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数学公式速查表

CSCA 备考数学公式参考

代数基础

名称公式
一元二次方程求根公式x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

适用条件：a ≠ 0，且 b²−4ac ≥ 0 时有实数根

真题怎么考
韦达定理x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

适用条件：x₁、x₂ 为 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根

真题怎么考
判别式Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac真题怎么考
因式分解a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
完全平方(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2
立方和/差a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
二项式定理(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

数列

名称公式
等差数列通项an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d真题怎么考
等差数列求和Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)d2S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2}
等比数列通项an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
等比数列求和Sn=a1(1−rn)1−r,r≠1S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},\quad r \neq 1
无穷等比级数S=a11−r,∣r∣<1S = \frac{a_1}{1-r},\quad |r| < 1

函数

名称公式
指数运算am⋅an=am+n,aman=am−na^m \cdot a^n = a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
对数运算log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy) = \log x + \log y
换底公式log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

适用条件：a > 0 且 a ≠ 1，b > 0，c > 0 且 c ≠ 1

真题怎么考
指数与对数关系y=ax⟺x=log⁡ayy = a^x \Longleftrightarrow x = \log_a y
复合函数(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
反函数f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x

三角函数

名称公式
基本关系sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1真题怎么考
正切定义tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
和角公式(sin)sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
和角公式(cos)cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
和角公式(tan)tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
二倍角公式(sin)sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
二倍角公式(cos)cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
二倍角公式(tan)tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
半角公式sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2},\quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}
辅助角公式asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+φ)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)
正弦定理asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
余弦定理c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

导数

名称公式
导数定义f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
幂函数求导(xn)′=nxn−1(x^n)^{\prime} = nx^{n-1}
指数函数求导(ex)′=ex,(ax)′=axln⁡a(e^x)^{\prime} = e^x,\quad (a^x)^{\prime} = a^x \ln a
对数函数求导(ln⁡x)′=1x(\ln x)^{\prime} = \frac{1}{x}
三角函数求导(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)^{\prime} = \cos x,\quad (\cos x)^{\prime} = -\sin x
乘法法则(fg)′=f′g+fg′(fg)^{\prime} = f^{\prime}g + fg^{\prime}
商法则(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime} = \frac{f^{\prime}g - fg^{\prime}}{g^2}
链式法则[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]^{\prime} = f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)

平面解析几何

名称公式
两点间距离d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
中点公式M=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
直线斜率k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

适用条件：x₁ ≠ x₂

真题怎么考
点斜式y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)

适用条件：直线过点 (x₀, y₀)，斜率为 k（存在）

真题怎么考
一般式Ax+By+C=0Ax + By + C = 0
点到直线距离d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
圆的方程(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

适用条件：圆心 (a, b)，半径 r > 0

真题怎么考
椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0, c2=a2−b2)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0,\, c^2=a^2-b^2)
双曲线方程x2a2−y2b2=1(c2=a2+b2)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (c^2=a^2+b^2)
抛物线方程y2=2pxy^2 = 2px
离心率e=cae = \frac{c}{a}

适用条件：适用于椭圆与双曲线的标准方程：椭圆 0 < e < 1（c² = a² − b²）；双曲线 e > 1（c² = a² + b²）

真题怎么考

向量与复数

名称公式
向量加法a⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\, a_2+b_2)
数量积（点积）a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2
向量模长∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

适用条件：坐标式为平面向量 (x, y) 的情形

真题怎么考
向量夹角cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
垂直条件a⃗⊥b⃗⟺a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
复数加法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
复数乘法(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
复数模∣a+bi∣=a2+b2|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

概率与统计

名称公式
古典概率P(A)=n(A)n(S)P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}
加法法则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
乘法法则P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)
条件概率P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
排列P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
组合C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
二项分布P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
均值xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
方差s2=∑(xi−xˉ)2ns^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
标准差s=s2s = \sqrt{s^2}

交互式模拟

通过可视化动画深入理解核心概念

三角函数与单位圆交互演示

拖动单位圆上的点，实时观察 sin、cos、tan 值的变化和波形图。

5 分钟基础交互式

函数图像变换交互演示

通过滑块调整参数，观察函数图像的平移、缩放和翻转变换。

5 分钟基础交互式

集合运算韦恩图交互演示

点击韦恩图的不同区域，直观理解并集、交集、补集、差集运算。

5 分钟入门交互式

初等函数对比交互演示

对比指数函数、对数函数、幂函数的图像特征，调整底数和参数观察变化。

5 分钟基础交互式

不等式解集可视化

在数轴和坐标平面上可视化不等式的解集，拖动参数观察解集变化。

5 分钟基础交互式

数列可视化：等差与等比数列

动态展示等差数列和等比数列的项及前 n 项和，调整首项和公差/公比。

5 分钟基础交互式

微积分可视化：导数与积分

拖动点观察切线斜率（导数），查看曲线下面积（积分）的实时变化。

5 分钟中级交互式

圆锥曲线交互演示

调整参数观察椭圆、抛物线、双曲线的形状变化，查看焦点和离心率。

5 分钟中级交互式

概率统计模拟器

掷骰子模拟频率与概率的关系，调整参数观察正态分布曲线变化。

5 分钟基础交互式

复数平面与运算可视化

在复平面上可视化复数的加法、乘法运算，理解模和辐角的几何意义。

5 分钟中级交互式

向量运算交互演示

可视化向量加法、减法、数量积和数乘运算，拖动滑块调整向量分量。

5 分钟基础交互式

立体几何3D图形探索

选择不同立体图形，拖动旋转观察3D形状，调整参数实时计算体积和表面积。

5 分钟基础交互式

空间坐标系交互演示

在3D坐标系中放置点，计算空间距离、中点和定比分点坐标。

5 分钟基础交互式

准备好练习了吗？

通过练习题巩固公式应用