35. Đã biết $a , b \in \mathrm { R }$, số phức $z = a + 2 b \mathrm { i }$ (trong đó i là đơn vị ảo) thỏa mãn $z \cdot \bar { z } = 4$, đưa ra các kết luận sau: (1) Phạm vi giá trị của $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ là $[ 1,4 ]$; (2) $\sqrt { ( a - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \sqrt { ( a + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 4$ ; (3) Phạm vi giá trị của $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ là $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ ; (4) Giá trị nhỏ nhất của $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } }$ là 2 ; trong đó số kết luận đúng là ( )
- A. A. 1
- B. B. 2
- C. C. 3
- D. D. 4
Answer: C
Solution: Từ ${ } ^ { Z \cdot \bar { z } } = 4 \Rightarrow ( a + 2 b \mathrm { i } ) ( a - 2 b \mathrm { i } ) = a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } = \left. z \right| ^ { 2 } = 4 \Rightarrow \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } = 1$, điểm $( a , b ) _ { \text {的轨迹 } }$
là điểm có tiêu điểm là $( - \sqrt { 3 } , 0 ) , ( \sqrt { 3 } , 0 )$, trục dài là $a ^ { \prime } = 2$, trục ngắn là $b ^ { \prime } = 1$ và bán kính tiêu cự là $c ^ { \prime } = \sqrt { 3 }$. Theo định nghĩa về hình elip, (2) là đúng;
$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ biểu thị bình phương khoảng cách từ điểm trên elip đến gốc tọa độ, dễ thấy rằng khoảng cách từ điểm cuối trục ngắn của elip đến gốc tọa độ là nhỏ nhất, khoảng cách từ điểm cuối trục dài đến gốc tọa độ là lớn nhất, lần lượt là 1 và 2, do đó phạm vi giá trị của $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ là ${ } ^ { [ 1,4 ] }$, (1) đúng; $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ biểu thị độ dốc của đường thẳng nối điểm $( a , b )$ trên elip với điểm $( 0 , \sqrt { 5 } )$. Giả sử đường thẳng $l : b = k a + \sqrt { 5 }$ tiếp xúc với elip, kết hợp phương trình đường thẳng và elip và đơn giản hóa để được: $\left( \frac { 1 } { 4 } + k ^ { 2 } \right) a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } k a + 4 = 0$ , $\Delta = 20 k ^ { 2 } - 4 \left( 1 + 4 k ^ { 2 } \right) = 0 \Rightarrow k = \pm 1$ , theo mối quan hệ vị trí giữa điểm và elip, có thể biết rằng phạm vi giá trị của $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ là $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ , (3) đúng ;
Theo ý nghĩa của câu hỏi, $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 } \geq 2 \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \times \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } } + \frac { 5 } { 4 } = \frac { 9 } { 4 }$ , khi và chỉ khi $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } \Rightarrow a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 }$ thì lấy "$=$", (4) sai.