Skip to main content

Solid Geometry - Practice Questions (35)

Question 1: 1. Nếu bán kính đáy của hình trụ là 1, và mặt bên của nó khi mở ra là một hình vuông, thì diện tích ...

1. Nếu bán kính đáy của hình trụ là 1, và mặt bên của nó khi mở ra là một hình vuông, thì diện tích mặt bên của hình trụ này là ( )

  • A. A. $4 \pi ^ { 2 }$
  • B. B. $3 \pi ^ { 2 }$
  • C. C. $2 \pi ^ { 2 }$
  • D. D. $\pi ^ { 2 }$

Answer: A

Solution: Chiều dài cạnh của hình vẽ được mở rộng từ ý nghĩa của đề bài không phải là $2 \pi \times 1 = 2 \pi$, diện tích là $( 2 \pi ) ^ { 2 } = 4 \pi ^ { 2 }$.

Question 2: 2. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị trong hình, thể tích của hình học đó là ( ) ![...

2. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị trong hình, thể tích của hình học đó là ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-001.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-002.jpg) Hình chiếu bên ![](/images/questions/solid-geometry/image-003.jpg) Hình chiếu từ trên xuống

  • A. A. $\frac { 2 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 } { 3 }$
  • C. C. 2
  • D. D. 4

Answer: A

Solution: Dựa trên ba hình chiếu của hình học, có thể thấy hình không gian như sau: ![](/images/questions/solid-geometry/image-004.jpg) $\therefore V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 \times 1 = \frac { 2 } { 3 }$

Question 3: 3. Một tam giác đều $P - A B C _ { \text { ba cạnh bên } } P A , P B , P C$ có hai cạnh vuông góc vớ...

3. Một tam giác đều $P - A B C _ { \text { ba cạnh bên } } P A , P B , P C$ có hai cạnh vuông góc với nhau, với độ dài lần lượt là $1 , \sqrt { 6 }$ và 3, thì diện tích bề mặt của quả cầu ngoại tiếp của tam giác đều này là B. $32 \pi$

  • A. A. $16 \pi$
  • B. B. Một tam giác $P - A B C _ { \text { ba cạnh bên } } P A , P B , P C$ có hai cạnh vuông góc với nhau, và chiều dài của chúng lần lượt là $1 , \sqrt { 6 }$
  • C. C. $36 \pi$
  • D. D. $64 \pi$

Answer: A

Solution: Tam giác $P - A B C$ có ba cạnh bên $P A , P B , P C$ vuông góc với nhau, quả cầu bao quanh nó được xác định bởi $P A , P B , P C$ là hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là , đường chéo của hình chữ nhật là: $\sqrt { 1 + ( \sqrt { 6 } ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 4$ Do đó, đường kính của hình cầu là 4 , bán kính là 2 , diện tích bề mặt của hình cầu là: $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 16 \pi$

Question 4: 4. Nếu hình chiếu ngang của một hình trụ là một hình vuông, thì tỷ lệ giữa diện tích bề mặt và diện ...

4. Nếu hình chiếu ngang của một hình trụ là một hình vuông, thì tỷ lệ giữa diện tích bề mặt và diện tích mặt bên của hình trụ đó là ( )

  • A. A. $\frac { 1 + 2 \pi } { 4 \pi }$
  • B. B. $\frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$
  • C. C. $\frac { 1 + 2 \pi } { \pi }$
  • D. D. $\frac { 1 + 4 \pi } { 2 \pi }$

Answer: B

Solution: Giả sử bán kính đáy của hình trụ là $r$, chiều cao của hình trụ là $h$, $\because$ hình chiếu ngang của hình trụ là một hình vuông, $\therefore 2 \pi r = h$, $\therefore$ Diện tích mặt bên của hình trụ là $2 \pi r h = 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$ , diện tích hai đáy của hình trụ là $2 \pi r ^ { 2 } , \therefore$ Diện tích bề mặt của hình trụ là $2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r h = 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$ , $\therefore$ Tỷ lệ giữa diện tích bề mặt và diện tích mặt bên của hình trụ là: $\frac { 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } = \frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$ ,

Question 5: 5. Cho điểm $A ( 3,0 , - 4 )$ và điểm $A$, điểm đối xứng của điểm gốc là $B$, thì $| A B | =$

5. Cho điểm $A ( 3,0 , - 4 )$ và điểm $A$, điểm đối xứng của điểm gốc là $B$, thì $| A B | =$

  • A. A. 25
  • B. B. 12
  • C. C. 10
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: Vì điểm ${ } ^ { A ( 3,0 , - 4 ) }$ là điểm đối xứng của điểm gốc, nên điểm đối xứng của nó là ${ } ^ { B }$, do đó $B ( - 3,0,4 )$, vì vậy $| A B | = \sqrt { ( - 3 - 3 ) ^ { 2 } + ( 0 - 0 ) ^ { 2 } + ( 4 + 4 ) ^ { 2 } } = 10$,

Question 6: 6. Các mặt bên đều là hình chữ nhật, hình trụ chắc chắn là

6. Các mặt bên đều là hình chữ nhật, hình trụ chắc chắn là

  • A. A. hình chữ nhật
  • B. B. Tấm tam giác
  • C. C. Hình lục giác thẳng
  • D. D. Trực lăng trụ

Answer: D

Solution: Các mặt bên đều là hình trụ chữ nhật, chỉ cần các cạnh bên vuông góc với đáy, tức là các mặt bên đều là hình trụ chữ nhật thì chắc chắn là hình trụ thẳng.

Question 7: 7. Nếu hình chiếu thẳng đứng, hình chiếu ngang và hình chiếu từ trên xuống của một hình khối không g...

