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空间几何 - Practice Questions (35)

Question 1: 1 ．若圆柱的底面半径是 1 ，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（ ）

1 ．若圆柱的底面半径是 1 ，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（ ）

  • A. A. $4 \pi ^ { 2 }$
  • B. B. $3 \pi ^ { 2 }$
  • C. C. $2 \pi ^ { 2 }$
  • D. D. $\pi ^ { 2 }$

Answer: A

Solution: 由题意侧面展开图的边长不 $2 \pi \times 1 = 2 \pi$ ，面积为 $( 2 \pi ) ^ { 2 } = 4 \pi ^ { 2 }$ ．

Question 2: 2 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） ![](/images/questions/solid-geometry/image-001.jpg) ![](/images/questi...

2 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） ![](/images/questions/solid-geometry/image-001.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-002.jpg) 侧视图 ![](/images/questions/solid-geometry/image-003.jpg) 俯视图

  • A. A. $\frac { 2 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 } { 3 }$
  • C. C. 2
  • D. D. 4

Answer: A

Solution: 根据几何体的三视图，可知空间图如下： ![](/images/questions/solid-geometry/image-004.jpg) $\therefore V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 \times 1 = \frac { 2 } { 3 }$

Question 3: 3．一个三棱雉 $P - A B C _ { \text {的三条侧棱 } } P A , P B , P C$ 两两互相垂直，且长度分别为 $1 、 \sqrt { 6 }$ 、 3 ，则这个三棱雉...

3．一个三棱雉 $P - A B C _ { \text {的三条侧棱 } } P A , P B , P C$ 两两互相垂直，且长度分别为 $1 、 \sqrt { 6 }$ 、 3 ，则这个三棱雉的外接球的表面积为 B． $32 \pi$

  • A. A. $16 \pi$
  • B. B. 一个三棱雉 $P - A B C _ { \text {的三条侧棱 } } P A , P B , P C$ 两两互相垂直，且长度分别为 $1 、 \sqrt { 6 }$
  • C. C. $36 \pi$
  • D. D. $64 \pi$

Answer: A

Solution: 三棱雉 $P - A B C$ 的三条侧棱 $P A 、 P B 、 P C$ 两两互相垂直，它的外接球就是以 $P A 、 P B 、 P C$ 分别为长宽高的长方体的外接球，长方体的对角线长：$\sqrt { 1 + ( \sqrt { 6 } ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 4$所以球的直径是 4 ，半径为 2 ，球的表面积：$S = 4 \pi R ^ { 2 } = 16 \pi$

Question 4: 4 ．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）

4 ．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）

  • A. A. $\frac { 1 + 2 \pi } { 4 \pi }$
  • B. B. $\frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$
  • C. C. $\frac { 1 + 2 \pi } { \pi }$
  • D. D. $\frac { 1 + 4 \pi } { 2 \pi }$

Answer: B

Solution: 设圆柱的底面半径为 $r$ ，圆柱的高为 $h$ ， $\because$ 圆柱的侧面展开图是一个正方形， $\therefore 2 \pi r = h$ ， $\therefore$ 圆柱的侧面积为 $2 \pi r h = 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$ ， 圆柱的两个底面积为 $2 \pi r ^ { 2 } , \therefore$ 圆柱的表面积为 $2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r h = 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$ ， $\therefore$ 圆柱的表面积与侧面积的比为：$\frac { 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } = \frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$ ，

Question 5: 5．已知点 $A ( 3,0 , - 4 )$ ，点 $A$ 关于原点的对称点为 $B$ ，则 $| A B | =$

5．已知点 $A ( 3,0 , - 4 )$ ，点 $A$ 关于原点的对称点为 $B$ ，则 $| A B | =$

  • A. A. 25
  • B. B. 12
  • C. C. 10
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: 因为点 ${ } ^ { A ( 3,0 , - 4 ) }$ 关于原点的对称点为 ${ } ^ { B }$ ，所以 $B ( - 3,0,4 )$ ，因此 $| A B | = \sqrt { ( - 3 - 3 ) ^ { 2 } + ( 0 - 0 ) ^ { 2 } + ( 4 + 4 ) ^ { 2 } } = 10$ ，

