Probability and Statistics

Question 1

Question 1: 1. Để phát huy tinh thần "Ngày 4 tháng 5", trường đã tổ chức một cuộc thi thuyết trình. Sau khi phân...

1. Để phát huy tinh thần "Ngày 4 tháng 5", trường đã tổ chức một cuộc thi thuyết trình. Sau khi phân tích dữ liệu lớn, người ta phát hiện ra rằng kết quả của cuộc thi này tuân theo ${ } ^ { N ( 70,64 ) }$. Dựa trên đó, ước tính tỷ lệ phần trăm học sinh có điểm thi không dưới 86 là ( ). Dữ liệu tham khảo: $P ( \mu - \sigma < X < \mu + \sigma ) \approx 0.6827 , ~ P ( \mu - 2 \sigma < X < \mu + 2 \sigma ) \approx 0.9545$, $P ( \mu - 3 \sigma < X < \mu + 3 \sigma ) \approx 0.9973$.

A. A. $0.135 \%$
B. B. $0.27 \%$
C. C. $2.275 \%$
D. D. $3.173 \%$

Answer

Answer: C

Solution: Theo đề bài, $\mu = 70 , \sigma = \sqrt { 64 } = 8$ , và $86 = \mu + 2 \sigma$ , do đó tỷ lệ phần trăm học sinh có điểm thi không nhỏ hơn 86 là: $P ( X \geq 86 ) = P ( X \geq \mu + 2 \sigma ) = \frac { 1 - 0.9545 } { 2 } \times 100 \% = 2.275 \%$

Question 2

Question 2: 2. Khi Zhang Ming và Li Hua chơi trò chơi, quy tắc nào sau đây là không công bằng? ( )

2. Khi Zhang Ming và Li Hua chơi trò chơi, quy tắc nào sau đây là không công bằng? ( )

A. A. Ném một con xúc xắc có chất lượng đồng đều, nếu số điểm hiển thị là số lẻ thì Zhang Ming thắng, nếu số điểm hiển thị là số chẵn thì Li Hua thắng.
B. B. Đồng thời tung hai đồng xu có chất liệu đồng đều, nếu một đồng xu ngửa lên thì Zhang Ming thắng, nếu cả hai đồng xu đều ngửa lên thì Li Hua thắng.
C. C. Từ một bộ bài không có quân Át và quân Vua, rút một lá bài. Nếu lá bài màu đỏ, Zhang Ming thắng; nếu lá bài màu đen, Li Hua thắng.
D. D. Zhang Ming và Li Hua mỗi người viết một số 0 hoặc 1. Nếu hai người viết cùng một số, Zhang Ming thắng; nếu không, Li Hua thắng.

Answer

Answer: B

Solution: Giải: Zhang Ming và Li Hua chơi trò chơi. Trong trường hợp A, họ tung một con xúc xắc. Nếu số điểm hiển thị là số lẻ, Zhang Ming thắng; nếu số điểm hiển thị là số chẵn, Li Hua thắng. Xác suất Zhang Ming thắng và Li Hua thắng đều là $p = \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 }$, do đó trò chơi trong trường hợp A là công bằng. Trong B, họ cùng ném hai đồng xu, nếu một đồng xu ngửa lên thì Zhang Ming thắng, nếu cả hai đồng xu ngửa lên thì Li Hua thắng, xác suất Zhang Ming thắng là $p _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ , xác suất Li Hua thắng là $\mathrm { p } _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 }$ , do đó trò chơi trong B là không công bằng; Trong C, rút một lá bài từ bộ bài không có quân át và quân vua, nếu lá bài màu đỏ thì Zhang Ming thắng, nếu lá bài màu đen thì Li Hua thắng, xác suất Zhang Ming thắng và Li Hua thắng đều là $p = \frac { 26 } { 52 } = \frac { 1 } { 2 }$ , do đó trò chơi trong C là công bằng; Trong D, Zhang Ming và Li Hua mỗi người viết một số 0 hoặc 1, nếu hai người viết cùng một số thì Zhang Ming thắng, nếu không thì Li Hua thắng. Xác suất Zhang Ming thắng và Li Hua thắng đều là $p = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$ , do đó trò chơi trong D là công bằng.

Question 3

Question 3: 3. A và B chơi một trò chơi truyền bài. Trong mỗi lượt, cả hai cùng ngẫu nhiên chọn một lá bài từ bộ...

3. A và B chơi một trò chơi truyền bài. Trong mỗi lượt, cả hai cùng ngẫu nhiên chọn một lá bài từ bộ bài của mình để truyền cho đối phương. Khi bắt đầu trò chơi, hai lá bài trong tay A có số lần lượt là 1 và 3, hai lá bài trong tay B có số lần lượt là 2 và 4. Vậy sau một lượt, xác suất tổng số điểm của hai lá bài trong tay A lớn hơn tổng số điểm của hai lá bài trong tay B là ( ).