7. Nếu hình chiếu thẳng đứng, hình chiếu ngang và hình chiếu từ trên xuống của một hình khối không gian đều là các hình tròn có bán kính bằng 5, thì diện tích bề mặt của hình khối không gian đó bằng

  • A. A. $100 \pi$
  • B. B. $\frac { 100 \pi } { 3 }$
  • C. C. $25 \pi$
  • D. D. $\frac { 25 \pi } { 3 }$

Answer: A

Solution: Dễ dàng nhận ra rằng hình học này là hình cầu, bán kính là 5, thì diện tích bề mặt là $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 100 \pi$.

Question 8: 8. Trong các phát biểu sau, có ( ) phát biểu đúng. (1) Hình học có tất cả các mặt là tam giác là hìn...

8. Trong các phát biểu sau, có ( ) phát biểu đúng. (1) Hình học có tất cả các mặt là tam giác là hình tam giác; (2) Khi cắt hình tam giác bằng một mặt phẳng, phần giữa đáy hình tam giác ban đầu và mặt cắt là hình trụ; (3) Tất cả bốn mặt của hình tam giác đều có thể là tam giác vuông; (4) Hình ảnh trực quan của hình thang có thể là hình bình hành; (5) Qua một điểm trên mặt bên của hình trụ, có vô số đường tiếp tuyến; (6) Bốn mặt của hình tứ giác đều có thể là hình tam giác vuông.

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: Đối với (1), 8 mặt của hình lập phương đều là tam giác, hình lập phương không phải là hình tam giác, (1) sai; Đối với (2), khi mặt cắt không song song với đáy hình tam giác, phần giữa đáy hình tam giác ban đầu và mặt cắt không phải là hình trụ, (2) sai; Đối với (3), cạnh bên đi qua đỉnh góc nhọn của tam giác vuông góc với mặt đáy vuông góc với mặt đáy của hình tam giác, bốn mặt đều là tam giác vuông góc, (3) đúng; Đối với (4), hình vẽ trực quan của hình thang không thể là hình bình hành, (4) sai; Đối với (5), tất cả các đường trục của hình trụ đều giao nhau tại một điểm, do đó, qua một điểm trên mặt bên của hình trụ, có một đường trục, (5) sai; Đối với (6), một cạnh bên vuông góc với hình chữ nhật của đáy hình tháp, bốn mặt bên đều là hình tam giác vuông, (6) đúng, do đó số câu đúng là 2.

Question 9: 9. Điểm $P ( 2 , - 31 )$ là điểm đối xứng với gốc tọa độ.

9. Điểm $P ( 2 , - 31 )$ là điểm đối xứng với gốc tọa độ.

  • A. A. $( - 2 , - 3 , - 1 )$
  • B. B. $( - 23 ; 1 )$
  • C. C. $( 2 , - 3 , - 1 )$
  • D. D. $( - 2,31 )$

Answer: B

Solution: Điểm $P ( 2 , - 31 )$ Các tọa độ của điểm đối xứng với gốc tọa độ đều trở thành số đối của tọa độ ban đầu, tức là $( - 23 , - 1 )$ . Chọn B. [Điểm nhấn]Câu hỏi này kiểm tra việc tìm tọa độ của điểm đối xứng với gốc tọa độ trong không gian. Nắm vững đặc điểm của điểm đối xứng là chìa khóa để giải quyết vấn đề.

Question 10: 10. Nếu diện tích của ba mặt của một hình hộp chữ nhật lần lượt là $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqr...

10. Nếu diện tích của ba mặt của một hình hộp chữ nhật lần lượt là $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 }$, thì thể tích của hình hộp chữ nhật này là ().

  • A. A. 6
  • B. B. $\sqrt { 6 }$
  • C. C. 3
  • D. D. $2 ^ { \sqrt { 3 } }$

Answer: B

Solution: Nếu chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình lập phương lần lượt là $x , y , z$, thì $x y = \sqrt { 2 } , y z = \sqrt { 3 } , x z = \sqrt { 6 }$, $\therefore ( x y z ) ^ { 2 } = 6$ $\therefore V = x y z = \sqrt { 6 }$

Question 11: 11. Câu nào sau đây là sai?

11. Câu nào sau đây là sai?

  • A. A. Mặt cắt trục của hình trụ là mặt cắt có diện tích lớn nhất trong các mặt cắt qua đường trục.
  • B. B. Mặt cắt trục của hình nón là mặt cắt có diện tích lớn nhất trong tất cả các mặt cắt đi qua đỉnh.
  • C. C. Tất cả các mặt cắt song song với đáy của hình trụ đều là hình tròn.
  • D. D. Tất cả các mặt cắt trục của hình nón đều là tam giác cân.

Answer: B

Solution: Đối với phương án A, trong hình trụ, các mặt cắt qua đường trục đều là hình chữ nhật, có chiều cao bằng nhau. Khi đáy là đường kính, diện tích mặt cắt đạt giá trị lớn nhất, tức là mặt cắt trục của hình trụ là mặt cắt có diện tích lớn nhất trong các mặt cắt qua đường trục. Do đó, phương án A là đúng. Đối với phương án B, diện tích mặt cắt trục của hình nón là $\frac { 1 } { 2 } \cdot l ^ { 2 } \cdot \sin \theta$, trong đó ${ } _ { l }$ là chiều dài đường trục, $\theta$ là giá trị lớn nhất của góc giữa hai đường trục của hình nón. Từ đó có thể biết rằng khi $\theta \leq \frac { \pi } { 2 }$ thì diện tích mặt cắt trục là lớn nhất, khi $\frac { \pi } { 2 } < \theta < \pi$ thì nhất định tồn tại mặt cắt $\theta _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 }$ để diện tích mặt cắt đạt giá trị lớn nhất, do đó đề xuất của phương án B là sai. Theo tính chất hình học của hình trụ, tất cả các mặt cắt song song với đáy của hình trụ đều là hình tròn, do đó đề C là đúng. Theo tính chất hình học của hình nón, tất cả các mặt cắt trục của hình nón đều là hình tam giác cân, do đó đề D là đúng. Tóm lại, câu trả lời cho câu hỏi này là B. [Điểm chính]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra tính chất hình học của hình trụ, hình nón và hình trụ, kiểm tra công thức tính diện tích tam giác và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác, thuộc loại câu hỏi cơ bản.

