公差gōngchā

Concept fondamental

La différence commune est le paramètre essentiel d'une suite arithmétique ; elle représente la différence constante entre deux termes consécutifs. Dans une suite arithmétique, à partir du deuxième terme, la différence entre chaque terme et le terme qui le précède est égale à cette constante.

Définition mathématique

Pour une suite arithmétique $\{a_n\}$, la différence commune $d$ est définie comme suit :

$d = a_{n+1} - a_n \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

où $d$ est une constante pour tous les termes de la suite.

Caractéristiques

1. Caractère unique : Une suite arithmétique ne possède qu'une seule différence commune.

2. Peut être positif, négatif ou nul :

   • $d > 0$ → séquence croissante
   • $d < 0$ → suite décroissante
   • $d = 0$ → séquence constante

3. Formule de calcul : $d = \frac{a_n - a_m}{n - m} \quad (n \neq m)$

Applications concrètes

Application n° 1 : Variations de température

Problème : Les températures maximales quotidiennes d'une semaine sont les suivantes : 20 °C, 22 °C, 24 °C, 26 °C, 28 °C, 30 °C, 32 °C. Déterminez la différence commune.

Solution : $d = 22 - 20 = 2°C$

La température augmente de 2 °C par jour, suivant une progression arithmétique.

Application n° 2 : Évolution salariale

Problème : Le salaire annuel de Ming, pour sa première année, s'élève à $5000, increasing by$500. Quelle est la différence commune ?

Solution : Différence courante $d = 500$ par an

Cela forme une suite arithmétique avec $a_1 = 5000$ et $d = 500$.

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants ont été conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats des épreuves standardisées chinoises afin d'aider les élèves à se familiariser avec les types de questions et les méthodes de résolution.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★☆☆☆☆)

Dans une suite arithmétique $\{a_n\}$, $a_1 = 3$ et $a_5 = 11$, déterminez la différence commune $d$.

Options :

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Solution détaillée :

En utilisant la formule suivante : $d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Vérification :

• $a_2 = 3 + 2 = 5$
• $a_3 = 5 + 2 = 7$
• $a_4 = 7 + 2 = 9$
• $a_5 = 9 + 2 = 11$ ✓

Réponse : B

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Exemple 2 : Niveau avancé (Difficulté ★★★☆☆)

Dans une suite arithmétique $\{a_n\}$ et $d \neq 0$, étant donné $a_1 + a_3 + a_5 = 15$ et $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 105$, déterminez la valeur de $d$.

Solution détaillée :

Soit $a_3 = a$ (terme intermédiaire), alors :

• $a_1 = a - 2d$
• $a_5 = a + 2d$

Condition 1 : $(a - 2d) + a + (a + 2d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Condition 2 : $(5 - 2d) \cdot 5 \cdot (5 + 2d) = 105$ $5(25 - 4d^2) = 105$ $4d^2 = 4$ $d = \pm 1$

Réponse : $d = \pm 1$

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : la différence commune doit être positive

Correction : La différence commune peut être positive, négative ou nulle.

Exemple : la suite 10, 8, 6, 4, 2, … correspond à $d = -2$ (négatif).

❌ Erreur n° 2 : deux termes quelconques diffèrent de d

Rectification : La différence commune correspond uniquement à la différence entre les termes consécutifs.

Pour les modèles $a_n$ et $a_m$, où $n > m$ : $a_n - a_m = (n - m) \cdot d$

❌ Erreur n° 3 : confondre le premier terme et la différence commune

Correction : Le premier terme, $a_1$, correspond à la valeur initiale ; la différence commune, $d$, correspond à la variation entre deux termes. Il s'agit de deux concepts différents.

Conseils pour étudier

1. ✅ Comprendre l'essentiel : la différence commune décrit une variation uniforme
2. ✅ Attention au signe : vérifiez si d est positif ou négatif
3. ✅ Calcul flexible : maîtrisez plusieurs méthodes pour déterminer d
4. ✅ Reconnaissance dans la vie réelle : identifier des schémas arithmétiques dans la vie quotidienne

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💡 Astuce pour l'examen : La différence commune est un concept fondamental des suites arithmétiques. Elle intervient dans presque tous les problèmes portant sur les suites arithmétiques. Assurez-vous de savoir la calculer rapidement et avec précision.