Question 6: 6 ．侧面都是矩形的棱柱一定是

6 ．侧面都是矩形的棱柱一定是

  • A. A. 长方体
  • B. B. 三棱柱
  • C. C. 直平行六面体
  • D. D. 直棱柱

Answer: D

Solution: 侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱。

Question 7: 7．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于

7．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于

  • A. A. $100 \pi$
  • B. B. $\frac { 100 \pi } { 3 }$
  • C. C. $25 \pi$
  • D. D. $\frac { 25 \pi } { 3 }$

Answer: A

Solution: 易知该几何体为球，半径为 5 ，则表面积为 $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 100 \pi$ ．

Question 8: 8 ．下列说法中，正确的有（ ）个。 （1）各个面都是三角形的几何体是三棱雉； （2）用一个平面去截棱雉，原棱雉底面和截面之间的部分是棱台； （3）三棱雉的四个面都可以是直角三角形； （4）梯形的直观...

8 ．下列说法中，正确的有（ ）个。 （1）各个面都是三角形的几何体是三棱雉； （2）用一个平面去截棱雉，原棱雉底面和截面之间的部分是棱台； （3）三棱雉的四个面都可以是直角三角形； （4）梯形的直观图可以是平行四边形； （5）通过圆台侧面一点，有无数条母线； （6）四棱雉的四个侧面都可以是直角三角形．

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: 对于（1），正八面体的 8 个面都是三角形，正八面体不是三棱雉，（1）错误； 对于（2），当截面与棱雉底面不平行时，原棱雉底面和截面之间的部分不是棱台，（2）错误；对于（3），经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥，四个面都是直角三角形，（3）正确； 对于（4），梯形的直观图不可以是平行四边形，（4）错误； 对于（5），圆台所有母线交于一点，因此通过圆台侧面一点，有一条母线，（5）错误； 对于（6），一条侧棱垂直于底面矩形的四棱雉，四个侧面都是直角三角形，（6）正确，所以正确命题的个数为 2 。

Question 9: 9．点 $P ( 2 , - 31 )$ 关于坐标原点对称的点是

9．点 $P ( 2 , - 31 )$ 关于坐标原点对称的点是

  • A. A. $( - 2 , - 3 , - 1 )$
  • B. B. $( - 23 ; 1 )$
  • C. C. $( 2 , - 3 , - 1 )$
  • D. D. $( - 2,31 )$

Answer: B

Solution: 点 $P ( 2 , - 31 )$ 关于坐标原点对称的点的各坐标都变为原来的相反数，即为 $( - 23 , - 1 )$ ．选B。 【点睛】本题考查了求一个空间点关于原点对称点的坐标，熟记点关于点对称的特点是解 题的关键．

Question 10: 10．一个长方体的三个面的面积分别为 $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 }$ ，则这个长方体的体积为（）

10．一个长方体的三个面的面积分别为 $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 }$ ，则这个长方体的体积为（）

  • A. A. 6
  • B. B. $\sqrt { 6 }$
  • C. C. 3
  • D. D. $2 ^ { \sqrt { 3 } }$

Answer: B

Solution: 设长方体的长、宽、高分别为 $x 、 y 、 z$ ，则 $x y = \sqrt { 2 } , y z = \sqrt { 3 } , x z = \sqrt { 6 }$ ， $\therefore ( x y z ) ^ { 2 } = 6$ $\therefore V = x y z = \sqrt { 6 }$

Question 11: 11．下列命题错误的是

11．下列命题错误的是

  • A. A. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
  • B. B. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
  • C. C. 圆台的所有平行于底面的截面都是圆
  • D. D. 圆锥所有的轴截面都是等腰三角形