Question 12: 12. Nếu bán kính của quả cầu nội tiếp của một hình trụ là 1, thì thể tích của hình trụ đó là ( )

12. Nếu bán kính của quả cầu nội tiếp của một hình trụ là 1, thì thể tích của hình trụ đó là ( )

  • A. A. $\pi$
  • B. B. $2 \pi$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $4 \pi$

Answer: B

Solution: Theo đề bài, bán kính của đáy hình trụ là 1, chiều cao của hình trụ là 2, nên thể tích của hình trụ là $\pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = 2 \pi$.

Question 13: 13. Khi bán kính của quả bóng được mở rộng lên ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ lần so với ban đầu, thì thể t...

13. Khi bán kính của quả bóng được mở rộng lên ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ lần so với ban đầu, thì thể tích của nó sẽ tăng lên bao nhiêu lần so với ban đầu?

  • A. A. 2 lần
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$ lần
  • C. C. $\sqrt { 2 }$ lần
  • D. D. $\sqrt [ 3 ] { 2 }$ lần

Answer: B

Solution: Nếu bán kính của quả bóng là ${ } _ { R }$, thì thể tích là $V _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 }$. Khi mở rộng bán kính của quả bóng lên gấp $\sqrt { 2 }$ lần so với ban đầu, tức là bán kính là $\sqrt { 2 } R$, thì thể tích là $V _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \pi ( \sqrt { 2 } R ) ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi R ^ { 3 }$. thì $\frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } = 2 \sqrt { 2 }$ , tức là $V _ { 2 } = 2 \sqrt { 2 } V _ { 1 }$ ,

Question 14: 14. Chiều cao của một hình trụ là 1, chu vi đáy là 8, ba hình chiếu của nó được thể hiện trong hình....

14. Chiều cao của một hình trụ là 1, chu vi đáy là 8, ba hình chiếu của nó được thể hiện trong hình. Điểm $P$ trên bề mặt hình trụ tương ứng với điểm là $A$ , điểm $Q$ trên bề mặt hình trụ tương ứng với điểm $B$ trên mặt bên trái, thì trên mặt bên của hình trụ này, trong đường đi từ $P$ đến $Q$ , độ dài đường đi ngắn nhất là ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-005.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-006.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-007.jpg)

  • A. A. $\sqrt { 17 }$
  • B. B. $\sqrt { 5 }$
  • C. C. $\frac { 3 } { 2 }$
  • D. D. 1

Answer: B

Solution:

Question 15: 15. Giả sử các cạnh của hình chữ nhật có độ dài lần lượt là $a , b ( a > b )$, và chúng được cuộn th...

15. Giả sử các cạnh của hình chữ nhật có độ dài lần lượt là $a , b ( a > b )$, và chúng được cuộn theo hai cách khác nhau để tạo thành hai hình trụ (không có đáy) có chiều cao lần lượt là $a$ và $b$ (không có đáy), thể tích của chúng lần lượt là $V ^ { a }$ và $V ^ { b }$ , thì mối quan hệ giữa kích thước của $V ^ { a }$ và $V ^ { b }$ là

  • A. A. $V _ { a } > V _ { b }$
  • B. B. $V _ { a } = V _ { b }$
  • C. C. $V _ { a } < V _ { b }$
  • D. D. Không chắc chắn

Answer: C

Solution: Theo đề bài, khi cuộn thành hình trụ có chiều cao là $a$, giả sử bán kính đáy của hình trụ là $r _ { 1 }$, thì $2 \pi r _ { 1 } = b$, giải được $r _ { 1 } = \frac { b } { 2 \pi }$ , thì thể tích của hình trụ là $V _ { a } = \pi r _ { 1 } ^ { 2 } a = \pi \times \left( \frac { b } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } a = \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ , Khi cuộn thành hình trụ có chiều cao ${ } ^ { b }$, lúc này giả sử bán kính đáy hình trụ là $r _ { 2 }$, thì ${ } ^ { 2 \pi r _ { 2 } = a }$ giải được $r _ { 2 } = \frac { a } { 2 \pi }$ , thì thể tích của hình trụ là $V _ { b } = \pi r _ { 2 } ^ { 2 } b = \pi \times \left( \frac { a } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } b = \frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi }$ , và từ $a > b$ , nên $\frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi } > \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ , tức là $V _ { b } > V _ { a }$ , nên chọn C. [Điểm chính]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra hình chiếu bên của hình trụ và cách tính thể tích hình trụ. Trong quá trình giải, theo yêu cầu của câu hỏi, cần tìm bán kính đáy của hai hình trụ, sử dụng công thức tính thể tích hình trụ để tính chính xác thể tích hình trụ là chìa khóa để giải câu hỏi. Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra khả năng suy luận và tính toán, thuộc loại câu hỏi cơ bản.

Question 16: 16. Hiện có một chiếc lều, phần dưới của nó có hình dạng là một lăng trụ lục giác đều cao 1 m, phần ...