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 3 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: Hai lá bài trong tay A được biểu diễn bằng $\{ 1,3 \}$, hai lá bài trong tay B được biểu diễn bằng $\{ 2,4 \}$. Sau một vòng chơi, hai lá bài trong tay A và B lần lượt là: (1) $\{ 2,3 \} , \{ 1,4 \}$; (2) $\{ 4,3 \} , \{ 21 \}$ ; (3) $\{ 1,2 \} , \{ 3,4 \}$ : (4) $\{ 1,4 \} , \{ 2,3 \}$ Tổng cộng có 4 trường hợp, trong đó có một trường hợp tổng số điểm của hai lá bài trong tay A lớn hơn tổng số điểm của hai lá bài trong tay B, do đó xác suất tổng số điểm của hai lá bài trong tay A lớn hơn tổng số điểm của hai lá bài trong tay B là $\frac { 1 } { 4 }$ .

Question 4

Question 4: 4. Phương pháp sử dụng mô phỏng ngẫu nhiên để giải quyết vấn đề được gọi là phương pháp Monte Carlo....

4. Phương pháp sử dụng mô phỏng ngẫu nhiên để giải quyết vấn đề được gọi là phương pháp Monte Carlo. Phương pháp này cho phép thực hiện nhanh chóng một lượng lớn các thử nghiệm lặp lại, từ đó ước tính xác suất dựa trên tần suất. Hai vận động viên A và B thi đấu theo thể thức ba ván thắng hai, với xác suất A thắng mỗi ván là 0,4 và xác suất B thắng là 0,6. Sử dụng máy tính để tạo ra các số nguyên ngẫu nhiên trong khoảng $1 \sim 5$, quy định rằng khi xuất hiện số ngẫu nhiên 1 hoặc 2 thì A thắng một ván. Vì phải thi đấu 3 ván, nên 3 số ngẫu nhiên là một nhóm, hiện đã tạo ra 20 nhóm số ngẫu nhiên như sau: $\begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } 354 & 151 & 314 & 432 & 125 & 334 & 541 & 112 & 443 & 534 & 312 & 324 & 252 & 525 & 453 & 114 & 344 \end{array}$ 423 123243, theo đó có thể ước tính xác suất A cuối cùng thắng trận là ().

A. A. 0.40
B. B. 0.35
C. C. 0.30
D. D. 0.25

Answer

Answer: B

Solution: Theo đề bài, trong 20 nhóm số ngẫu nhiên, có 7 trường hợp biểu thị A thắng: $151,125,112,312,252$ , 114, 123. Do đó, có thể ước tính xác suất A thắng cuối cùng là $\frac { 7 } { 20 } = 0.35$ .

Question 5

Question 5: 5. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên $X$ được thể hiện trong bảng bên phải, thì giá trị kỳ vọng toán...

5. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên $X$ được thể hiện trong bảng bên phải, thì giá trị kỳ vọng toán học $X$ của $E ( X )$ là ( ) | $X$ | -1 | 0 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $P$ | $\frac { 1 } { 4 }$ | $\frac { 1 } { 2 }$ | $\frac { 1 } { 4 }$ |

A. A. 0
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. 1

Answer

Answer: A

Solution: $E ( X ) = - 1 \times \frac { 1 } { 4 } + 0 \times \frac { 1 } { 2 } + 1 \times \frac { 1 } { 4 } = 0$

Question 6

Question 6: 6. Một cầu thủ bóng rổ có xác suất không ghi điểm mỗi lần ném bóng là 0,3, xác suất ghi 2 điểm là 0,...

6. Một cầu thủ bóng rổ có xác suất không ghi điểm mỗi lần ném bóng là 0,3, xác suất ghi 2 điểm là 0,4, và xác suất ghi 3 điểm là 0,3. Vậy, giá trị kỳ vọng toán học của số điểm ghi được mỗi lần ném bóng của cầu thủ này là

A. A. 1.5
B. B. 1.6
C. C. 1.7
D. D. 1.8

Answer

Answer: C

Question 7

Question 7: 7. Thống kê tình trạng đi làm muộn của nhân viên doanh nghiệp nhà nước ở hai địa điểm $A , B$ cho th...

