代数基础
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 一元二次方程求根公式 | x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a |
| 韦达定理 | x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a |
| 判别式 | Δ = b² - 4ac |
| 因式分解 | a² - b² = (a+b)(a-b) |
| 完全平方 | (a±b)² = a² ± 2ab + b² |
| 立方和/差 | a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²) |
| 二项式定理 | (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ |
数列
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 等差数列通项 | aₙ = a₁ + (n-1)d |
| 等差数列求和 | Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2 |
| 等比数列通项 | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ |
| 等比数列求和 | Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r), r≠1 |
| 无穷等比级数 | S = a₁/(1-r), |r|<1 |
函数
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 指数运算 | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| 对数运算 | log(xy) = logx + logy |
| 换底公式 | logₐb = logₓb / logₓa |
| 指数与对数关系 | y = aˣ ⟺ x = logₐy |
| 复合函数 | (f∘g)(x) = f(g(x)) |
| 反函数 | f(f⁻¹(x)) = x |
三角函数
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 基本关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切定义 | tanθ = sinθ/cosθ |
| 和角公式(sin) | sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ |
| 和角公式(cos) | cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ |
| 二倍角公式(sin) | sin2θ = 2sinθcosθ |
| 二倍角公式(cos) | cos2θ = cos²θ - sin²θ |
| 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R |
| 余弦定理 | c² = a² + b² - 2ab·cosC |
导数与积分
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 导数定义 | f'(x) = lim[h→0] (f(x+h)-f(x))/h |
| 幂函数导数 | (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ |
| 指数导数 | (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣlna |
| 对数导数 | (lnx)' = 1/x |
| 三角导数 | (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx |
| 乘法法则 | (fg)' = f'g + fg' |
| 商法则 | (f/g)' = (f'g - fg')/g² |
| 链式法则 | (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) |
平面解析几何
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 两点间距离 | d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) |
| 中点公式 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
| 直线斜率 | k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) |
| 点斜式 | y - y₁ = k(x - x₁) |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 |
| 点到直线距离 | d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²) |
| 圆的方程 | (x-a)² + (y-b)² = r² |
| 椭圆方程 | x²/a² + y²/b² = 1 |
| 双曲线方程 | x²/a² - y²/b² = 1 |
| 抛物线方程 | y² = 4px 或 x² = 4py |
向量与复数
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 向量加法 | a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂) |
| 数量积 | a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ = a₁b₁+a₂b₂ |
| 向量模长 | |a⃗| = √(a₁² + a₂²) |
| 向量夹角 | cosθ = a⃗·b⃗ / (|a⃗||b⃗|) |
| 复数加法 | (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i |
| 复数乘法 | (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i |
| 复数模 | |a+bi| = √(a² + b²) |
概率与统计
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 古典概率 | P(A) = n(A) / n(S) |
| 加法法则 | P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) |
| 乘法法则 | P(A∩B) = P(A)·P(B|A) |
| 条件概率 | P(B|A) = P(A∩B) / P(A) |
| 排列 | P(n,r) = n! / (n-r)! |
| 组合 | C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) |
| 均值 | x̄ = Σxᵢ / n |
| 方差 | s² = Σ(xᵢ-x̄)² / n |
| 标准差 | s = √(s²) |