16. Hiện có một chiếc lều, phần dưới của nó có hình dạng là một lăng trụ lục giác đều cao 1 m, phần trên có hình dạng là một lăng trụ lục giác đều có cạnh dài 3 m (như hình vẽ). Khi thể tích của lều đạt cực đại, khoảng cách từ đỉnh lều $O$ đến tâm đáy ${ } ^ { O } { } _ { 1 }$ là ![](/images/questions/solid-geometry/image-008.jpg)

  • A. A. 1 m
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 } \mathrm {~m}$
  • C. C. 2 m
  • D. D. 3 m

Answer: C

Solution: Nếu ${ } ^ { O O _ { 1 } }$ là $^ { x \mathrm {~m} }$, thì $1 < x < 4$, giả sử diện tích của hình lục giác đều ở đáy là $S \mathrm {~m} ^ { 2 }$, thể tích của lều là $V \mathrm {~m} ^ { 3 }$. Từ giả thiết có thể thấy, chiều dài cạnh của đáy lục giác đều là $\sqrt { 3 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } ( \mathrm {~m} )$ , do đó $S = 6 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \left( \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ , nên $V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) ( x - 1 ) + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \times \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ $= \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) [ ( x - 1 ) + 3 ] = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 16 + 12 x - x ^ { 3 } \right) ( 1 < x < 4 )$, thì $V ^ { \prime } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 12 - 3 x ^ { 2 } \right)$ . Đặt $V ^ { \prime } = 0$ , ta có $x = 2$ hoặc $x = - 2$ (bỏ qua). Khi $1 < x < 2$ , $V ^ { \prime } > 0 , ~ V$ tăng dần; Khi $2 < x < 4$ , $V ^ { \prime } < 0 , V$ giảm đều đặn. Vì vậy, khi $x = 2 ( \mathrm {~m} )$ , $V$ đạt giá trị lớn nhất.

Question 17: 17. Một người dùng mảnh giấy như hình vẽ, gấp theo nếp gấp rồi dán thành một chiếc đèn lồng hình tứ ...

17. Một người dùng mảnh giấy như hình vẽ, gấp theo nếp gấp rồi dán thành một chiếc đèn lồng hình tứ giác, hình vuông làm đáy đèn, và trên một mặt tam giác có viết chữ "Năm". Khi đèn quay, có thể nhìn thấy dòng chữ "Chúc mừng năm mới", thì ở (1), (2), (3) nên viết lần lượt ![](/images/questions/solid-geometry/image-009.jpg)

  • A. A. Nhanh, mới, vui
  • B. B. Vui vẻ, mới mẻ, nhanh chóng
  • C. C. Mới, vui, nhanh
  • D. D. Vui vẻ, nhanh chóng, mới mẻ

Answer: A

Solution: Dựa vào hình tứ giác, có thể thấy rõ dòng chữ "Chúc mừng năm mới", do đó thứ tự là (2) năm (1) (3), nên chọn A. [Điểm nhấn]Câu hỏi này kiểm tra đặc điểm cấu trúc của hình tứ giác, kiểm tra khả năng nhận biết hình ảnh của học sinh, thuộc loại câu hỏi cơ bản.

Question 18: 18. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị như trong hình (đơn vị: $m$), thì thể tích củ...

18. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị như trong hình (đơn vị: $m$), thì thể tích của hình học đó là (). $m ^ { 3 }$ ![](/images/questions/solid-geometry/image-010.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-011.jpg)

  • A. A. $2 \pi$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $\frac { 10 \pi } { 3 }$

Answer: B

Solution: Theo ba hình chiếu, hình học này được tạo thành từ hai hình nón giống nhau và một hình trụ. Đường kính đáy của hình nón là 1, chiều cao là 1. Đường kính đáy của hình trụ là 1, chiều cao là 2. Do đó, thể tích của hình học là $V = 2 \times \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 + \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = \frac { 8 } { 3 } \pi$, chọn B.

Question 19: 20. Lấy ba đỉnh bất kỳ của hình lăng trụ tam giác làm đỉnh để tạo thành các tam giác, sau đó chọn ng...

20. Lấy ba đỉnh bất kỳ của hình lăng trụ tam giác làm đỉnh để tạo thành các tam giác, sau đó chọn ngẫu nhiên hai tam giác trong số đó, thì số trường hợp hai tam giác này nằm trên cùng một mặt là ( ).

  • A. A. 6 loại
  • B. B. 12 loại
  • C. C. 18 loại
  • D. D. 30 loại

Answer: C

Solution: Hai tam giác đồng phẳng thì hai tam giác này phải nằm trên cùng một mặt, mỗi mặt có 4 đỉnh, có thể tạo thành 4 tam giác, chọn bất kỳ hai tam giác nào có $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 6$ cách chọn, ba mặt có thể chọn ra $6 \times 3 = 18$ cặp tam giác đồng phẳng.

Question 20: 21. Nếu một hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là $4 , \sqrt { 5 } , 2...

21. Nếu một hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là $4 , \sqrt { 5 } , 2$, và mỗi đỉnh của hình hộp chữ nhật nằm trên bề mặt của quả cầu $O$, thì diện tích bề mặt của quả cầu $O$ là ( ).

  • A. A. $18 \pi$
  • B. B. $20 \pi$
  • C. C. $24 \pi$
  • D. D. $25 \pi$

Answer: D

Solution: Theo đề bài, khoảng cách từ điểm giao nhau của các đường chéo của hình lập phương đến các đỉnh là bằng nhau, tức là tâm của quả cầu $O$ chính là điểm giao nhau của các đường chéo, bán kính bằng một nửa đường chéo, tức là bán kính $r = \frac { \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$ của quả cầu $O$, thì diện tích bề mặt của hình cầu $O$ là $S = 4 \pi r ^ { 2 } = 25 \pi$ .

