Skip to main content

Sequence - Practice Questions (38)

Question 1: 1. Trung bình cộng của $2 + \sqrt { 3 }$ và $2 - \sqrt { 3 }$ là

1. Trung bình cộng của $2 + \sqrt { 3 }$ và $2 - \sqrt { 3 }$ là

  • A. A. 1
  • B. B. - 1
  • C. C. $\pm 1$
  • D. D. 2

Answer: C

Solution: Nếu đặt trung bình cấp số nhân là $a$, thì $a ^ { 2 } = ( 2 + \sqrt { 3 } ) ( 2 - \sqrt { 3 } ) = 1$, thì $a = \pm 1$,

Question 2: 2. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 4 } = 15$, thì tổng 7 số đầu tiên ...

2. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 4 } = 15$, thì tổng 7 số đầu tiên của nó là

  • A. A. 120
  • B. B. 115
  • C. C. 110
  • D. D. 105

Answer: D

Solution: Vì trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, $a _ { 4 } = 15$, nên $S _ { 7 } = \frac { 7 } { 2 } \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) = \frac { 7 } { 2 } \cdot 2 a _ { 4 } = 7 a _ { 4 } = 7 \times 15 = 105$.

Question 3: 3. Nếu các số thực đã biết $m , 3,2$ tạo thành một dãy số cộng, thì hệ số ly tâm của đường cong hình...

3. Nếu các số thực đã biết $m , 3,2$ tạo thành một dãy số cộng, thì hệ số ly tâm của đường cong hình nón $\frac { x ^ { 2 } } { m } + y ^ { 2 } = 1$ là

  • A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$
  • B. B. $\sqrt { 5 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • D. D. $\sqrt { 3 }$

Answer: C

Solution: Giải thích: Vì $m , 3,2$ tạo thành một dãy số cộng đều, $\therefore 2 + m = 6 , \therefore m = 4$, nên phương trình elip là $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$, $\therefore a ^ { 2 } = 4 , b ^ { 2 } = 1 , \therefore a = 2 , c = \sqrt { 3 } , \therefore e = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$.

Question 4: 4. Đã biết tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ là $S _ { ...

4. Đã biết tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ là $S _ { n } , ~ a _ { 1 } \neq 0 , ~ S _ { 8 } = 0$, thì

  • A. A. $\left\{ a _ { n } \right\}$ Phải là dãy số tăng dần
  • B. B. $\left\{ a _ { n } \right\}$ Phải là dãy số giảm dần.
  • C. C. $a _ { 4 } + a _ { 5 } = 0$
  • D. D. $a _ { 3 } + a _ { 5 } = 0$

Answer: C

Solution: $S _ { 8 } = \frac { \left( a _ { 1 } + a _ { 8 } \right) \times 8 } { 2 } = 4 \left( a _ { 1 } + a _ { 8 } \right) = 0$ $\therefore ^ { a _ { 1 } + a _ { 8 } = 0 }$ , theo tính chất của dãy số cộng, $a _ { 4 } + a _ { 5 } = 0$ .

Question 5: 5. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 1 } = \frac { 9 } { 8 } , q = \frac {...

5. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 1 } = \frac { 9 } { 8 } , q = \frac { 2 } { 3 } , S _ { n } = \frac { 19 } { 8 }$, thì $n =$

  • A. A. 3
  • B. B. 4
  • C. C. 5
  • D. D. 6

Answer: A

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, $S _ { n } = \frac { a _ { 1 } \left( 1 - q ^ { n } \right) } { 1 - q } = \frac { \frac { 9 } { 8 } \left( 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n } \right) } { 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } \right) } = \frac { 19 } { 8 }$ , ta có thể giải được $\quad$ .

Question 6: 6. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 2 } = - 2 , a _ { 5 } = 16$, thì tỷ l...

6. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu $a _ { 2 } = - 2 , a _ { 5 } = 16$, thì tỷ lệ chung của dãy số này là

  • A. A. $\pm 2$
  • B. B. 2
  • C. C. - 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: Nếu tỷ lệ công là $q$, thì $q ^ { 3 } = \frac { a _ { 5 } } { a _ { 2 } } = \frac { 16 } { - 2 } = - 8 , q = - 2$.

Question 7: 7. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu biết $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$, thì $a...

7. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, nếu biết $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$, thì $a _ { 4 } = ($

  • A. A. 9
  • B. B. 8
  • C. C. 81
  • D. D. 63

Answer: A

Solution: Từ tính chất của dãy số cộng đều, ta có $a _ { 2 } + a _ { 6 } = 2 a _ { 4 }$ , $\because a _ { 2 } + a _ { 6 } = 18$ $\therefore 2 a _ { 4 } = 18$ dẫn đến $a _ { 4 } = 9$ , do đó chọn A. [Điểm chính]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra ứng dụng của tính chất của dãy số đều, thuộc loại câu hỏi đơn giản. Trong dãy số đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ , nếu $m + m = q + p _ { \text {则 } } a _ { m } + a _ { n } = a _ { p } + a _ { q }$ .

Question 8: 8. Dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ có tổng của $n$ số hạng đầu tiên là $S _ { n }$. Nếu...

8. Dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ có tổng của $n$ số hạng đầu tiên là $S _ { n }$. Nếu $a _ { 4 } + a _ { 6 } = 12$, thì giá trị của $S _ { 9 }$ là

  • A. A. 36
  • B. B. 48
  • C. C. 54
  • D. D. 64

Answer: C

Solution: Từ tính chất của dãy số cộng đều $\left\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \right\}$, ta có: $\mathrm { a } _ { 4 } + \mathrm { a } _ { 6 } = 12 = \mathrm { a } _ { 1 } + \mathrm { a } _ { 9 }$ , thì $\mathrm { S } _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) } { 2 } = 9 \times \frac { 12 } { 2 } = 54$ .

Question 9: 9. Đã biết $S n$ là tổng của $\{ a n \}$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng có sai số không bằng 0, $n...