Answer: B

Solution: 对于 A 选项，在圆柱中，过母线的截面都是矩形，高都相等，当底边为直径时，截面面积取得最大值，也即圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，故 A 选项命题正确．对于 B 选项，圆锥的轴截面面积为 $\frac { 1 } { 2 } \cdot l ^ { 2 } \cdot \sin \theta$ ，其中 ${ } _ { l }$ 为母线长，$\theta$ 为圆锥两条母线所成角的最大值，由此可知，当 $\theta \leq \frac { \pi } { 2 }$ 时，轴截面面积最大，当 $\frac { \pi } { 2 } < \theta < \pi$ 时，必存在 $\theta _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 }$的截面，使得截面面积取得最大值，故 B 选项命题错误．根据圆台的几何性质可知，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，故 C 选项命题正确．根据圆锥的几何性质可知，圆锥所有的轴截面都是等腰三角形，故 D 选项命题正确。综上所述，本小题选 B。 【点睛】本小题主要考查圆柱、圆锥和圆台的几何性质，考查三角形的面积公式以及三角形面积的最大值，属于基础题．

Question 12: 12 ．已知某圆柱的内切球半径为 1 ，则该圆柱的体积为（ ）

12 ．已知某圆柱的内切球半径为 1 ，则该圆柱的体积为（ ）

  • A. A. $\pi$
  • B. B. $2 \pi$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $4 \pi$

Answer: B

Solution: 由题意得，该圆柱底面圆的半径为 1 ，圆柱的高为 2 ， 所以该圆柱的体积为 $\pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = 2 \pi$ ．

Question 13: 13．把球的半径扩大到原来的 ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ 倍，那么体积扩大到原来的

13．把球的半径扩大到原来的 ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ 倍，那么体积扩大到原来的

  • A. A. 2 倍
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$ 倍
  • C. C. $\sqrt { 2 }$ 倍
  • D. D. $\sqrt [ 3 ] { 2 }$ 倍

Answer: B

Solution: 设球的半径为 ${ } _ { R }$ ，则体积为 $V _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 }$ ， 把球的半径扩大到原来的 $\sqrt { 2 }$ 倍，即半径为 $\sqrt { 2 } R$ ，体积为 $V _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \pi ( \sqrt { 2 } R ) ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi R ^ { 3 }$ ， 则 $\frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } = 2 \sqrt { 2 }$ ，即 $V _ { 2 } = 2 \sqrt { 2 } V _ { 1 }$ ，

Question 14: 14．某圆柱的高为 1 ，底面周长为 8 ，其三视图如图．圆柱表面上的点 $P$ 在正视图上的对应点 为 $A$ ，圆柱表面上的点 $Q$ 在左视图上的对应点为 $B$ ，则在此圆柱侧面上，从 $P...

14．某圆柱的高为 1 ，底面周长为 8 ，其三视图如图．圆柱表面上的点 $P$ 在正视图上的对应点 为 $A$ ，圆柱表面上的点 $Q$ 在左视图上的对应点为 $B$ ，则在此圆柱侧面上，从 $P$ 到 $Q$ 的路径中，最短路径的长度为（ ） ![](/images/questions/solid-geometry/image-005.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-006.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-007.jpg)

  • A. A. $\sqrt { 17 }$
  • B. B. $\sqrt { 5 }$
  • C. C. $\frac { 3 } { 2 }$
  • D. D. 1

Answer: B

Solution:

Question 15: 15．设矩形边长分别为 $a 、 b ( a > b )$ ，将其按两种方式卷成高为 $a$ 和 $b$ 的圆柱（无底面），其体积分别为 $V ^ { a }$ 和 $V ^ { b }$ ，则 $V...