Question 21: 23. Như hình vẽ, cạnh của hình vuông nhỏ trên giấy kẻ ô là 1. Sau khi một phần của hình lập phương b...

23. Như hình vẽ, cạnh của hình vuông nhỏ trên giấy kẻ ô là 1. Sau khi một phần của hình lập phương bị cắt bỏ, hình chiếu ba chiều của hình khối còn lại được thể hiện như hình vẽ. Vậy thể tích của hình khối này là ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-012.jpg)

  • A. A. 8
  • B. B. 16
  • C. C. $\frac { 16 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: B

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, hình ảnh trực quan của hình học được thể hiện như trong hình vẽ. Hình học là hình tứ diện $A - B C D E$ , mặt đáy $B C D E$ là hình thang vuông góc, chiều dài cạnh trên và cạnh dưới lần lượt là $4 , 2$ , chiều cao là 4 , chiều cao của hình tứ diện là 4 , do đó thể tích của hình học là $\frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times ( 2 + 4 ) \times 4 \times 4 = 16$ ,

Question 22: 24. Đã biết tam giác $B - P A C$ có các cạnh bên bằng nhau, điểm giữa của các cạnh bên lần lượt là $...

24. Đã biết tam giác $B - P A C$ có các cạnh bên bằng nhau, điểm giữa của các cạnh bên lần lượt là $D , E , F$ , điểm giữa của cạnh $A C$ là $G , P B \perp$ mặt phẳng $^ { A B C }$ . Và $A B = 4 , \angle A B C = 120 ^ { \circ }$. Nếu mỗi đỉnh của tứ diện ${ } ^ { D E F G }$ đều nằm trên bề mặt cầu ${ } ^ { O }$, thì tổng chiều dài giao tuyến giữa bề mặt cầu và cạnh của tam giác $B - P A C$ là ( )

  • A. A. $\frac { 7 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 10 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 11 \pi } { 3 }$

Answer: C

Solution: Như hình vẽ: ![](/images/questions/solid-geometry/image-013.jpg) Kết nối $B G$ và $\because A B = B C = B P = 4 , D , E , F , G$ lần lượt là các điểm giữa của các cạnh, $\angle A B C = 120 ^ { \circ }$ và $B D = B E = B F = B G = 2$ $\therefore \quad$ , $\therefore$ điểm $B$ là tâm của quả cầu $O$ , $\because P B \perp$ mặt phẳng $A B C$ , $\therefore$ tổng chiều dài đường giao nhau giữa mặt cầu và mặt bên của tam giác $B - P A C$ là $\frac { 120 + 90 + 90 } { 360 } \times \pi \times 2 ^ { 2 } = \frac { 10 \pi } { 3 }$ ,

Question 23: 26. "Thiên công khai vật" là một tác phẩm khoa học kỹ thuật tổng hợp do nhà khoa học thời Minh triều...

26. "Thiên công khai vật" là một tác phẩm khoa học kỹ thuật tổng hợp do nhà khoa học thời Minh triều Trung Quốc là Tống Ứng Tinh biên soạn, trong đó ghi chép một phương pháp sản xuất ngói. Một trường trung học phổ thông có kế hoạch thực hành phương pháp này, đã chuẩn bị cho học sinh đất sét và thùng gỗ hình trụ để làm ngói. Đường kính ngoài của đáy thùng là 20 cm, chiều cao là 20 cm. Đầu tiên, phủ một lớp đất sét dày 2 cm lên mặt ngoài của thùng gỗ, sau đó chia lớp đất sét thành bốn phần bằng nhau theo hướng đường trục của thùng gỗ (như trong hình). Khi đất sét khô, sẽ thu được bốn viên ngói có kích thước bằng nhau. Mỗi học sinh làm bốn viên ngói, toàn trường có 500 học sinh, lượng đất sét cần chuẩn bị (không tính hao hụt) gần với con số nào nhất trong các con số sau đây. (Dữ liệu tham khảo: $\pi \approx 3.14$ ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-014.jpg) Dòng phân chia

  • A. A. $0.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • B. B. $1.4 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • C. C. $1.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • D. D. $2.2 \mathrm {~m} ^ { 3 }$

Answer: B

Solution: Từ điều kiện có thể tính được thể tích của bốn viên ngói là $V = \pi \times 12 ^ { 2 } \times 20 - \pi \times 10 ^ { 2 } \times 20 = 880 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ Vì vậy, 500 học sinh, mỗi người làm 4 viên gạch, tổng thể tích đất sét cần thiết là $500 \times 880 \pi = 440000 \pi \quad \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ , và $\pi \approx 3.14$ , nên tổng thể tích đất sét cần thiết là khoảng $1.3816 \mathrm {~m} ^ { 3 }$ ,

Question 24: 27. Đã biết cạnh của hình lập phương $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ có độ dài l...

27. Đã biết cạnh của hình lập phương $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ có độ dài là 2, điểm $E$ là điểm giữa của cạnh $A B$, thì khoảng cách của điểm $A _ { \text {到mặt phẳng } } E B _ { 1 } C$ là

  • A. A. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer: A

Solution: Vì ${ } ^ { E }$ là điểm giữa của $A B$, nên khoảng cách của ${ } _ { \text {到mặt phẳng } } E B _ { 1 } C$ bằng khoảng cách từ ${ } ^ { B }$ đến mặt phẳng ${ } ^ { E B } C$. Gọi khoảng cách này là $h$, ![](/images/questions/solid-geometry/image-015.jpg) Từ đề bài có thể biết $B _ { 1 } E = C E = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } , B _ { 1 } C = 2 \sqrt { 2 }$ , nên $S _ { \triangle B _ { 1 } C E } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times \sqrt { ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }$ , do $V _ { B _ { 1 } - B C E } = V _ { B - B _ { 1 } C E }$ , nên $\frac { 1 } { 3 } \times \left( \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times 2 \right) \times 2 = \frac { 1 } { 3 } \times \sqrt { 6 } \times h$ , nên $h = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ .

