Maîtriser les formules : Mémorisez les formules générales et les formules de somme
✅ Analyse de cas : envisagez différents cas pour $q$
✅ Applications réelles : la division cellulaire, les intérêts composés et la désintégration sont des modèles typiques

💡 Conseil pour l'examen : les suites géométriques et arithmétiques sont tout aussi importantes dans les examens CSCA, chacune représentant environ 50 % des problèmes de suites. Étudiez-les de manière comparative !

等比数列děngbǐ shùliè