9. Đã biết $S n$ là tổng của $\{ a n \}$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng có sai số không bằng 0, $n$, $S _ { 9 } = 18$, $a m = 2$, thì $m =$ ( )

  • A. A. 4
  • B. B. 5
  • C. C. 6
  • D. D. 7

Answer: B

Solution: Giải: $S _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) } { 2 } = 9 a _ { 5 } = 18 , \therefore a _ { 5 } = 2$, $\because a m = 2 , \therefore m = 5$,

Question 10: 10. $\sqrt { 3 } - 1$ và $\sqrt { 3 } + 1$ có tỷ lệ trung bình là ( )

10. $\sqrt { 3 } - 1$ và $\sqrt { 3 } + 1$ có tỷ lệ trung bình là ( )

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. $- \sqrt { 2 }$
  • C. C. $\pm \sqrt { 2 }$
  • D. D. $\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

Answer: C

Solution: $\sqrt { 3 } - 1$ và $\sqrt { 3 } + 1$ có trung bình cộng là $\pm \sqrt { ( \sqrt { 3 } - 1 ) ( \sqrt { 3 } + 1 ) } = \pm \sqrt { 2 }$.

Question 11: 11. $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều, và $a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 , a _ { 3 } =...

11. $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều, và $a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 , a _ { 3 } = 0$, thì khoảng cách là $d =$.

  • A. A. - 2
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: Phân tích đề thi: $\because a _ { 7 } - 2 a _ { 4 } = - 1 \therefore a _ { 3 } + 4 d - 2 \left( a _ { 3 } + d \right) = - 1 \therefore 4 d - 2 d = - 1 \therefore d = - \frac { 1 } { 2 }$ Điểm kiểm tra: Công thức chung của dãy số cộng đều

Question 12: 12. Trong dãy số cộng đều $\{ a n \}$, nếu $a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$, thì $a _ { 1 } + a _ { 7 }$...

12. Trong dãy số cộng đều $\{ a n \}$, nếu $a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$, thì $a _ { 1 } + a _ { 7 }$ bằng ( )

  • A. A. 5
  • B. B. 8
  • C. C. 10
  • D. D. 14

Answer: C

Solution: $a _ { 1 } + a _ { 7 } = a _ { 3 } + a _ { 5 } = 10$ .

Question 13: 13. Trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$, $a _ { 3 } = 2 , a _ { 7 } = 1$ và dãy số $\left\{ \f...

13. Trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$, $a _ { 3 } = 2 , a _ { 7 } = 1$ và dãy số $\left\{ \frac { 1 } { a _ { n } + 1 } \right\}$ là dãy số cộng đều, thì $a _ { 11 } =$

  • A. A. $- \frac { 2 } { 5 }$
  • B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. 5
  • D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer: B

Solution: Phân tích đề thi: Số thứ ba của dãy số $\left\{ \frac { 1 } { a _ { n } + 1 } \right\}$ là $\frac { 1 } { a _ { 3 } + 1 } = \frac { 1 } { 3 }$, số thứ bảy là $\frac { 1 } { a _ { 7 } + 1 } = \frac { 1 } { 2 }$, do đó số thứ mười một là $\frac { 1 } { a _ { 11 } + 1 } = \frac { 2 } { 3 } \therefore a _ { 11 } = \frac { 1 } { 2 }$ Điểm kiểm tra: Dãy số cộng đều

Question 14: 14. Đã biết số đầu tiên $\left\{ a _ { n } \right\}$ của dãy số cấp số cộng $a _ { 1 } = 1$ và tổng ...

14. Đã biết số đầu tiên $\left\{ a _ { n } \right\}$ của dãy số cấp số cộng $a _ { 1 } = 1$ và tổng $n$ của $S _ { n }$ số đầu tiên. Và $\mathrm { S } _ { 1 } , \mathrm {~S} _ { 2 } , S _ { 3 } - 2$ là dãy số cộng đều, thì $a _ { 4 } =$ ( ).

  • A. A. 8
  • B. B. $\frac { 1 } { 8 }$
  • C. C. 16
  • D. D. $\frac { 1 } { 16 }$

Answer: A

Solution: Giả sử dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ có tỷ số chung là $q$, vì $\mathrm { S } _ { 1 } , \mathrm {~S} _ { 2 } , \mathrm {~S} _ { 3 } - 2$ là dãy số cộng đều, nên $2 S _ { 2 } = S _ { 1 } + S _ { 3 } - 2$, do đó $2 \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } \right) = a _ { 1 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } - 2$ Vì vậy, $a _ { 2 } = a _ { 3 } - 2$ , tức là $q = q ^ { 2 } - 2$ , giải được $q = 2$ hoặc $q = - 1$ Vì $a _ { n } > 0$ , nên $q = 2$ , nên $a _ { 4 } = a _ { 1 } q ^ { 3 } = 8$

Question 15: 15. Theo thống kê về các tòa nhà chọc trời trên toàn cầu, đến năm 2019, thành phố Hợp Phì, tỉnh An H...

15. Theo thống kê về các tòa nhà chọc trời trên toàn cầu, đến năm 2019, thành phố Hợp Phì, tỉnh An Huy đã có 95 tòa nhà chọc trời, xếp thứ 10 trong các thành phố của Trung Quốc và thứ 15 trên thế giới. Tòa nhà cao nhất hiện đang được xây dựng tại Trung tâm Hefei Evergrande có thiết kế bên ngoài giống hình "cành tre", vừa thể hiện sức mạnh phi thường, vừa tượng trưng cho ý chí vươn lên mạnh mẽ, đồng thời báo trước sự thịnh vượng và phát triển trong tương lai. Tòa nhà này kết hợp hài hòa với "văn hóa vi mô" có lịch sử hàng nghìn năm, sau khi hoàn thành sẽ lọt vào danh sách 10 tòa nhà chọc trời hàng đầu thế giới. Tòa nhà gồm 9 "cành tre" , 4 đốt trên cùng cao 228 mét, 3 đốt dưới cùng cao 204 mét, và chiều cao của mỗi đốt thay đổi đều đặn (tức là chiều cao của mỗi đốt từ trên xuống dưới tạo thành một dãy số cách đều nhau), thì tổng chiều cao của tòa nhà chọc trời này là ( )

  • A. A. 518 mét
  • B. B. 558 mét
  • C. C. 588 mét
  • D. D. 668 mét

Answer: B

Solution: Giả sử chiều cao của mỗi đoạn từ trên xuống dưới của tòa nhà tạo thành một dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, giả sử số đầu tiên của dãy số là ${ } ^ { a }$, khoảng cách là ${ } ^ { d }$, từ đề bài có thể biết $S _ { 4 } = 228 , S _ { 9 } - S _ { 6 } = 204$, $4 a _ { 1 } + 6 d = 228 \quad , 3 a _ { 1 } + 21 d = 204 ;$ Giải hệ phương trình liên lập được $a _ { 1 } = 54 , d = 2$ . Do đó, ta có $S _ { 9 } = 9 a _ { 1 } + 36 d = 54 \times 9 + 36 \times 2 = 558$ .