Question 25: 28. Đã biết hình dạng của một vật phẩm là hình trụ tròn, mặt cắt trục của hình trụ tròn này là hình ...

28. Đã biết hình dạng của một vật phẩm là hình trụ tròn, mặt cắt trục của hình trụ tròn này là hình thang cân có đáy trên là 2, đáy dưới là 4 và cạnh là 3, thì diện tích bề mặt của hình trụ tròn này là ![](/images/questions/solid-geometry/image-016.jpg).

  • A. A. $\frac { 14 } { 3 } \pi$
  • B. B. $14 \pi$
  • C. C. $\frac { 7 } { 3 } \pi$
  • D. D. $7 \pi$

Answer: B

Solution: Diện tích bề mặt của hình trụ tròn này là $S = \pi \left( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } l + r _ { 2 } l \right) = \pi \left( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 \times 3 + 2 \times 3 \right) = 14 \pi$.

Question 26: 29. Diện tích mặt bên của một hình nón gấp đôi diện tích đáy. Góc tâm của hình quạt mở ra từ mặt bên...

29. Diện tích mặt bên của một hình nón gấp đôi diện tích đáy. Góc tâm của hình quạt mở ra từ mặt bên của hình nón này là

  • A. A. $60 ^ { \circ }$
  • B. B. $90 ^ { \circ }$
  • C. C. $120 ^ { \circ }$
  • D. D. $180 ^ { \circ }$

Answer: D

Solution: Giả sử bán kính đáy của hình nón là $r$ , chiều dài đường tròn là $a$ , vì diện tích mặt bên gấp đôi diện tích đáy, nên $\pi r a = 2 \pi r ^ { 2 }$ , và $2 \pi r = \frac { n \pi a } { 180 ^ { \circ } }$ , ta có $n = 180 ^ { \circ }$ .

Question 27: 31. Trong hình lăng trụ thẳng $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$, $A B \perp B C , A ...

31. Trong hình lăng trụ thẳng $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$, $A B \perp B C , A B = 6 , B C = 8$ và hình lăng trụ này có quả cầu nội tiếp, thì tỷ lệ giữa diện tích bề mặt của quả cầu nội tiếp và quả cầu ngoại tiếp của hình lăng trụ này là

  • A. A. $2 : 5$
  • B. B. $4 : 25$
  • C. C. $2 : \sqrt { 29 }$
  • D. D. $4 : 29$

Answer: D

Solution: Theo đề bài, bán kính đường tròn nội tiếp của ${ } _ { V A B C }$ là $\frac { 6 + 8 - 10 } { 2 } = 2$, do đó để hình tam giác này có đường tròn nội tiếp, chiều cao của hình tam giác này là ${ } ^ { A A _ { 1 } = 4 }$, nên bán kính đường tròn nội tiếp là ${ } ^ { r = 2 }$; ![](/images/questions/solid-geometry/image-017.jpg) lấy điểm giữa của ${ } ^ { A C }$ là $D , { } ^ { A _ { 1 } C _ { 1 } }$ và điểm giữa của ${ } ^ { D _ { 1 } }$ là ${ } ^ { D D _ { 1 } }$ là điểm giữa $M$ là tâm của quả cầu ngoại tiếp, do đó bán kính của quả cầu ngoại tiếp là $R = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 29 }$ , vì vậy tỷ lệ giữa diện tích bề mặt của quả cầu nội tiếp và quả cầu ngoại tiếp của hình tam giác là $4 \pi r ^ { 2 } : 4 \pi R ^ { 2 } = 4 : 29$

Question 28: 32. Như hình vẽ, đã biết bán kính của đáy hình trụ là $\frac { 2 } { \pi }$, chiều cao là ${ } _ { 2...

32. Như hình vẽ, đã biết bán kính của đáy hình trụ là $\frac { 2 } { \pi }$, chiều cao là ${ } _ { 2 } , A B , C D$ lần lượt là đường kính của hai đáy, $A D B C$ là đường trục. Nếu một con côn trùng nhỏ bắt đầu từ điểm $A$ và bò từ mặt bên đến điểm $C$, hãy tìm đường đi ngắn nhất của con côn trùng là ![](/images/questions/solid-geometry/image-018.jpg).

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $3 \sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: Mở rộng mặt bên của hình trụ như hình vẽ, ![](/images/questions/solid-geometry/image-019.jpg) sau khi mở rộng, trong hình chữ nhật $A B C D ^ { \text {中 } } , A B = \pi \times \frac { 2 } { \pi } = 2 , B C = 2$ , từ hình vẽ có thể thấy đường đi ngắn nhất của con sâu là $A C = \sqrt { A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$ .

Question 29: 33. Trong hình thang $A B C D$, $\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 A B =...

33. Trong hình thang $A B C D$, $\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 A B = 2$. Thể tích của hình học được tạo thành bởi bề mặt cong được tạo ra khi hình thang $A B C D$ quay một vòng quanh đường thẳng chứa $A D$ là

  • A. A. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 5 \pi } { 3 }$
  • D. D. $2 \pi$

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-020.jpg) Theo đề bài, hình học sau khi quay như hình vẽ: Hình thang vuông góc ABCD xoay một vòng quanh đường thẳng AD tạo thành một hình học được bao quanh bởi một hình trụ có bán kính đáy là 1 và chiều dài đường trục là 2, sau đó được khoét một hình nón có bán kính đáy cũng là 1 và chiều cao là 1, do đó thể tích của hình học này là $V = V _ { \text {圆柱 } } - V _ { \text {圆雉 } } = \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 - \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 = \frac { 5 } { 3 } \pi$

Question 30: 34. Hình chiếu ba chiều của một hình học như trong hình, phần đường cong trong hình chiếu thẳng đứng...