15．设矩形边长分别为 $a 、 b ( a > b )$ ，将其按两种方式卷成高为 $a$ 和 $b$ 的圆柱（无底面），其体积分别为 $V ^ { a }$ 和 $V ^ { b }$ ，则 $V ^ { a }$ 与 $V ^ { b }$ 的大小关系是

  • A. A. $V _ { a } > V _ { b }$
  • B. B. $V _ { a } = V _ { b }$
  • C. C. $V _ { a } < V _ { b }$
  • D. D. 不确定

Answer: C

Solution: 由题意，当卷成高为 $a$ 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为 $r _ { 1 }$ ，则 $2 \pi r _ { 1 } = b$ ， 解得 $r _ { 1 } = \frac { b } { 2 \pi }$ ，则圆柱的体积为 $V _ { a } = \pi r _ { 1 } ^ { 2 } a = \pi \times \left( \frac { b } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } a = \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ ， 当卷成高为 ${ } ^ { b }$ 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为 $r _ { 2 }$ ，则 ${ } ^ { 2 \pi r _ { 2 } = a }$ ， 解得 $r _ { 2 } = \frac { a } { 2 \pi }$ ，则圆柱的体积为 $V _ { b } = \pi r _ { 2 } ^ { 2 } b = \pi \times \left( \frac { a } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } b = \frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi }$ ， 又由 $a > b$ ，所以 $\frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi } > \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ ，即 $V _ { b } > V _ { a }$ ，故选 C． 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中，根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

Question 16: 16．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为 3 m的正六棱雉（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点 $O$ 到底面中心 ${ } ^ { O } { } ...

16．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为 3 m的正六棱雉（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点 $O$ 到底面中心 ${ } ^ { O } { } _ { 1 }$ 的距离为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-008.jpg)

  • A. A. 1 m
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 } \mathrm {~m}$
  • C. C. 2 m
  • D. D. 3 m

Answer: C

Solution: 设 ${ } ^ { O O _ { 1 } }$ 为 $^ { x \mathrm {~m} }$ ，则 $1 < x < 4$ ， 设底面正六边形的面积为 $S \mathrm {~m} ^ { 2 }$ ，帐篷的体积为 $V \mathrm {~m} ^ { 3 }$ 。 则由题设可得，正六棱雉底面边长为 $\sqrt { 3 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } ( \mathrm {~m} )$ ， 于是 $S = 6 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \left( \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ ， 所以 $V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) ( x - 1 ) + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \times \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ $= \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) [ ( x - 1 ) + 3 ] = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 16 + 12 x - x ^ { 3 } \right) ( 1 < x < 4 )$, 则 $V ^ { \prime } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 12 - 3 x ^ { 2 } \right)$ ． 令 $V ^ { \prime } = 0$ ，解得 $x = 2$ 或 $x = - 2$（舍去）． 当 $1 < x < 2$ 时，$V ^ { \prime } > 0 , ~ V$ 单调递增； 当 $2 < x < 4$ 时，$V ^ { \prime } < 0 , V$ 单调递减． 所以当 $x = 2 ( \mathrm {~m} )$ 时，$V$ 最大．

Question 17: 17．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的＂走马灯＂，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了＂年＂字，当灯旋转时，正好看到＂新年快乐＂的字样，则在（1）、（2）、 （3）处应依次写上 !...

17．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的＂走马灯＂，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了＂年＂字，当灯旋转时，正好看到＂新年快乐＂的字样，则在（1）、（2）、 （3）处应依次写上 ![](/images/questions/solid-geometry/image-009.jpg)

  • A. A. 快、新、乐
  • B. B. 乐、新、快
  • C. C. 新、乐、快
  • D. D. 乐、快、新

Answer: A

Solution: 根据四棱雉图形，正好看到＂新年快乐＂的字样，可知顺序为（2）年（1）（3），故选 A ． 【点睛】本题考查四棱雉的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题．

Question 18: 18 ．一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为（）$m ^ { 3 }$ ![](/images/questions/solid-geometry/image-010.jpg...