Question 16: 17. Trong $V A B C$, $a , ~ b , ~ c$ lần lượt là các cạnh đối diện của góc $A , ~ B , ~ C$. Nếu $a ,...

17. Trong $V A B C$, $a , ~ b , ~ c$ lần lượt là các cạnh đối diện của góc $A , ~ B , ~ C$. Nếu $a , ~ b , ~ c$ là một dãy số tỷ lệ, và $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = ( a - b ) c$, thì kích thước của $A$ là

  • A. A. $\frac { \pi } { 6 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 \pi } { 6 }$

Answer: B

Solution: Từ điều đã biết $b ^ { 2 } = a c$, từ $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = ( a - b ) c$, ta có $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = a c - b c$, nên $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = b ^ { 2 } - b c$, ta có $b c = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 }$, Từ định lý cosin, ta có $\cos A = \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } = \frac { b c } { 2 b c } = \frac { 1 } { 2 }$ , và $A \in ( 0 , \pi )$ , nên $A = \frac { \pi } { 3 }$ .

Question 17: 18. Trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$, $a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ đối với $\forall n \i...

18. Trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$, $a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ đối với $\forall n \in \mathbf { N } ^ { * } , a _ { n + 2 } = \frac { 5 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 3 } { 2 } a _ { n }$, thì $a _ { 2021 } =$

  • A. A. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2018 } - 1$
  • B. B. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2019 } - 1$
  • C. C. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2020 } - 1$
  • D. D. $2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2021 } - 1$

Answer: C

Solution: Giải đáp: Từ $a _ { n + 2 } = \frac { 5 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 3 } { 2 } a _ { n }$ ta có $a _ { n + 2 } - a _ { n + 1 } = \frac { 3 } { 2 } \left( a _ { n + 1 } - a _ { n } \right)$ $\therefore$ Dãy số $\left\{ a _ { n + 1 } - a _ { n } \right\}$ là dãy số tỷ lệ, với $a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1$ là số đầu tiên và $\frac { 3 } { 2 }$ là tỷ lệ chung, $\therefore a _ { n + 1 } - a _ { n } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } \left( n \in N ^ { * } \right)$ $\therefore$ Khi $n \geq 2$ thì $a _ { n } = \left( a _ { n } - a _ { n - 1 } \right) + \left( a _ { n - 1 } - a _ { n - 2 } \right) + \cdots + \left( a _ { 3 } - a _ { 2 } \right) + \left( a _ { 2 } - a _ { 1 } \right) + a _ { 1 }$ $= \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 2 } + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 3 } + \cdots + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 1 } + \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 0 } + 1$ $= \frac { 1 - \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } } { 1 - \frac { 3 } { 2 } } + 1$ $= 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } - 1$ Sau khi kiểm tra, $n = 1$ khi thành lập. $\therefore a _ { n } = 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } - 1$ . $\therefore a _ { 2021 } = 2 \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2020 } - 1$ ,

Question 18: 19. "Định lý dư của Trung Quốc" còn được gọi là "Định lý Tôn Tử", định lý này nói về vấn đề chia hết...

19. "Định lý dư của Trung Quốc" còn được gọi là "Định lý Tôn Tử", định lý này nói về vấn đề chia hết. Hiện tại, trong 2024 số từ 1 đến 2024, các số chia hết cho 3 dư 1 và chia hết cho 5 dư 1 được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, tạo thành dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$, trước đó là $n _ { \text {项和为 } } S _ { n }$, thì $S _ { 20 } - a _ { 10 } =$.

  • A. A. 2130
  • B. B. 2734
  • C. C. 2820
  • D. D. 3019

Answer: B

Solution: Số có thể chia hết cho 3 với dư 1 và chia hết cho 5 với dư 1 là số có thể chia hết cho 15 với dư 1. sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn với 1 là số đầu tiên, khoảng cách là 15, thì $a _ { n } = 1 + 15 \times ( n - 1 ) = 15 n - 14$ , nên $a _ { 10 } = 15 \times 10 - 14 = 136 , S _ { 20 } = 1 \times 20 + \frac { 20 \times 19 } { 2 } \times 15 = 2870$ , nên $S _ { 20 } - a _ { 10 } = 2870 - 136 = 2734$ .

Question 19: 20. Bảng kiểm tra thị lực logarit tiêu chuẩn (như hình) sử dụng "phương pháp ghi chép năm điểm" là p...

20. Bảng kiểm tra thị lực logarit tiêu chuẩn (như hình) sử dụng "phương pháp ghi chép năm điểm" là phương pháp ghi chép thị lực độc đáo của Trung Quốc. Các hàng trên bảng kiểm tra thị lực logarit tiêu chuẩn là các ký hiệu chữ vuông "$E$", và bắt đầu từ hàng có ký hiệu thị lực 5.1 trở lên, mỗi hàng " $E$" đều bằng $\sqrt [ 10 ] { 10 }$ lần chiều dài của dòng dưới "$E$". Nếu chiều dài của ký hiệu thị lực 4.0 là ${ } ^ { a }$ , thì chiều dài của ký hiệu thị lực 4.9 là | Bảng kiểm tra thị lực tiêu chuẩn | | | :--- | :--- | | ![](/images/questions/sequence/image-001.jpg) | | | E | | | | | | E ${ } ^ { 43 }$ | | | | | | | | | | | | | | | m Em $\boldsymbol { \Xi } 4.8$ | | | E m 尹 $\omega$ E $\mathrm { m } \equiv$ 5.0 | | | 5.1 | | | 5.2 | | | | |

  • A. A. $10 ^ { \frac { 4 } { 5 } } a$
  • B. B. $10 ^ { \frac { 9 } { 10 } } a$
  • C. C. $10 ^ { - \frac { 4 } { 5 } } a$
  • D. D. $10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$

Answer: D

Solution: Giả sử chiều dài cạnh của hình chiếu ở hàng thứ $n$ là $a _ { n }$ , chiều dài cạnh của hình chiếu ở hàng thứ $n - 1$ là $a _ { n - 1 } ( n \geq 2 )$ , theo đề bài, ta có $a _ { n - 1 } = \sqrt [ 10 ] { 10 } a _ { n } ( n \geq 2 )$ , thì $\frac { a _ { n } } { a _ { n - 1 } } = 10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } } ( n \geq 2 )$ , thì dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ có số đầu tiên là $a$ , tỷ lệ chung là $10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } }$ , do đó $a _ { 10 } = a \left( 10 ^ { - \frac { 1 } { 10 } } \right) ^ { 10 - 1 } = 10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$ , thì chiều dài cạnh của chỉ thị thị lực 4.9 là $10 ^ { - \frac { 9 } { 10 } } a$ ,

Question 20: 21. Giả sử hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac...