7. Thống kê tình trạng đi làm muộn của nhân viên doanh nghiệp nhà nước ở hai địa điểm $A , B$ cho thấy thời gian đi làm muộn của nhân viên doanh nghiệp nhà nước ở hai địa điểm này đều phù hợp với phân phối chuẩn, trong đó thời gian đi làm muộn của nhân viên ở địa điểm $A$ là $X$ (đơn vị: $\min ) , \quad X \sim N ( 3,4 )$ , đường cong tương ứng đường cong tương ứng là $C _ { 1 } , B$ Thời gian đi làm muộn của nhân viên ở địa phương $Y$ là $Y$ (đơn vị: $\min$), $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$, đường cong tương ứng là $C _ { 2 }$, thì hình ảnh sau đây là chính xác ( )

A. A. ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)
B. B. ![](/images/questions/probability-statistics/image-002.jpg)
C. C. ![](/images/questions/probability-statistics/image-003.jpg)
D. D. ![](/images/questions/probability-statistics/image-004.jpg)

Answer

Answer: D

Solution: Từ $X \sim N ( 3,4 )$ có thể thấy $\mu _ { 1 } = 3 , \sigma _ { 1 } = 2$, từ $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$ có thể thấy $\mu _ { 2 } = 2 , \sigma _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 }$, do ${ } ^ { \mu _ { 1 } > \mu _ { 2 } }$ , nên trục đối xứng của đường cong ${ } ^ { C _ { 1 } }$ phải nằm ở phía bên phải của đường cong ${ } ^ { C _ { 2 } }$ , loại trừ hai phương án A và B; Vì ${ } ^ { \sigma _ { 1 } > \sigma _ { 2 } }$ , nên đường cong ${ } ^ { C _ { 1 } }$ "thấp và béo" hơn đường cong ${ } ^ { C _ { 2 } }$ , phân bố tổng thể tương đối phân tán, loại trừ phương án C.

Question 8

Question 8: 8. Biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ thỏa mãn $Y = 2 X + 1$, nếu $D ( X ) = 2$, thì $D ( Y ) =$.

8. Biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ thỏa mãn $Y = 2 X + 1$, nếu $D ( X ) = 2$, thì $D ( Y ) =$.

A. A. 8
B. B. 5
C. C. 4
D. D. 2

Answer

Answer: A

Question 9

Question 9: 9. Khi tung hai con xúc xắc có chất lượng đồng đều (được đánh số (1) và (2)), xác suất xảy ra sự kiệ...

9. Khi tung hai con xúc xắc có chất lượng đồng đều (được đánh số (1) và (2)), xác suất xảy ra sự kiện "số điểm của con xúc xắc số (1) lớn hơn số điểm của con xúc xắc số (2)" là

A. A. $\frac { 5 } { 12 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 6 }$
D. D. $\frac { 5 } { 9 }$

Answer

Answer: A

Solution: Quăng hai viên xúc xắc có chất lượng đồng đều, tổng số điểm của hai viên xúc xắc có $6 \times 6 = 36$ trường hợp. Giả sử điểm của viên xúc xắc số (1) là $a$ , điểm của xúc xắc số (2) là $b$ , thì sự kiện ngẫu nhiên "điểm của xúc xắc số (1) lớn hơn điểm của xúc xắc số (2)" bao gồm các sự kiện cơ bản sau: $( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 5,1 ) ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , ( 6,1 ) , ( 6,2 ) , ( 6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 )$ có tổng cộng 15 trường hợp, do đó xác suất cần tìm là $\frac { 15 } { 36 } = \frac { 5 } { 12 }$ .

Question 10

Question 10: 10. Trong túi có một quả bóng đỏ và một quả bóng đen có kích thước và hình dạng giống nhau. Hiện tại...

10. Trong túi có một quả bóng đỏ và một quả bóng đen có kích thước và hình dạng giống nhau. Hiện tại, chúng được đặt lại vào túi và rút ngẫu nhiên 3 lần, mỗi lần rút một quả bóng. Nếu rút được quả bóng đỏ thì được 2 điểm, rút được quả bóng đen thì được 1 điểm. Xác suất tổng điểm của 3 lần rút bóng là 5 điểm là .

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 3 } { 8 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 5 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: Chạm 3 lần, có tổng cộng $n = 2 ^ { 3 } = 8$ loại sự kiện cơ bản. Trường hợp tổng điểm là 5 điểm là khi chạm 2 lần vào quả bóng đỏ và 1 lần vào quả bóng đen, có tổng cộng 3 loại. Do đó, xác suất tổng điểm là 5 điểm khi chạm 3 lần là $P = \frac { 3 } { 8 }$.

Question 11

Question 11: 11. Từ 5 nam sinh và 4 nữ sinh, chọn 2 người tham gia cuộc thi hát, xác suất chọn được 1 nam và 1 nữ...