18 ．一个几何体的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为（）$m ^ { 3 }$ ![](/images/questions/solid-geometry/image-010.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-011.jpg)

  • A. A. $2 \pi$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $\frac { 10 \pi } { 3 }$

Answer: B

Solution: 由三视图知，该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组合而成，圆锥的底面圆半 径为 1 ，高为 1 ，圆柱的母线长为 2 ，底面圆半径为 1 ，所以几何体的体积为 $V = 2 \times \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 + \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = \frac { 8 } { 3 } \pi$ ，选B。

Question 19: 20．以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中任选两个三角形，则这两个三角形共面的情况有（ ）

20．以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中任选两个三角形，则这两个三角形共面的情况有（ ）

  • A. A. 6 种
  • B. B. 12 种
  • C. C. 18 种
  • D. D. 30 种

Answer: C

Solution: 两个三角形共面，则这两个三角形必须在同一个侧面中，每个侧面有 4 个顶点，可以作 4 个三角形，任选两个三角形有 $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 6$ 种选法，三个侧面则可以选出 $6 \times 3 = 18$ 对共面的三角形．

Question 20: 21．若一个长方体的长、宽、高分别为 $4 , \sqrt { 5 } , 2$ ，且该长方体的每个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（ ）

21．若一个长方体的长、宽、高分别为 $4 , \sqrt { 5 } , 2$ ，且该长方体的每个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（ ）

  • A. A. $18 \pi$
  • B. B. $20 \pi$
  • C. C. $24 \pi$
  • D. D. $25 \pi$

Answer: D

Solution: 由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心 $O$ 即为体对角线交点， 半径为体对角线的一半，即球 $O$ 的半径 $r = \frac { \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$ ， 则球 $O$ 的表面积 $S = 4 \pi r ^ { 2 } = 25 \pi$ ．

Question 21: 23．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，一个正方体被截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ![](/images/questions/solid-geometry/i...

23．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，一个正方体被截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ![](/images/questions/solid-geometry/image-012.jpg)

  • A. A. 8
  • B. B. 16
  • C. C. $\frac { 16 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: B

Solution: 由题意可知几何体的直观图如图所示，几何体为四棱雉 $A - B C D E$ ，底面 $B C D E$ 为直角梯形，上、下底边长分别为 $4 、 2$ ，高为 4 ，四棱雉的高为 4 ，所以几何体的体积为 $\frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times ( 2 + 4 ) \times 4 \times 4 = 16$ ，

Question 22: 24．已知三棱雉 $B - P A C$ 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为 $D , E , F$ ，棱 $A C$ 的中点为 $G , P B \perp$ 平面 $^ { A B C }$ ．且 $...

24．已知三棱雉 $B - P A C$ 的侧棱都相等，侧棱的中点分别为 $D , E , F$ ，棱 $A C$ 的中点为 $G , P B \perp$ 平面 $^ { A B C }$ ．且 $A B = 4 , \angle A B C = 120 ^ { \circ }$ ．若四面体 ${ } ^ { D E F G }$ 的每个顶点都在球 ${ } ^ { O }$ 的球面上，则该球面与三棱雉 $B - P A C$ 侧面的交线总长为（ ）

  • A. A. $\frac { 7 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 10 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 11 \pi } { 3 }$

Answer: C

Solution: 如图所示 ： ![](/images/questions/solid-geometry/image-013.jpg) 连结 $B G$ ， $\because A B = B C = B P = 4 , D , E , F , G$ 分别为各棱的中点，$\angle A B C = 120 ^ { \circ }$ ， $B D = B E = B F = B G = 2$ $\therefore \quad$ ， $\therefore$ 点 $B$ 即为球 $O$ 的球心， $\because P B \perp$ 平面 $A B C$ ， $\therefore$ 球面与三棱雉 $B - P A C$ 侧面的交线总长为 $\frac { 120 + 90 + 90 } { 360 } \times \pi \times 2 ^ { 2 } = \frac { 10 \pi } { 3 }$ ，

Question 23: 26 ．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 ...

26 ．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 20 cm ，高为 20 cm 。首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 2 cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共 500 人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近。（参考数据：$\pi \approx 3.14$ ） ![](/images/questions/solid-geometry/image-014.jpg) 分割线

  • A. A. $0.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • B. B. $1.4 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • C. C. $1.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • D. D. $2.2 \mathrm {~m} ^ { 3 }$

Answer: B

Solution: 由条件可得四片瓦的体积 $V = \pi \times 12 ^ { 2 } \times 20 - \pi \times 10 ^ { 2 } \times 20 = 880 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ 所以 500 名学生，每人制作 4 片瓦共需粘土的体积为 $500 \times 880 \pi = 440000 \pi \quad \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ ， 又 $\pi \approx 3.14$ ， 所以共需粘土的体积为约为 $1.3816 \mathrm {~m} ^ { 3 }$ ，

Question 24: 27．已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的棱长为 2 ，点 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，则点 $A _ { \t...