21. Giả sử hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ lần lượt là $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ và $P$, nếu trên nhánh phải của đường hyperbola tồn tại điểm $\left| P F _ { 2 } \right| , \left| P F _ { 1 } \right| , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right|$ sao cho $\left| P F _ { 2 } \right| = m$ là một dãy số cộng đều, thì khoảng giá trị của hệ số ly tâm của đường hyperbola đó là ( )

  • A. A. $[ 3 , + \infty )$
  • B. B. $( 1,3 ]$
  • C. C. $( 3 , + \infty )$
  • D. D. $( 1,3 )$

Answer: A

Solution: Đặt $\left| P F _ { 2 } \right| = m$, thì $\left| P F _ { 1 } \right| = m + 2 a , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = m + 4 a = 2 c$ , do đó $m = 2 c - 4 a$ , và $P$ nằm ở nhánh phải, do đó $\left| P F _ { 2 } \right| \geq c - a$ , tức là $2 c - 4 a \geq c - a$ , do đó hệ số ly tâm là $e = \frac { c } { a } \geq 3$ .

Question 21: 22. Dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều. Nếu $\frac { a _ { 11 } } { a _ { 10 } }...

22. Dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều. Nếu $\frac { a _ { 11 } } { a _ { 10 } } < - 1$ và tổng $n$ của $S _ { n }$ có giá trị lớn nhất, thì khi $S _ { n }$ đạt giá trị dương nhỏ nhất, [ [INLINE_FORMULA_5]]

  • A. A. 11
  • B. B. 17
  • C. C. 19
  • D. D. 21

Answer: C

Solution: Phân tích câu hỏi: $\because \mathrm { Sn }$ có giá trị lớn nhất, $\therefore \mathrm { d } < 0$ thì $\mathrm { a } _ { 10 } > \mathrm { a } _ { 11 }$, và $\frac { a _ { 11 } < - 1 } { a _ { 10 } } , \therefore \mathrm { a } _ { 11 } < 0 <$ $\mathrm { a } _ { 10 } \therefore \mathrm { a } _ { 10 } + \mathrm { a } _ { 11 } < 0$, $\therefore S _ { 20 } = 10 \left( a _ { 1 } + a _ { 20 } \right) = 10 \left( a _ { 10 } + a _ { 11 } \right) < 0 \quad , S _ { 19 } = 19 a _ { 10 } > 0 \quad$ và $a _ { 1 } > a _ { 2 } > \cdots > a _ { 10 } > 0 > a _ { 11 } > a _ { 12 }$ $\therefore \quad S _ { 10 } > S _ { 9 } > \cdots > S _ { 2 } > S _ { 1 } > 0 \quad , \quad S _ { 10 } > S _ { 11 } > \cdots > S _ { 19 } > 0 > S _ { 20 } > S _ { 21 }$ và $S _ { 19 } - S _ { 1 } = a _ { 2 } + a _ { 3 } + \cdots + a _ { 19 } = 9 \left( a _ { 10 } + a _ { 11 } \right) < 0 \quad \therefore S _ { 19 }$ là giá trị dương nhỏ nhất Điểm kiểm tra: Tính chất của dãy số cộng đều

Question 22: 23. Cho dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S _ { n }$ và thỏa mãn ...

23. Cho dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S _ { n }$ và thỏa mãn điều kiện $S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right)$, thì tổng 81 số hạng đầu tiên của dãy số $\left\{ n a _ { n } \right\}$ là ( ).

  • A. A. 1640
  • B. B. 1660
  • C. C. 1680
  • D. D. 1700

Answer: A

Solution: Từ $S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right)$, có $a _ { n + 1 } = S _ { n + 1 } - S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n + 1 } + n \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { n } + n - 1 \right) = \frac { 1 } { 2 } a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 2 } a _ { n } + \frac { 1 } { 2 }$, có $a _ { n } + a _ { n + 1 } = 1$. Từ $a _ { 1 } = S _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } a _ { 1 }$, ta có $a _ { 1 } = 0$, từ đó ta có $a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } 0 , n \text { 为奇数 } \\ 1 , n \text { 为偶数 } \end{array} \right.$, và tổng của 81 số đầu tiên trong dãy số $\left\{ n a _ { n } \right\}$ là $2 + 4 + 6 + \cdots + 80 = \frac { 40 \times ( 2 + 80 ) } { 2 } = 1640$.

Question 23: 24. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, với khoảng cách là ${ } _ { d }$ và $S _ { 1...

24. Trong dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, với khoảng cách là ${ } _ { d }$ và $S _ { 10 } = 4 S _ { 5 }$, thì $\frac { a _ { 1 } } { d }$ bằng

  • A. A. $\frac { 1 } { 4 }$
  • B. B. 8
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: Theo đề bài, có $10 a _ { 1 } + 45 d = 4 \left( 5 a _ { 1 } + 10 d \right)$, tức là $10 a _ { 1 } = 5 d$, do đó $\frac { a _ { 1 } } { d } = \frac { 1 } { 2 }$. Vì vậy, chọn C. [Điểm chính]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra công thức tính tổng $n$ số đầu tiên của dãy số cộng đều, sử dụng công thức tính tổng $n$ số đầu tiên của dãy số cộng đều để tính tỷ lệ. Đây là câu hỏi cơ bản, chỉ cần thay số vào công thức là có thể tính được kết quả.

Question 24: 25. Đã biết $S _ { n }$ là tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng đề...

25. Đã biết $S _ { n }$ là tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ số hạng đầu tiên của dãy số cộng đều $n$, và $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$, thì kết luận nào sau đây là sai?

