common difference | CSCA Math Glossary

Concept fondamental

La différence commune est le paramètre fondamental d'une suite arithmétique, représentant la différence constante entre deux termes consécutifs. Dans une suite arithmétique, à partir du deuxième terme, la différence entre chaque terme et le terme précédent est égale à cette constante fixe.

Définition mathématique

Pour une suite $\{a_n\}$

arithmétique , la différence $d$

commune est définie comme suit : $d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

où $d$

est une constante pour tous les termes de la suite.

Propriétés

Unique : une suite arithmétique n'a qu'une seule différence commune
Peut être positive, négative ou nulle : - $d > 0$

→ suite croissante - $d < 0$

→ suite décroissante - $d = 0$

→ suite constante

Formule de calcul : $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Applications concrètes

Application 1 : Changements de température

Problème : Les températures maximales quotidiennes pour une semaine sont : 20 °C, 22 °C, 24 °C, 26 °C, 28 °C, 30 °C, 32 °C. Trouvez la différence commune.

Solution :

$d = 22 - 20 = 2°C$

La température augmente de 2 °C par jour, ce qui correspond à une croissance arithmétique.

Application 2 : augmentation salariale

Problème : le salaire annuel de Ming pour sa première année est $5000, increasing by$

de 500. Quelle est la différence commune ?

Solution : Différence $d = 500$

commune par an

Cela forme une suite arithmétique avec $a_1 = 5000$

, $d = 500$

Exercices pratiques CSCA

> 💡 Remarque : les exercices pratiques suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardisés chinois afin d'aider les étudiants à se familiariser avec les types de questions et les approches de résolution de problèmes.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★☆☆☆☆)

Dans une suite $\{a_n\}$

arithmétique , $a_1 = 3$

et $a_5 = 11$

. Trouvez la différence commune $d$

Options :

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Solution détaillée :

En utilisant la formule :

$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Vérification :

$a_2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = 7 + 2 = 9$

- $a_5 = 9 + 2 = 11$

✓

Réponse : B

Exemple 2 : Avancé (Difficulté ★★★☆☆)

Dans une suite $\{a_n\}$

arithmétique avec $d \neq 0$

, étant donné $a_1 + a_3 + a_5 = 15$

et $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$

, trouvez $d$

Solution détaillée :

Soit $a_3 = a$

(terme moyen), alors :

$a_1 = a - 2d$

- $a_5 = a + 2d$

Condition 1 : $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Condition 2 : $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Réponse :

## $d = \pm 1$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : la différence commune doit être positive.

Correction : la différence commune peut être positive, négative ou nulle.

Exemple : la suite 10, 8, 6, 4, 2, ... a $d = -2$

(négatif).

❌ Erreur 2 : deux termes quelconques diffèrent de d

Correction : la différence commune est la différence entre les termes consécutifs uniquement.

Pour $a_n$

et $a_m$

où $n > m$

$a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Erreur 3 : confondre le premier terme avec la différence commune

Correction : Le premier terme $a_1$

est la valeur de départ ; la différence $d$

commune est la variation entre les termes. Ce sont deux concepts différents.

Conseils d'étude

✅ Comprendre l'essence : La différence commune décrit une variation uniforme
✅ Conscience des signes : Noter si d est positif ou négatif
✅ Calcul flexible : maîtrisez plusieurs méthodes pour trouver d
✅ Reconnaissance dans le monde réel : identifiez les modèles arithmétiques dans la vie quotidienne

💡 Conseil pour l'examen : la différence commune est fondamentale pour les suites arithmétiques. Presque tous les problèmes de suites arithmétiques l'impliquent. Assurez-vous de pouvoir la calculer rapidement et avec précision.

公差gōngchā