27．已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的棱长为 2 ，点 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，则点 $A _ { \text {到平面 } } E B _ { 1 } C$ 的距离为

  • A. A. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer: A

Solution: 由于 ${ } ^ { E }$ 是 $A B$ 的中点，所以 ${ } _ { \text {到平面 } } E B _ { 1 } C$ 的距离等于 ${ } ^ { B }$ 到平面 ${ } ^ { E B } C$ 的距离，设这个距离为 $h$ ， ![](/images/questions/solid-geometry/image-015.jpg) 由题可知 $B _ { 1 } E = C E = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } , B _ { 1 } C = 2 \sqrt { 2 }$ ， 所以 $S _ { \triangle B _ { 1 } C E } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times \sqrt { ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }$ ， 由于 $V _ { B _ { 1 } - B C E } = V _ { B - B _ { 1 } C E }$ ， 所以 $\frac { 1 } { 3 } \times \left( \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times 2 \right) \times 2 = \frac { 1 } { 3 } \times \sqrt { 6 } \times h$ ， 所以 $h = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ ．

Question 25: 28．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为 2 ，下底为 4 ，腰为 3 的等腰梯形，则该圆台的表面积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image...

28．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为 2 ，下底为 4 ，腰为 3 的等腰梯形，则该圆台的表面积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-016.jpg)

  • A. A. $\frac { 14 } { 3 } \pi$
  • B. B. $14 \pi$
  • C. C. $\frac { 7 } { 3 } \pi$
  • D. D. $7 \pi$

Answer: B

Solution: 该圆台的表面积 $S = \pi \left( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } l + r _ { 2 } l \right) = \pi \left( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 \times 3 + 2 \times 3 \right) = 14 \pi$ ．

Question 26: 29．一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是

29．一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是

  • A. A. $60 ^ { \circ }$
  • B. B. $90 ^ { \circ }$
  • C. C. $120 ^ { \circ }$
  • D. D. $180 ^ { \circ }$

Answer: D

Solution: 设圆雉的底面半径为 $r$ ，母线长为 $a$ ， 因为侧面积是底面积的 2 倍， 所以 $\pi r a = 2 \pi r ^ { 2 }$ ， 又 $2 \pi r = \frac { n \pi a } { 180 ^ { \circ } }$ ，解得 $n = 180 ^ { \circ }$ ．

Question 27: 31．已知在直三棱柱 $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$中，$A B \perp B C , A B = 6 , B C = 8$ ，且...

31．已知在直三棱柱 $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$中，$A B \perp B C , A B = 6 , B C = 8$ ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为

  • A. A. $2 : 5$
  • B. B. $4 : 25$
  • C. C. $2 : \sqrt { 29 }$
  • D. D. $4 : 29$

Answer: D

Solution: 由题意可得 ${ } _ { V A B C }$ 的内切圆半径为 $\frac { 6 + 8 - 10 } { 2 } = 2$ ，所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高 ${ } ^ { A A _ { 1 } = 4 }$ ，所以内切球的半径 ${ } ^ { r = 2 }$ ； ![](/images/questions/solid-geometry/image-017.jpg) 取 ${ } ^ { A C }$ 的中点 $D , { } ^ { A _ { 1 } C _ { 1 } }$ 的中点 ${ } ^ { D _ { 1 } }$ ，则 ${ } ^ { D D _ { 1 } }$ 的中点 $M$ 为外接球的球心， 所以外接球的半径 $R = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 29 }$ ，因此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为 $4 \pi r ^ { 2 } : 4 \pi R ^ { 2 } = 4 : 29$

Question 28: 32．如图，已知圆柱体底面圆的半径为 $\frac { 2 } { \pi }$ ，高为 ${ } _ { 2 } , A B 、 C D$ 分别是两底面的直径， $A D B C$ 是母线．若一只小...