  • A. A. $a _ { 4 } = 0$
  • B. B. $S _ { 4 } = S _ { 3 }$
  • C. C. $S _ { 7 } = 0$
  • D. D. $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số giảm dần

Answer: D

Solution: Phân tích đề thi: Giả sử dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$ có công thức $d$ . Từ $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ , ta có: $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = 3 a _ { 1 } + 3 d = 2 a _ { 1 }$ , ta có $a _ { 1 } = - 3 d$ . Sử dụng công thức chung và công thức tổng để xác định $A$ , B, C đúng hay sai. Do không thể xác định $d$ là dương hay âm, nên không thể xác định tính đơn điệu của dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ , từ đó có thể xác định D đúng hay sai. Giải thích chi tiết: Giả sử dãy số cộng $\left\{ a _ { n } \right\}$ có sai số là $d$ . Từ $S _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ , ta có: $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = 3 a _ { 1 } + 3 d = 2 a _ { 1 }$ , ta có $a _ { 1 } = - 3 d$ . Vậy $\mathrm { a } _ { 4 } = - 3 \mathrm {~d} + 3 \mathrm {~d} = 0 , \mathrm {~S} _ { 4 } = \mathrm { S } _ { 3 } , \mathrm {~S} _ { 7 } = \frac { 7 \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) } { 2 } = 7 \mathrm { a } _ { 4 } = 0$ , do đó A, B, C là đúng. Do không thể xác định d là dương hay âm, nên không thể xác định tính đơn điệu của dãy số $\left\{ \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } \right\}$ , do đó D là sai.

Question 25: 26. Đọc sơ đồ chương trình bên phải, nếu giá trị đầu vào của $n$ là 100, thì giá trị của các biến đầ...

26. Đọc sơ đồ chương trình bên phải, nếu giá trị đầu vào của $n$ là 100, thì giá trị của các biến đầu ra $S$ và $T$ lần lượt là ( ) ![](/images/questions/sequence/image-002.jpg)

  • A. A. 2450,2500
  • B. B. 2550, 2450
  • C. C. 2500, 2550
  • D. D. 2550, 2500

Answer: D

Solution: Sơ đồ khối thực thi mô phỏng, có thể nhận được $n = 100 , S = 0 , T = 0$ ; Không thỏa mãn điều kiện $_ { n < 2 } , S = 100 , n = 99 , T = 99 , n = 98$ ; Không thỏa mãn điều kiện $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 , n = 97 , T = 99 + 97 , n = 96$ ; Không thỏa mãn điều kiện $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + 96 , n = 95 , T = 99 + 97 + 95 , n = 94$ ; L không thỏa mãn điều kiện $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + \cdots + 4 , n = 3 , T = 99 + 97 + \cdots + 3 , n = 2$ ; Không thỏa mãn điều kiện $_ { n < 2 } , S = 100 + 98 + \cdots + 4 + 2 , n = 1 , T = 99 + 97 + \cdots + 3 + 1 , n = 0$ ; Thỏa mãn điều kiện ${ } _ { n < 2 }$ , thoát khỏi vòng lặp, xuất ra giá trị $S , T$ , do đó $S = 100 + 98 + 96 + \cdots + 2 = 2550$ , $T = 99 + 97 + \cdots + 1 = 2500$ .

Question 26: 27. Cho các mệnh đề sau, số mệnh đề đúng là ( ) (1) Tồn tại hai số thực khác nhau $\alpha , \beta$ s...

27. Cho các mệnh đề sau, số mệnh đề đúng là ( ) (1) Tồn tại hai số thực khác nhau $\alpha , \beta$ sao cho phương trình $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta$ đúng; (2) Nếu dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều, và $m + n = s + t , m , n , s , t \in N ^ { * }$ , thì $a _ { m } + a _ { n } = a _ { s } + a _ { t }$ ; (3) Nếu $S _ { n }$ là tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ số đầu tiên của dãy số $n$ và $S _ { n } = 3 \cdot 2 ^ { n } + A$ , thì $A = - 3$ ; (4) Biết rằng ba góc trong của $V A B C$ tương ứng với các cạnh $A , B , C$ là $a , b , c$ , nếu $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } > c ^ { 2 }$ , thì $V A B C -$ chắc chắn là tam giác nhọn; ( )

  • A. A. 1 cái
  • B. B. 2 cái
  • C. C. 3 cái
  • D. D. 4 cái

Answer: C

Solution: Đối với (1), khi $\alpha = 0 , \beta = \pi$, thì $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha + \sin \beta$, do đó đúng; Đối với (2), khi dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng, giả sử khoảng cách là $d$ , nếu $m + n = s + t$ , thì $a _ { m } + a _ { n } = a _ { 1 } + ( m - 1 ) d + a _ { 1 } + ( n - 1 ) d = 2 a _ { 1 } + ( m + n - 2 ) d$ , $a _ { s } + a _ { t } = a _ { 1 } + ( s - 1 ) d + a _ { 1 } + ( t - 1 ) d = 2 a _ { 1 } + ( s + t - 2 ) d$ do đó $a _ { m } + a _ { n } = a _ { s } + a _ { t }$ , đúng; Đối với (3), $a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = \left( 302 ^ { n } + A \right) - \left( 302 ^ { n - 1 } + A \right) = 302 ^ { n - 1 }$ , và $S _ { 1 } = 6 + A = a _ { 1 } = 3$ , do đó $A = - 3$ , đúng; Đối với (4), lấy ${ } ^ { a = 5 , b = 4 , c = 3 }$ , dễ thấy $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } > c ^ { 2 }$ , và tam giác là tam giác vuông, do đó sai.

Question 27: 28. Đã biết dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 4$, thì ...

28. Đã biết dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 4$, thì $a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } = ( )$

  • A. A. - 8
  • B. B. - 16
  • C. C. 8
  • D. D. 16

Answer: C

Solution: Từ tính chất của dãy số tỷ lệ, ta có $a _ { 3 } ^ { 2 } = a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 1 } a _ { 5 } = 4$, và ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$, do đó $a _ { 3 } = a _ { 1 } q ^ { 2 } > 0$, nên $a _ { 3 } = 2$, do đó $a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } = 4 \times 2 = 8$.

Question 28: 29. Dãy số đã biết $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { n } = 3 \times 2 ^ { n - 1 } , n \in...