11. Từ 5 nam sinh và 4 nữ sinh, chọn 2 người tham gia cuộc thi hát, xác suất chọn được 1 nam và 1 nữ là

A. A. $\frac { 4 } { 9 }$
B. B. $\frac { 5 } { 9 }$
C. C. $\frac { 6 } { 9 }$
D. D. $\frac { 7 } { 9 }$

Answer

Answer: B

Question 12

Question 12: 12. Trong một cái lồng có 3 con thỏ trắng và 2 con thỏ xám. Giả sử mỗi con thỏ có xác suất thoát ra ...

12. Trong một cái lồng có 3 con thỏ trắng và 2 con thỏ xám. Giả sử mỗi con thỏ có xác suất thoát ra khỏi lồng như nhau, thì xác suất một trong hai con thỏ thoát ra khỏi lồng trước là thỏ trắng và con còn lại là thỏ xám là

A. A. $\frac { 3 } { 5 }$
B. B. $\frac { 4 } { 5 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: Giả sử có ${ } ^ { 3 }$ con thỏ trắng và ${ } ^ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } } , 2$ con thỏ xám, thì tất cả các sự kiện cơ bản là: $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right)$ , $\left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right)$ , tổng cộng có ${ } ^ { 10 }$ , trong đó một trong hai con thỏ chạy ra khỏi lồng trước là thỏ trắng, con còn lại là thỏ xám: $\left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right)$ , $\left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right)$, tổng cộng 6 trường hợp, do đó xác suất của sự kiện cần tìm là: $\frac { 6 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$ .

Question 13

Question 13: 13. Tung một đồng xu có chất liệu đồng nhất $n$ lần, ghi nhận sự kiện $A =$ "$n$ lần có cả mặt ngửa ...

13. Tung một đồng xu có chất liệu đồng nhất $n$ lần, ghi nhận sự kiện $A =$ "$n$ lần có cả mặt ngửa và mặt úp", sự kiện $B =$ "$n$ lần có nhiều nhất một lần mặt ngửa", thì

A. A. Khi $n = 2$, $P ( A \bar { B } ) = \frac { 1 } { 2 }$
B. B. Khi $n = 2 ^ { \text {时,事件 } } { } _ { A }$ và sự kiện ${ } _ { B }$ độc lập
C. C. Khi $n = 3$, $P ( A + B ) = \frac { 7 } { 8 }$
D. D. Khi $n = 3 ^ { \text {时,事件 } } { } _ { A }$ và sự kiện ${ } _ { B }$ là tương phản.

Answer

Answer: C

Solution: Khi ${ } ^ { n = 2 }$, không gian mẫu ${ } ^ { \Omega _ { 2 } } = \{$ (chính chính), (chính ngược), (ngược chính), (ngược ngược) $\} , A = \{$ (chính ngược), (ngược) $\}$ , $B = \left\{ \right.$ (chính ngược), (ngược), (ngược ngược) ${ } ^ { \} }$ , Đối với $\mathrm { A } , ~ \bar { B }$ là 2 lần mặt trước đều hướng lên, $A \bar { B }$ là sự kiện không thể xảy ra, $P ( A \bar { B } ) = 0$ , A sai; Đối với B, $P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } , P ( B ) = \frac { 3 } { 4 }$ , thì $P ( A B ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \neq P ( A ) P ( B )$ , B sai; Khi ${ } ^ { n = 3 }$, không gian mẫu ${ } ^ { \Omega _ { 3 } } = \{$ (chính chính chính), (chính chính ngược), (chính ngược chính), (ngược chính), (chính ngược ngược), (ngược chính ngược), (ngược chính ngược), (ngược ngược ngược) ${ } ^ { \text {S } }$, $A = \left\{ \right.$ (chính chính ngược), (chính ngược), (ngược chính), (chính ngược), (ngược ngược), (ngược chính) ${ } ^ { \} }$, $B = \left\{ \begin{array} { l } \text {(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)} \\ \text { } \} , \\ \text { ,} \end{array} \right.$ Đối với C, $P ( \overline { A + B } ) = \frac { 1 } { 8 }$ , thì $P ( A + B ) = 1 - P ( \overline { A + B } ) = \frac { 7 } { 8 }$ , C đúng; Đối với D , sự kiện $A$ và sự kiện $B$ có thể xảy ra đồng thời, D sai.

Question 14

Question 14: 14. Từ một bộ bài 52 lá không có quân Át và quân 2, rút 3 lần mà không trả lại, mỗi lần rút 1 lá. Nế...

14. Từ một bộ bài 52 lá không có quân Át và quân 2, rút 3 lần mà không trả lại, mỗi lần rút 1 lá. Nếu hai lần đầu rút được $K$, thì xác suất rút được $A$ ở lần thứ ba là .