34. Hình chiếu ba chiều của một hình học như trong hình, phần đường cong trong hình chiếu thẳng đứng là nửa vòng cung, thì diện tích bề mặt của hình học đó là ( ). ![](/images/questions/solid-geometry/image-021.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-022.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-023.jpg) Làm hình chiếu

  • A. A. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • B. B. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • C. C. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • D. D. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$

Answer: C

Solution: Xác định hình học của vật thể thông qua ba hình chiếu, sau đó tính diện tích bề mặt. Qua ba hình chiếu, có thể thấy hình học này được tạo thành từ một hình tam giác và nửa hình trụ, trong đó đáy của hình tam giác là hình tam giác vuông có chiều dài cạnh 2 cm, cạnh bên dài 3 cm, đáy của nửa hình trụ có bán kính 1 cm, chiều dài đường trục là 3 cm, diện tích bề mặt là $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 2 } \right)$.

Question 31: 35. Đã biết hình chiếu ba chiều của một hình học đơn giản như hình vẽ, nếu thể tích của hình học này...

35. Đã biết hình chiếu ba chiều của một hình học đơn giản như hình vẽ, nếu thể tích của hình học này là $24 \pi + 48$, thì diện tích bề mặt của hình học này là ![](/images/questions/solid-geometry/image-024.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-025.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-026.jpg).

  • A. A. $24 \pi + 48$
  • B. B. $24 \pi + 90 + 6 \sqrt { 41 }$
  • C. C. $48 \pi + 48$
  • D. D. $24 \pi + 66 + 6 \sqrt { 41 }$

Answer: D

Solution: Hình học này là sự kết hợp giữa một hình chóp và một phần tư hình chóp tròn, diện tích bề mặt của nó là $V = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \pi ( 3 r ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 3 r \times 3 r \right) \times 4 r = 24 \pi + 48 , ~ r = 2$, do đó $S = \frac { 1 } { 2 } \times 12 \times 8 + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 6 + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \pi \times 6 \times 10 + \frac { 1 } { 4 } \pi \times 6 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \sqrt { 2 } \times \sqrt { 100 - 18 } = 66 + 24 \pi + 6 \sqrt { 41 }$, nên chọn D.

Question 32: 37. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị trong hình. Chiều dài của ô vuông nhỏ trong h...

37. Hình chiếu ba chiều của một hình học được hiển thị trong hình. Chiều dài của ô vuông nhỏ trong hình là 1. Vậy thể tích của hình học này là ![](/images/questions/solid-geometry/image-027.jpg).

  • A. A. 60
  • B. B. 48
  • C. C. 24
  • D. D. 20

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-028.jpg) Từ ba hình chiếu có thể thấy: Hình học là một hình lăng trụ ba cạnh loại bỏ một hình lăng trụ ba cạnh có cùng đáy, như trong hình, chiều cao của hình tam giác là 5, chiều cao của hình tam giác bị loại bỏ là 3, đáy của hình tam giác và hình tam giác là tam giác vuông có cạnh vuông góc lần lượt là 3 và 4, $\therefore$ thể tích của hình học $V = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 5 - \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 3 = 30 - 6 = 24$ , do đó chọn C. [Điểm mấu chốt của phương pháp]Câu hỏi này sử dụng ba hình chiếu của hình học không gian để kiểm tra khả năng tưởng tượng không gian và tư duy trừu tượng của học sinh, cũng như công thức tính thể tích của hình tam giác và hình tam giác, đây là một câu hỏi khó. Câu hỏi về ba hình chiếu là loại câu hỏi phổ biến nhất để kiểm tra khả năng tưởng tượng không gian của học sinh, đồng thời cũng là chủ đề nóng trong kỳ thi đại học. Quan sát ba hình chiếu và "dịch" chúng thành hình ảnh trực quan là chìa khóa để giải câu hỏi. Không chỉ cần chú ý đến ba yếu tố của ba hình chiếu là "cao bằng phẳng, dài đối xứng, rộng bằng nhau", mà còn phải đặc biệt chú ý đến ảnh hưởng của đường liền và đường đứt nét cũng như vị trí khác nhau của các hình tương tự đối với hình ảnh trực quan của hình học.

Question 33: 38. "Cửu chương toán thuật" là một tác phẩm toán học nổi tiếng của Trung Quốc cổ đại với nội dung vô...

38. "Cửu chương toán thuật" là một tác phẩm toán học nổi tiếng của Trung Quốc cổ đại với nội dung vô cùng phong phú. Trong sách có câu hỏi sau: " Hiện có một đống đậu được xếp thành hình nón bán nguyệt, đáy đống đậu có chiều dài 3 trượng, cao 7 thước, hỏi thể tích và số lượng đậu trong đống là bao nhiêu?" Ý nghĩa của câu hỏi là: "Đống đậu được xếp thành hình nón bán nguyệt dựa vào tường, đáy đống đậu có chiều dài 3 trượng, cao 7 thước, hỏi thể tích của đống đậu và số lượng đậu trong đống là bao nhiêu?" Biết rằng 1 hũ đậu tương $= 2.43$ là 1 mét khối, 1 trượng $= 10$ là 1 mét, số pi xấp xỉ 3, ước tính số đậu tương chất thành đống là

  • A. A. 140 hũ
  • B. B. 142 hu
  • C. C. 144 hũ
  • D. D. 146 hũ

Answer: C

Solution: Theo đề bài, cho bán kính của nửa vòng tròn đáy hình nón là $r$, độ dài cung tròn là $l$, thì có $\pi r = l$, tức là $r = \frac { l } { \pi }$, diện tích đáy hình nón là $S = \frac { 1 } { 2 } r l = \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi }$ , và $l = 30$ thước, chiều cao hình nón là $h = 7$ thước, do đó thể tích hình nón là $V = \frac { 1 } { 3 } S h = \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi } \cdot h \approx \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 30 ^ { 2 } } { 2 \times 3 } \times 7 = 350$ (thước khối), Từ $\frac { 350 } { 2.43 } \approx 144$ có 144 (thùng) đậu nành, nên số đậu nành được chất thành đống khoảng 144 (thùng).