29. Dãy số đã biết $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { n } = 3 \times 2 ^ { n - 1 } , n \in N ^ { * }$, hiện nay sắp xếp dãy số này thành ma trận số hình rắn theo quy luật trong hình dưới đây (hàng thứ $i$, có ${ } ^ { i }$ số, $i \in N ^ { * }$ ), từ trái sang phải hàng thứ $i$ số thứ ${ } ^ { j }$ được ghi là ${ } ^ { ~ } { } _ { ( i , j ) } \left( i , j \in N ^ { * } \right.$ và $\left. { } ^ { j \leq i } \right)$ , thì $a _ { ( 21,21 ) } =$ $a _ { 1 }$ $a _ { 2 } \quad a _ { 3 }$ $\begin{array} { l l l } a _ { 6 } & a _ { 5 } & a _ { 4 } \end{array}$ $\begin{array} { l l l l } a _ { 7 } & a _ { 8 } & a _ { 9 } & a _ { 10 } \end{array}$ $\begin{array} { l l l l l } a _ { 15 } & a _ { 14 } & a _ { 13 } & a _ { 12 } & a _ { 11 } \end{array}$ $\_\_\_\_$

  • A. A. $3 \times 2 ^ { 209 }$
  • B. B. $3 \times 2 ^ { 230 }$
  • C. C. $3 \times 2 ^ { 211 }$
  • D. D. $3 \times 2 ^ { 212 }$

Answer: B

Solution: Giải: Theo đề bài, dòng thứ ${ } _ { i }$ có ${ } _ { i }$ số, thì 21 dòng đầu tiên có tổng cộng $\frac { ( 1 + 21 ) \times 21 } { 2 } = 231$ số, $a _ { ( 21,21 ) }$ tương ứng với số cuối cùng của dòng thứ 21, tức là $a _ { 231 }$ , tức là $a _ { ( 21,21 ) } = a _ { 231 } = 3 \times 2 ^ { 230 }$ .

Question 29: 30. Đã biết dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cấp số nhân, nếu $a _ { 5 } - a _ { 3 } = ...

30. Đã biết dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cấp số nhân, nếu $a _ { 5 } - a _ { 3 } = 12 , a _ { 6 } - a _ { 4 } = 24$, thì $a _ { 2024 } =$.

  • A. A. $2 ^ { 2023 } - 1$
  • B. B. $2 ^ { 2023 }$
  • C. C. $2 ^ { 2024 } - 1$
  • D. D. $2 ^ { 2024 }$

Answer: B

Solution: Giả sử tỷ số chung của dãy số tỷ lệ là $q$, vì $a _ { 5 } - a _ { 3 } = 12 , a _ { 6 } - a _ { 4 } = 24$, nên từ $a _ { 6 } - a _ { 4 } = q \left( a _ { 5 } - a _ { 3 } \right)$, ta có $24 = 12 q$, nên $q = 2$, và $a _ { 1 } q ^ { 4 } - a _ { 1 } q ^ { 2 } = 12$ , tức là $a _ { 1 } \times 2 ^ { 4 } - a _ { 1 } \times 2 ^ { 2 } = 12$ , do đó ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$ , do đó ${ } _ { 2024 } = 1 \times 2 ^ { 2024 - 1 } = 2 ^ { 2023 }$ .

Question 30: 31. Cho dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, tổng $n$ của $S _ { n }$ số hạng đầu tiên là $...

31. Cho dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, tổng $n$ của $S _ { n }$ số hạng đầu tiên là $S _ { n }$, và $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 8 } = 6$, thì $S _ { 7 } =$

  • A. A. 28
  • B. B. 21
  • C. C. 16
  • D. D. 14

Answer: D

Solution: Vì $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 8 } = 3 a _ { 1 } + 9 d = 3 a _ { 4 } = 6$, nên $a _ { 4 } = 2 , S _ { 7 } = \frac { 7 \left( a _ { 1 } + a _ { 7 } \right) } { 2 } = 7 a _ { 4 } = 14$.

Question 31: 32. Cho biết $\left\{ a _ { n } \right\}$ là một dãy số tỷ lệ, và trung bình cộng của $a _ { 2 } \cd...

32. Cho biết $\left\{ a _ { n } \right\}$ là một dãy số tỷ lệ, và trung bình cộng của $a _ { 2 } \cdot a _ { 3 } = 2 a _ { 1 } , a _ { 4 }$ và $2 a _ { 7 }$ là $\frac { 5 } { 4 }$, thì $a _ { 5 } =$

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 31
  • D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer: A

Solution: Từ ${ } ^ { a _ { 2 } } \cdot a _ { 3 } = 2 a _ { 1 }$ ta có ${ } ^ { a _ { 1 } q ^ { 3 } = a _ { 4 } = 2 }$, lại từ $a _ { 4 } + 2 a _ { 7 } = 2 + 2 a _ { 7 } = \frac { 5 } { 2 }$ ta có $2 a _ { 1 } q ^ { 6 } = \frac { 1 } { 2 }$, (2) Từ (1) và (2) ta có $a _ { 1 } = 16 , q = \frac { 1 } { 2 } , \therefore a _ { 5 } = 16 \times \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } = 1$.

Question 32: 34. Các số trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ đều là số dương, và $a _ { 5 } a _ { 6 } ...

34. Các số trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ đều là số dương, và $a _ { 5 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 7 } = 6$, thì $\log _ { 3 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } \right) =$

  • A. A. 1
  • B. B. 5
  • C. C. 15
  • D. D. 30

Answer: B

Solution: Vì dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cấp số nhân, nên $a _ { 5 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 7 } = 2 a _ { 5 } a _ { 6 } = 6 , a _ { 5 } a _ { 6 } = 3$ , do đó $a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } = \left( a _ { 5 } a _ { 6 } \right) ^ { 5 } = 3 ^ { 5 }$ , do đó $\log _ { 3 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { 10 } \right) = \log _ { 3 } 3 ^ { 5 } = 5$ .

Question 33: 35. Đã biết tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ số đầu tiên của dãy số $n$ là $S _ { n } , a _ { 1...

35. Đã biết tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ số đầu tiên của dãy số $n$ là $S _ { n } , a _ { 1 } = 1 , a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } a _ { n - 1 } + 1 , n = 2 k \\ 2 a _ { n - 1 } + 1 , n = 2 k + 1 \end{array} \left( k \in \mathrm {~N} ^ { * } \right) \right.$. Vậy, trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào là đúng?

  • A. A. $a _ { 6 } = 16$
  • B. B. Dãy số $\left\{ a _ { 2 k } + 3 \right\} \left( k \in \mathrm {~N} ^ { * } \right)$ là dãy số có công thức chung là 2.
  • C. C. Đối với bất kỳ $k \in \mathrm {~N} ^ { * } , a _ { 2 k } = 2 ^ { k + 1 } - 3$ nào
  • D. D. Giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $S _ { n } > 1000$ là 15.