A. A. $\frac { 1 } { 25 }$
B. B. $\frac { 2 } { 25 }$
C. C. $\frac { 3 } { 25 }$
D. D. $\frac { 3 } { 50 }$

Answer

Answer: B

Question 15

Question 15: 15. Từ bốn số 1, 2, 3, 4, chọn ngẫu nhiên hai số theo thứ tự, thì xác suất một số là gấp đôi số kia ...

15. Từ bốn số 1, 2, 3, 4, chọn ngẫu nhiên hai số theo thứ tự, thì xác suất một số là gấp đôi số kia là .

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 9 }$
D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: Từ bốn số $1,2,3,4$, chọn ngẫu nhiên hai số, có ${ } ^ { C _ { 4 } ^ { 2 } }$ cách, trong đó chỉ có 1, 2; 2, 4 là hai số có một số gấp đôi số kia. Có hai cách chọn. Do đó, xác suất một số gấp đôi số kia là $\frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$.

Question 16

Question 16: 16. Câu nào sau đây là đúng?

16. Câu nào sau đây là đúng?

A. A. Một trường trung học muốn tìm hiểu ý định tham gia một hoạt động thực hành xã hội của học sinh trong trường, dự định sử dụng phương pháp lấy mẫu phân tầng để chọn ra một mẫu có dung lượng 60 từ học sinh của ba khối lớp trong trường. Biết tỷ lệ số học sinh của khối 10, 11 và 12 trong trường là $5 : 4 : 3$, thì cần chọn ra 14 học sinh từ khối 12.
B. B. Trong 10 sản phẩm, có 8 sản phẩm chính hãng và 2 sản phẩm kém chất lượng. Nếu chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm này, xác suất chọn được 1 sản phẩm kém chất lượng là $\frac { 1 } { 3 }$.
C. C. Nếu biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn ${ } ^ { N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right) } , P ( X < 5 ) = 0.86$, thì $P ( X \leq - 1 ) = 0.14$
D. D. Giả sử trọng lượng của nam sinh viên trường ${ } ^ { y }$ (đơn vị: kg) và chiều cao $x$ (đơn vị: cm) có mối quan hệ tuyến tính, dựa trên một tập hợp dữ liệu mẫu $\left( x _ { i } , y _ { i } \right) ( i = 1,2 , \cdots , n )$, phương trình hồi quy được thiết lập bằng phương pháp bình phương tối thiểu là $\hat { y } = 0.85 x - 82$, nếu chiều cao của một nam sinh viên trường này là 170 cm, thì có thể xác định trọng lượng của em là 62,5 kg.

Answer

Answer: C

Solution: Đối với A. Nên chọn $60 \times \frac { 3 } { 12 } = 15$ học sinh từ lớp 12, A sai; Đối với B. Xác suất cần tìm $P = \frac { C _ { 8 } ^ { 1 } C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 10 } ^ { 2 } } = \frac { 16 } { 45 } , \mathrm {~B}$ sai; Đối với C, $P ( X \geq 5 ) = 1 - 0.86 = 0.14$ , nên $P ( X \leq - 1 ) = P ( X \geq 5 ) = 0.14$ , C đúng; Đối với D, sử dụng phương trình hồi quy để tính toán là giá trị ước tính, do đó không thể kết luận rằng cân nặng của em là 62,5 kg, D sai.

Question 17

Question 17: 17. Biến ngẫu nhiên $X \sim B ( n , p )$, nếu $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$, thì $P ( ...

17. Biến ngẫu nhiên $X \sim B ( n , p )$, nếu $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$, thì $P ( X = 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 16 }$
B. B. $\frac { 3 } { 64 }$
C. C. $\frac { 1 } { 64 }$
D. D. $\frac { 3 } { 256 }$

Answer

Answer: B

Solution: Vì $X \sim B ( n , p )$, nên $E ( X ) = n p = 1 , D ( X ) = n p ( 1 - p ) = \frac { 3 } { 4 }$, giải được $p = \frac { 1 } { 4 } , n = 4$, nên $P ( X = 3 ) = \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 1 } = \frac { 3 } { 64 }$.

Question 18

Question 18: 18. Trong một túi không trong suốt có 2 quả bóng đỏ và 3 quả bóng trắng, chúng giống nhau về mọi mặt...