32．如图，已知圆柱体底面圆的半径为 $\frac { 2 } { \pi }$ ，高为 ${ } _ { 2 } , A B 、 C D$ 分别是两底面的直径， $A D B C$ 是母线．若一只小虫从 $A$ 点出发，从侧面爬行到 $C$ 点，求小虫爬行的最短路径为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-018.jpg)

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $3 \sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: 展开圆柱的侧面如图所示， ![](/images/questions/solid-geometry/image-019.jpg) 展开后，在矩形 $A B C D ^ { \text {中 } } , A B = \pi \times \frac { 2 } { \pi } = 2 , B C = 2$ ， 由图可知小虫爬行路线的最短长度是 $A C = \sqrt { A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$ ．

Question 29: 33．在梯形 $A B C D$ 中，$\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 A B = 2$ ．将梯形 $A B...

33．在梯形 $A B C D$ 中，$\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 A B = 2$ ．将梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

  • A. A. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 5 \pi } { 3 }$
  • D. D. $2 \pi$

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-020.jpg) 由题意可知旋转后的几何体如图： 直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 1 ，母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是 1 、高为 1 的圆锥后得到的组合体，所以 该组合体的体积为 $V = V _ { \text {圆柱 } } - V _ { \text {圆雉 } } = \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 - \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 = \frac { 5 } { 3 } \pi$

Question 30: 34．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）． ![](/images/questions/solid-geometry/image-021.jpg) ![]...

34．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）． ![](/images/questions/solid-geometry/image-021.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-022.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-023.jpg) 做視图

  • A. A. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • B. B. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • C. C. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • D. D. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$

Answer: C

Solution: 通过三视图得几何体，再求表面积．通过三视图可以得出几何体是由一个三棱柱和半个圆柱组合而成，其中三棱柱的底面是腰长为 2 cm 的等腰直角三角形，侧棱长为 3 cm ，半圆柱的底面半径为 1 cm ，母线长为 3 cm ，表面积为 $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 2 } \right)$ ．

Question 31: 35．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为 $24 \pi + 48$ ，则该几何体的表面积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-0...

35．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为 $24 \pi + 48$ ，则该几何体的表面积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-024.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-025.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-026.jpg)

  • A. A. $24 \pi + 48$
  • B. B. $24 \pi + 90 + 6 \sqrt { 41 }$
  • C. C. $48 \pi + 48$
  • D. D. $24 \pi + 66 + 6 \sqrt { 41 }$

Answer: D

Solution: 该几何体是一个棱雉与四分之一的圆雉的组合体，其表面积为 $V = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \pi ( 3 r ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 3 r \times 3 r \right) \times 4 r = 24 \pi + 48 , ~ r = 2$ ，所以 $S = \frac { 1 } { 2 } \times 12 \times 8 + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 6 + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \pi \times 6 \times 10 + \frac { 1 } { 4 } \pi \times 6 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \sqrt { 2 } \times \sqrt { 100 - 18 } = 66 + 24 \pi + 6 \sqrt { 41 }$ ，故选D．

Question 32: 37．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为 1 ，则该几何体的体积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-027.jpg)

37．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为 1 ，则该几何体的体积为 ![](/images/questions/solid-geometry/image-027.jpg)

  • A. A. 60
  • B. B. 48
  • C. C. 24
  • D. D. 20

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-028.jpg) 由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱雉，如图，三棱柱的高为 5 ，消去的三棱雉的高为 3 ，三棱雉和三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形，$\therefore$ 几何体的体积 $V = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 5 - \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 3 = 30 - 6 = 24$ ，故选 C。 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱雉与棱柱的体积公式，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其＂翻译＂成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素＂高平齐，长对正，宽相等＂，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响。

Question 33: 38 ．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？＂其意思为：＂靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为 3 丈，高为 7...