Answer: D

Solution: Theo đề bài, $a _ { 2 k } - a _ { 2 k - 1 } = 1 , a _ { 2 k + 1 } - 2 a _ { 2 k } = 1$, từ ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 } , ~ a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1$, ta có $a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 = 2$, và $a _ { 2 k + 2 } - a _ { 2 k + 1 } = 1$, thì $a _ { 2 k + 2 } - 2 a _ { 2 k } = 2$ , tức là $a _ { 2 k + 2 } + 2 = 2 \left( a _ { 2 k } + 2 \right)$ , và $a _ { 2 } + 2 = 4 \neq 0$ , do đó dãy số $\left\{ a _ { 2 k } + 2 \right\}$ là dãy số tỷ lệ, $a _ { 2 k } + 2 = 4 \times 2 ^ { k - 1 }$ , tức là $a _ { 2 k } = 2 ^ { k + 1 } - 2 , a _ { 6 } = 16 - 2 = 14$ , AC sai ; Đối với B, $a _ { 2 k } + 3 = 2 ^ { k + 1 } + 1 , \frac { a _ { 2 k + 2 } + 3 } { a _ { 2 k } + 3 } = \frac { 2 ^ { k + 2 } + 1 } { 2 ^ { k + 1 } + 1 }$ không phải là hằng số, dãy số $\left\{ a _ { 2 k } + 3 \right\}$ không phải là dãy số tỷ lệ, B sai; Đối với D, $a _ { 2 k - 1 } = a _ { 2 k } - 1 = 2 ^ { k + 1 } - 3$ , các số trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ đều là số dương, do đó dãy số $\left\{ S _ { n } \right\}$ là dãy số tăng dần, $S _ { 14 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 14 } = a _ { 1 } + \left( a _ { 1 } + 1 \right) + a _ { 3 } + \left( a _ { 3 } + 1 \right) + \cdots + a _ { 13 } + \left( a _ { 13 } + 1 \right)$ $= 2 \left( a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + a _ { 7 } + a _ { 9 } + a _ { 11 } + a _ { 13 } \right) + 7 = 2 \times \left( 2 ^ { 2 } - 3 + 2 ^ { 3 } - 3 + \cdots + 2 ^ { 8 } - 3 \right) + 7 = 981$ $S _ { 15 } = S _ { 14 } + a _ { 15 } = 981 + 509 = 1490 > 1000$ , do đó giá trị của số nguyên dương nhỏ nhất $n$ của ${ } ^ { S _ { n } > 1000 }$ là 15 , D đúng.

Question 34: 36. Cho dãy số cấp số cộng $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn điều kiện $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } ...

36. Cho dãy số cấp số cộng $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn điều kiện $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } = a _ { 2 }$, nếu trong dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ có hai số hạng $a _ { m } , a _ { n }$ có số hạng giữa cấp số là $\frac { a _ { 1 } } { 4 }$, thì giá trị nhỏ nhất của $\frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n }$ là ( )

  • A. A. $\frac { 3 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 5 } { 3 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $\frac { 13 } { 6 }$

Answer: A

Solution: Vì $2 a _ { 4 } + a _ { 3 } = a _ { 2 }$, giả sử dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$ có số hạng đầu tiên là ${ } ^ { a _ { 1 } }$ và tỷ lệ chung là $q$, thì $2 a _ { 1 } \cdot q ^ { 3 } + a _ { 1 } \cdot q ^ { 2 } = a _ { 1 } \cdot q$ , nên $2 q ^ { 2 } + q = 1$ , giải được : $q = - 1$ (bỏ qua) hoặc $q = \frac { 1 } { 2 }$ , và vì $\frac { a _ { 1 } } { 4 }$ là $a _ { m }$ , $a _ { n }$ là số trung bình của tỷ lệ, nên $\left( \frac { a _ { 1 } } { 4 } \right) ^ { 2 } = a _ { m } \cdot a _ { n }$ , thì $a _ { 1 } ^ { 2 } = 16 a _ { 1 } \cdot q ^ { m - 1 } \cdot a _ { 1 } \cdot q ^ { n - 1 }$ , nên $\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { m + n - 2 } = \frac { 1 } { 16 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 }$ , tức là $m + n = 6$ , nên $\frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { 1 } { 6 } ( m + n ) \times \left( \frac { 4 } { m } + \frac { 1 } { n } \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( 4 + \frac { m } { n } + \frac { 4 n } { m } + 1 \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( 5 + \frac { m } { n } + \frac { 4 n } { m } \right)$ $\geq \frac { 1 } { 6 } \left( 5 + 2 \sqrt { \frac { m } { n } \cdot \frac { 4 n } { m } } \right) = \frac { 3 } { 2 }$ , khi và chỉ khi $\frac { m } { n } = \frac { 4 n } { m }$ , tức là $n = 2 , m = 4$ thì bằng nhau.

Question 35: 37. Cho dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, các số hạng đầu tiên $n$ và $S _ { n }$, và $S...

37. Cho dãy số cộng đều $\left\{ a _ { n } \right\}$, các số hạng đầu tiên $n$ và $S _ { n }$, và $S _ { 25 } = 100$, thì $a _ { 12 } + a _ { 14 } =$.

  • A. A. 16
  • B. B. 8
  • C. C. 4
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: Vì $S _ { 25 } = \frac { 25 } { 2 } \left( a _ { 1 } + a _ { 25 } \right) = 25 a _ { 13 } = 100$ , $\therefore a _ { 13 } = 4$ $\therefore a _ { 12 } + a _ { 14 } = 2 a _ { 13 } = 8$ , nên chọn B. [Điểm nhấn]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra tính chất của dãy số cộng đều và ứng dụng của công thức tổng $n$ số đầu tiên, thuộc loại câu hỏi trung bình. Khi giải các câu hỏi liên quan đến dãy số cộng đều, cần chú ý ứng dụng tính chất của dãy số cộng đều $a _ { p } + a _ { q } = a _ { m } + a _ { n } = 2 a _ { r } \quad ( p + q = m + n = 2 r )$ và mối quan hệ với tổng $n$ số đầu tiên.

Question 36: 38. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, đã biết $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a ...