18. Trong một túi không trong suốt có 2 quả bóng đỏ và 3 quả bóng trắng, chúng giống nhau về mọi mặt trừ màu sắc. Nếu lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng ra, thì xác suất cả 2 quả bóng đều là bóng trắng là

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 10 }$
C. C. $\frac { 1 } { 5 }$
D. D. $\frac { 2 } { 5 }$

Answer

Answer: A

Solution: Ghi 2 quả bóng đỏ lần lượt là $a , b$ và 3 quả bóng trắng lần lượt là $A , B , C$. Khi rút ngẫu nhiên 2 quả bóng, tất cả các sự kiện cơ bản là: $a b , a A , a B , a C , b A , b B , b C , A B , A C , B C$, tổng cộng 10 loại. Trong đó, sự kiện " "Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng đều là bóng trắng" bao gồm các sự kiện cơ bản: $A B , A C , B C$ , tổng cộng 3 loại, do đó, xác suất của sự kiện cần tìm là $P = \frac { 3 } { 10 }$ .

Question 19

Question 19: 19. Sau khi tan học, trong lớp còn lại 2 nữ sinh và 1 nam sinh. Nếu họ lần lượt ra khỏi lớp, thì xác...

19. Sau khi tan học, trong lớp còn lại 2 nữ sinh và 1 nam sinh. Nếu họ lần lượt ra khỏi lớp, thì xác suất người thứ 2 ra khỏi lớp là nam sinh là

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: ${ } ^ { 2 }$ Các bạn nữ được ghi là ${ } ^ { a } , b$ , $1 _ { \text {位男同学记为 } } { } ^ { A }$ , tất cả các sự kiện cơ bản có: ${ } ^ { ( a , b , A ) }$ , $( a , A , b ) , ( A , a , b ) , ( A , b , a ) , ( b , a , A ) , ( b , A , a ) , { } ^ { \text {共 } } { } ^ { 6 }$ loại, sự kiện "học sinh nam thứ 2 bước ra" bao gồm các sự kiện cơ bản: $( a , A , b ) , ~ ( b , A , a )$ , tổng cộng 2 loại, do đó, xác suất của sự kiện được tìm kiếm là $P = \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$ .

Question 20

Question 20: 20. Câu nào sau đây về biến ngẫu nhiên $X$ là đúng? ( ). Dùng $X$ để biểu thị số lần xảy ra sự kiện ...

20. Câu nào sau đây về biến ngẫu nhiên $X$ là đúng? ( ). Dùng $X$ để biểu thị số lần xảy ra sự kiện $A$, thì phân phối của $X$ là $P ( X = k ) = p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ Trả lời), dùng $X$ để biểu thị số sản phẩm bị lỗi trong $n$ sản phẩm được lấy mẫu, thì phân phối của $X$ là $P ( X = k ) = \frac { \mathrm { C } _ { M } ^ { k } \mathrm { C } _ { N - M } ^ { n - k } } { \mathrm { C } _ { N } ^ { n } }$ , $k = m , m + 1 , m + 2 , \cdots , r$ , trong đó $n , N , M \in \mathrm {~N} ^ { * } , M \leq N , n \leq N \quad , m = \max \{ 0 , n + M - N \}$ , $r = \min \{ n , M \}$ $E ( X ) = n p$ $A$ là số lần thử nghiệm cần thiết để thành công lần đầu tiên, thì $P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 1,2 , \cdots , n$

A. A. Nói chung, trong thí nghiệm Bernoulli lặp lại ${ } ^ { n }$, giả sử xác suất xảy ra sự kiện $A$ trong mỗi lần thí nghiệm là $p ( 0 < p < 1 )$,
B. B. Giả sử có một lô sản phẩm gồm $N$ sản phẩm, trong đó có $M$ sản phẩm bị lỗi. Từ $N$ sản phẩm, ngẫu nhiên chọn ra $n$ sản phẩm (không bỏ).
C. C. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên $X$ là $P ( X = 2 k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$, thì
D. D. Nếu ${ } ^ { n }$ là thí nghiệm Bernoulli, giả sử xác suất xảy ra sự kiện $A$ trong mỗi lần thí nghiệm là $p ( 0 < p < 1 )$, và sử dụng $X$ để biểu thị sự kiện.

Answer

Answer: B

Solution: Đối với A, $P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$, do đó A sai; Đối với B, theo định nghĩa của phân phối siêu hình học, do đó B đúng; Đối với C, giả sử $Y = k$ , thì $P ( Y ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ , và $X = 2 Y$ , nên $E ( X ) = E ( 2 Y ) = 2 E ( Y ) = 2 n p$ , do đó C sai; Đối với D, theo định nghĩa, ta biết $P ( X = k ) = ( 1 - p ) ^ { k - 1 } p$ , do đó D sai;

Question 21

Question 21: 21. Nếu biến ngẫu nhiên $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ . Thì phát biể...