Question 34: 39. Đã biết tất cả các đỉnh của hình tứ diện $S - A B C D$ đều nằm trên cùng một mặt cầu, đáy $A B C...

39. Đã biết tất cả các đỉnh của hình tứ diện $S - A B C D$ đều nằm trên cùng một mặt cầu, đáy $A B C D$ là hình vuông và tâm cầu $O$ nằm trên cùng một mặt phẳng, khi thể tích của hình tứ diện này đạt giá trị lớn nhất, diện tích bề mặt của nó bằng $4 + 4 \sqrt { 3 }$ , thì thể tích của hình cầu $O$ bằng

  • A. A. $\frac { 32 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • B. B. $\frac { 16 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • C. C. $\frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • D. D. $\frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$

Answer: C

Solution: Tất cả các đỉnh của hình tứ diện $S - A B C D$ đều nằm trên cùng một mặt cầu, đáy $A B C D$ là hình vuông và nằm trên cùng một mặt phẳng với tâm cầu $O$, vì vậy tâm cầu $O$ là tâm của hình vuông $A B C D$ , khi chiều cao của hình tứ diện này bằng bán kính của cầu, thể tích của hình tứ diện này đạt giá trị lớn nhất. Lúc này, hình tứ diện là hình tứ diện đều. Giả sử bán kính của hình cầu $O$ là $R$ , thì $| A B | = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } | A C | = \sqrt { 2 } R$ , $| S B | = \sqrt { | O B | ^ { 2 } + | S O | ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } R$ $\triangle S B C$ là tam giác đều, thì $S _ { \triangle S B C } = \frac { 1 } { 2 } | S B | ^ { 2 } \sin 60 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } R ^ { 2 }$ Vì vậy, diện tích bề mặt của hình tứ diện này là $4 S _ { \triangle S B C } + S _ { A B C D } = 2 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } + 2 R ^ { 2 } = 4 + 4 \sqrt { 3 }$ Vì vậy, $R = \sqrt { 2 }$ , do đó thể tích của hình cầu $O$ là $V = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$ . ![](/images/questions/solid-geometry/image-029.jpg)

Question 35: 40. Tạo một thùng chứa hình trụ kín có thể tích là $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$, s...

40. Tạo một thùng chứa hình trụ kín có thể tích là $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$, sao cho lượng vật liệu sử dụng được tiết kiệm nhất. Bán kính đáy của hình trụ là "Bài tập Toán lớp 12 ngày 29 tháng 10 năm 2025"

  • A. A. 6 cm
  • B. B. $3 \sqrt [ 3 ] { 2 } \mathrm {~cm}$
  • C. C. $3 \sqrt [ 3 ] { 4 } \mathrm {~cm}$
  • D. D. $3 \sqrt { 3 } \mathrm {~cm}$

Answer: C

Solution:
Quay lại danh sách

Solid Geometry

空间几何

35 Câu hỏi luyện tập

Luyện tập với đề tiếng Trung để chuẩn bị cho kỳ thi CSCA. Bạn có thể bật/tắt bản dịch trong khi luyện tập.

Tổng quan chủ đề

Hình học không gian là một nhánh của toán học nghiên cứu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình khối và mối quan hệ giữa chúng trong không gian ba chiều. Trong kỳ thi CSCA, phần này thường liên quan đến việc tính toán diện tích bề mặt và thể tích của các hình khối thông dụng (như trụ, nón, cầu), nhận diện và tái tạo ba hình chiếu, đánh giá mối quan hệ vị trí trong không gian, v.v. Các câu hỏi thường kết hợp giữa hình vẽ và dữ liệu, yêu cầu thí sinh có khả năng tưởng tượng không gian và áp dụng công thức một cách thành thạo.

Số câu hỏi:35

Điểm chính

  • 1Tính diện tích bề mặt và thể tích của các hình khối thông dụng
  • 2Chuyển đổi lẫn nhau giữa ba hình chiếu và hình chiếu trực quan
  • 3Xác định sự song song và vuông góc của mặt phẳng trung tâm trong không gian
  • 4Vấn đề về quả cầu ngoại tiếp và quả cầu nội tiếp của hình học đơn giản

Mẹo học tập

Đề nghị vẽ nhiều bản phác thảo hình khối, kết hợp với ba hình chiếu để luyện tập khôi phục không gian, đồng thời ghi nhớ thành thạo công thức tính thể tích và diện tích bề mặt của các hình khối chính.

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Bộ đề thi thử đầy đủ theo đề cương chính thức, tổng hợp nhiều chủ đề như thi thật

Nhận đề thi thử →

Không có thẻ tín dụng? Email cho chúng tôi: kaiguo370@gmail.com

Tài liệu học tập liên quan

Hướng dẫn Toán
Tài liệu chuẩn bị thi đầy đủ
Thuật ngữ Toán
Ôn tập thuật ngữ và khái niệm liên quan

Khám phá bài tập các môn khác:

Luyện Vật lýLuyện Hóa học