38. Trong dãy số tỷ lệ $\left\{ a _ { n } \right\}$, đã biết $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = 20 , a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 10$, thì tổng 16 số đầu tiên của dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ và $S _ { 16 }$ là

  • A. A. 20
  • B. B. $\frac { 75 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 125 } { 2 }$
  • D. D. $- \frac { 75 } { 2 }$

Answer: B

Solution: Phân tích đề thi: Theo ý nghĩa của đề, $S _ { 4 } = 20 , S _ { 8 } - S _ { 4 } = 10$ , thì $\frac { S _ { 8 } - S _ { 4 } } { S _ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 }$ , dựa trên tính chất của dãy số tỷ lệ có thể thấy $S _ { 4 } , S _ { 8 } - S _ { 4 } , S _ { 12 } - S _ { 8 } , S _ { 16 } - S _ { 12 }$ tạo thành dãy số tỷ lệ với tỷ số chung là $\frac { 1 } { 2 }$ , $S _ { 4 } = 20 , S _ { 8 } - S _ { 4 } = 10 , S _ { 12 } - S _ { 8 } = 5 , S _ { 16 } - S _ { 12 } = \frac { 5 } { 2 }$ , và $S _ { 8 } = 30 , S _ { 12 } = 35 , S _ { 16 } = \frac { 75 } { 2 }$ , do đó chọn B . Điểm kiểm tra: Tính chất của dãy số tỷ lệ.

Question 37: 39. Nếu dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều, $\left\{ b _ { n } \right\}$ là dãy ...

39. Nếu dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là dãy số cộng đều, $\left\{ b _ { n } \right\}$ là dãy số nhân đều, và thỏa mãn: $a _ { 1 } + a _ { 2019 } = \pi , b _ { 1 } \cdot b _ { 2019 } = 2$, hàm $f ( x ) = \sin x$, thì $f \left( \frac { a _ { 1009 } + a _ { 1011 } } { 1 + b _ { 1009 } b _ { 1011 } } \right) =$

  • A. A. $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • D. D. $- \frac { 1 } { 2 }$

Answer: C

Solution: Dựa trên tính chất của dãy số cộng đều, ta có $a _ { 1 } + a _ { 2019 } = a _ { 1009 } + a _ { 1011 } = \pi$; dựa trên tính chất của dãy số nhân đều, ta có $b _ { 1 } \cdot b _ { 2019 } = b _ { 1009 } \cdot b _ { 1011 } = 2 ; f \left( \frac { a _ { 1009 } + a _ { 1011 } } { 1 + b _ { 1009 } b _ { 1011 } } \right) = f \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$. Do đó, đáp án đúng là C. [Điểm nhấn]Câu hỏi này kiểm tra việc áp dụng tính chất của dãy số tỷ lệ và dãy số cộng, là câu hỏi tính toán cơ bản. Đối với các câu hỏi nhỏ về dãy số tỷ lệ và dãy số cộng, phương pháp thường được sử dụng là chuyển thành đại lượng cơ bản, tức là số đầu tiên và tỷ lệ chung hoặc sai số chung, phương pháp thứ hai là quan sát mối quan hệ giữa các số, tức là sử dụng tính chất cơ bản của dãy số.

Question 38: 40. Dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi...

40. Dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ thỏa mãn $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi } { 2 } \right| - 1 \right) a _ { n } + n , n \in \mathrm {~N} ^ { * }$, thì tổng 20 số đầu tiên của dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là "Bài tập Toán lớp 12 ngày 29 tháng 10 năm 2025".

  • A. A. 100
  • B. B. 110
  • C. C. 160
  • D. D. 200

Answer: B

Solution: Giải: Từ $a _ { n + 1 } = \left( 2 \left| \sin \frac { n \pi } { 2 } \right| - 1 \right) a _ { n } + n$, ta có: $a _ { 1 } = a _ { 1 } , a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 , a _ { 3 } = - a _ { 2 } + 2 = - a _ { 1 } + 1 , a _ { 4 } = a _ { 3 } + 3 = - a _ { 1 } + 4$, $\therefore ^ { a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = 6 }$. Tương tự, ta tìm được $a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 14 , a _ { 9 } + a _ { 10 } + a _ { 11 } + a _ { 12 } = 22$. $\therefore$ Dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ 20 số đầu tiên thỏa mãn $S _ { 4 } , S _ { 8 } - S _ { 4 } , S _ { 12 } - S _ { 8 } , \cdots$ là dãy số cộng với số đầu tiên là 6, số chênh lệch là 8, thì tổng 20 số đầu tiên của dãy số $\left\{ a _ { n } \right\}$ là $S = 5 \times 6 + \frac { 5 \times 4 } { 2 } \times 8 = 110$ .
Quay lại danh sách

Sequence

数列

38 Câu hỏi luyện tập

Luyện tập với đề tiếng Trung để chuẩn bị cho kỳ thi CSCA. Bạn có thể bật/tắt bản dịch trong khi luyện tập.

Tổng quan chủ đề

Dãy số là một chuỗi các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định trong toán học, chủ yếu bao gồm dãy số cộng và dãy số nhân. Trong kỳ thi CSCA, các câu hỏi về dãy số thường liên quan đến công thức tổng quát, tính tổng n số đầu tiên, cũng như ứng dụng các tính chất của dãy số trong các bài toán hình học và đại số. Việc nắm vững các công thức cơ bản và áp dụng linh hoạt là chìa khóa để giải quyết các bài toán.

Số câu hỏi:38

Điểm chính

  • 1Công thức chung và công thức tổng của dãy số đều
  • 2Công thức tổng quát và công thức tổng của dãy số tỷ lệ
  • 3Tính trung bình số học và trung bình số học
  • 4Ứng dụng tổng hợp của dãy số và các kiến thức khác (ví dụ: đường cong hình nón)

Mẹo học tập

Nên ghi nhớ các công thức cơ bản của dãy số đều và dãy số tỷ lệ, đồng thời thông qua các bài tập để nắm vững tính chất của số giữa và cách giải các bài toán tổng hợp liên quan đến nhiều kiến thức.

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Bộ đề thi thử đầy đủ theo đề cương chính thức, tổng hợp nhiều chủ đề như thi thật

Nhận đề thi thử →

Không có thẻ tín dụng? Email cho chúng tôi: kaiguo370@gmail.com

Tài liệu học tập liên quan

Hướng dẫn Toán
Tài liệu chuẩn bị thi đầy đủ
Thuật ngữ Toán
Ôn tập thuật ngữ và khái niệm liên quan

Khám phá bài tập các môn khác:

Luyện Vật lýLuyện Hóa học