21. Nếu biến ngẫu nhiên $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ . Thì phát biểu nào sau đây là đúng? ( )

A. A. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = 4$
B. B. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 3$
C. C. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = - 4$
D. D. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$

Answer

Answer: D

Solution: Biến ngẫu nhiên $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ , thì $1 - E ( \xi ) = 4 , ( - 1 ) ^ { 2 } D ( \xi ) = 4$ , từ đó có thể suy ra $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$ .

Question 22

Question 22: 22. Bảo tàng Văn tự Trung Quốc tập hợp những mẫu văn tự tiêu biểu qua các triều đại Trung Quốc, sử d...

22. Bảo tàng Văn tự Trung Quốc tập hợp những mẫu văn tự tiêu biểu qua các triều đại Trung Quốc, sử dụng tài liệu chi tiết để giới thiệu với thế giới về hệ thống văn tự liên tục và nền văn minh rực rỡ của dân tộc Trung Hoa. Các hiện vật quan trọng trong bộ sưu tập của bảo tàng chủ yếu được chia thành chín loại: đồ đồng, bia đá, tiền cổ, đồ gốm, đồ ngọc, xương rùa, tre trúc, giấy, và đồ sứ. Xiao Ming đến thăm Bảo tàng Văn tự Trung Quốc và tùy ý chọn ba loại hiện vật quan trọng để tham quan, thì xác suất Xiao Ming tham quan ít nhất một loại trong ba loại bia đá, xương rùa và đồ sứ là ( )

A. A. $\frac { 6 } { 7 }$
B. B. $\frac { 16 } { 21 }$
C. C. $\frac { 5 } { 7 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: Giải: Trong 9 loại hiện vật, chọn 3 loại hiện vật có tổng cộng $C _ { 9 } ^ { 3 } = 84$ trường hợp khác nhau. Nếu không chọn cả ba loại hiện vật là bia đá, xương rùa và đồ gốm, có $C _ { 6 } ^ { 3 } = 20$ trường hợp khác nhau, thì xác suất cần tìm là $P = \frac { 84 - 20 } { 84 } = \frac { 16 } { 21 }$.

Question 23

Question 23: 23. Đã biết tỷ lệ trúng thưởng của một cuộc xổ số là $\frac { 1 } { 2 }$ , mỗi lần xổ số không ảnh h...

23. Đã biết tỷ lệ trúng thưởng của một cuộc xổ số là $\frac { 1 } { 2 }$ , mỗi lần xổ số không ảnh hưởng lẫn nhau. Xây dựng dãy số $\left\{ c _ { n } \right\}$ , sao cho $c _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } 1 , \text { 第 } n \text { 次中奖,} \\ - 1 , \text { 第 } n \text { 次未中奖 } \end{array} \right.$ , ký hiệu $S _ { n } = c _ { 1 } + c _ { 2 } + \cdots + c _ { n } \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ , thì xác suất của $\left| S _ { 5 } \right| = 1$ là ( )

A. A. $\frac { 5 } { 8 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 16 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: Từ $\left| S _ { 5 } \right| = 1$, ta có $S _ { 5 } = \pm 1$, sau 5 lần quay số, có 3 lần trúng thưởng và 2 lần không trúng thưởng hoặc 2 lần trúng thưởng và 3 lần không trúng thưởng, do đó $\left| S _ { 5 } \right| = 1 _ { \text {的概率为 } } P = \frac { \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } } { 2 ^ { 5 } } = \frac { 5 } { 8 }$.

Question 24

Question 24: 24. Biến ngẫu nhiên $\xi$ thỏa mãn $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ và $0 < p < \frac { 1...

24. Biến ngẫu nhiên $\xi$ thỏa mãn $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ và $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$. Đặt biến ngẫu nhiên $\eta = \xi - E ( \xi ) \mid$, thì

A. A. $E ( \eta ) < E ( \xi )$
B. B. $E ( \eta ) > E ( \xi )$
C. C. $E ( \eta ) = E ( \xi )$
D. D. ${ } ^ { E ( \eta ) }$ và $^ { E ( \xi ) }$ kích thước không xác định

Answer

Answer: B

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, $E ( \xi ) = 0 \cdot P ( \xi = 0 ) + 1 \cdot P ( \xi = 1 ) = 0 \times ( 1 - p ) + 1 \times p = p$ , từ ${ } ^ { \eta = | \xi - E ( \xi ) | }$ , khi ${ } ^ { \xi = 0 }$ , thì $\eta = p$ ; khi ${ } ^ { \xi = 1 }$ , thì $\eta = 1 - p$ . Vì vậy, $P ( \eta = p ) = 1 - p , ~ P ( \eta = 1 - p ) = p$ , $E ( \eta ) = p \cdot P ( \eta = p ) + ( 1 - p ) \cdot P ( \eta = 1 - p ) = 2 p ( 1 - p )$, $E ( \xi ) - E ( \eta ) = p ( 2 p - 1 )$ , do $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ , thì $p ( 2 p - 1 ) < 0$ , vì vậy ${ } ^ { E ( \xi ) < E ( \eta ) }$ .