38 ．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？＂其意思为：＂靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为 3 丈，高为 7 尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？＂已知 1 斛大豆 $= 2.43$ 立方尺， 1 丈 $= 10$ 尺，圆周率约为 3 ，估算出堆放的大豆有

  • A. A. 140 斛
  • B. B. 142 斛
  • C. C. 144 斛
  • D. D. 146 斛

Answer: C

Solution: 依题意，令锥体底面半圆半径为 $r$ ，半圆弧长 $l$ ，则有 $\pi r = l$ ，即 $r = \frac { l } { \pi }$ ，圆锥体底面面积为 $S = \frac { 1 } { 2 } r l = \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi }$ ， 而 $l = 30$ 尺，圆锥体的高 $h = 7$ 尺，于是得圆雉体体积为 $V = \frac { 1 } { 3 } S h = \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi } \cdot h \approx \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 30 ^ { 2 } } { 2 \times 3 } \times 7 = 350$（立方尺）， 由 $\frac { 350 } { 2.43 } \approx 144$ 得大豆有 144 （斛）， 所以堆放的大豆大约有 144 （斛）．

Question 34: 39．已知四棱雉 $S - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，底面 $A B C D$ 是正方形且和球心 $O$ 在 同一平面内，当此四棱雉体积取得最大值时，其表面积等于 $4 + 4 \...

39．已知四棱雉 $S - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，底面 $A B C D$ 是正方形且和球心 $O$ 在 同一平面内，当此四棱雉体积取得最大值时，其表面积等于 $4 + 4 \sqrt { 3 }$ ，则球 $O$ 的体积等于

  • A. A. $\frac { 32 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • B. B. $\frac { 16 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • C. C. $\frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • D. D. $\frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$

Answer: C

Solution: 四棱雉 $S - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上， 底面 $A B C D$ 是正方形且和球心 $O$ 在同一平面内， 所以球心 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， 当此四棱雉的高为球的半径时，此四棱雉体积取得最大值． 此时四棱雉为正四棱雉． 设球 $O$ 的半径为 $R$ ，则 $| A B | = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } | A C | = \sqrt { 2 } R$ ， $| S B | = \sqrt { | O B | ^ { 2 } + | S O | ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } R$ $\triangle S B C$ 为等边三角形，则 $S _ { \triangle S B C } = \frac { 1 } { 2 } | S B | ^ { 2 } \sin 60 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } R ^ { 2 }$ 所以此四棱雉的表面积为 $4 S _ { \triangle S B C } + S _ { A B C D } = 2 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } + 2 R ^ { 2 } = 4 + 4 \sqrt { 3 }$ 所以 $R = \sqrt { 2 }$ ，因此球 $O$ 的体积 $V = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$ ． ![](/images/questions/solid-geometry/image-029.jpg)

Question 35: 40．制作一个容积为 $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ 的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为 《2025年10月2...

40．制作一个容积为 $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ 的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为 《2025年10月29日高中数学作业》

  • A. A. 6 cm
  • B. B. $3 \sqrt [ 3 ] { 2 } \mathrm {~cm}$
  • C. C. $3 \sqrt [ 3 ] { 4 } \mathrm {~cm}$
  • D. D. $3 \sqrt { 3 } \mathrm {~cm}$

Answer: C

Solution:
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空间几何

35 练习题

知识点概述

空间几何是数学中研究三维空间中点、线、面、体及其关系的分支。在CSCA考试中，该部分常涉及常见立体（如柱、锥、球）的表面积与体积计算、三视图的识别与还原、空间位置关系的判断等。题目通常结合图形与数据，要求考生具备较强的空间想象能力和公式应用能力。

题目数量:35

重点内容

  • 1常见立体图形的表面积与体积计算
  • 2三视图与直观图的相互转化
  • 3空间中线面平行与垂直的判定
  • 4简单几何体的外接球与内切球问题

学习建议

建议多动手绘制立体图形草图，结合三视图练习空间还原，并熟练记忆关键几何体的体积与表面积公式。

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