Question 25

Question 25: 25. Nếu biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ và $2 P ...

25. Nếu biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ và $2 P ( X \geq 3 ) = P ( 1 \leq x \leq 2 ) , P ( X < 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 5 } { 6 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: Nếu $P ( X \geq 3 ) = x$, thì $P ( 1 \leq X \leq 2 ) = 2 x$, theo tính đối xứng, $P ( 2 \leq X \leq 3 ) = 2 x$, thì $P ( X \geq 2 ) = 3 x = 0.5$, tức là $P ( X \geq 3 ) = \frac { 1 } { 6 }$, do đó $P ( X < 3 ) = \frac { 5 } { 6 }$.

Question 26

Question 26: 26. Từ ba cặp vợ chồng, chọn ngẫu nhiên 2 người tham gia phỏng vấn, thì xác suất chọn trúng một cặp ...

26. Từ ba cặp vợ chồng, chọn ngẫu nhiên 2 người tham gia phỏng vấn, thì xác suất chọn trúng một cặp vợ chồng là

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: Giải: Giả sử $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ lần lượt đại diện cho ba cặp vợ chồng, trong đó có 15 trường hợp ngẫu nhiên chọn 2 người tham gia phỏng vấn: $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ , $\left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ ; Trong đó, xác suất chọn trúng một cặp vợ chồng là $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ , tổng cộng có 3 trường hợp, do đó, xác suất chọn trúng một cặp vợ chồng là $P = \frac { 3 } { 15 } = \frac { 1 } { 5 }$ .

Question 27

Question 27: 27. Một đứa trẻ chơi trò tung đồng xu và nhảy ô, quy tắc như sau: tung một đồng xu, nếu mặt ngửa lên...

27. Một đứa trẻ chơi trò tung đồng xu và nhảy ô, quy tắc như sau: tung một đồng xu, nếu mặt ngửa lên, nhảy hai ô về phía trước, nếu mặt sấp lên, nhảy một ô về phía trước. Ghi nhớ khi nhảy đến ô thứ $n$ có thể có $a _ { n }$ trường hợp, tổng của $\left\{ a _ { n } \right\}$ và $n$ là $S _ { n }$, thì $S _ { 8 } =$

A. A. 56
B. B. 68
C. C. 87
D. D. 95

Answer

Answer: C

Solution: Ghi mặt trên là $A$, mặt dưới là $B$, thì theo ý nghĩa của đề bài: Khi nhảy đến ô thứ 1, chỉ có $B$, nên chỉ có 1 trường hợp, do đó là ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$; Khi nhảy đến ô thứ 2, có $A , B B$ , do đó có 2 trường hợp, nên $a _ { 2 } = 2$ ; Khi nhảy đến ô thứ 3, có $A B , B A , B B B$ , do đó có 3 trường hợp, nên ${ } ^ { a _ { 3 } = 3 = a _ { 2 } + a _ { 1 } }$ ; Khi chuyển sang ô thứ 4, có $A A , A B B , B A B , B B A , B B B B$ , vì vậy có 5 trường hợp, nên $a _ { 4 } = 5 = a _ { 3 } + a _ { 2 }$ ; Khi chuyển sang ô thứ 5, có $A A B , A B A , B A A , A B B B , B A B B , B B A B , B B B A , B B B B B$ do đó có 8 trường hợp, nên $a _ { 5 } = 8 = a _ { 4 } + a _ { 3 }$ ; Khi nhảy đến ô thứ 6, có $A A A , A A B B , A B A B , A B B A , B A B A , B A A B$ , $B B A A , A B B B B , B A B B B , B B A B B , B B B A B , B B B B A , B B B B B B$ do đó có 13 trường hợp, nên ${ } ^ { a _ { 6 } = 13 = a _ { 5 } + a _ { 4 } }$ ; Theo quy luật này, có $a _ { n } = a _ { n - 1 } + a _ { n - 2 } \left( n > 2 , n \in \mathrm {~N} ^ { * } \right)$ , vì vậy khi nhảy đến ô thứ 7, có $a _ { 7 } = a _ { 6 } + a _ { 5 } = 21$ , khi nhảy đến ô thứ 8, có $a _ { 8 } = a _ { 7 } + a _ { 6 } = 34$ , vì vậy có $S _ { 8 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 }$ $= 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 87$ ,

Question 28

Question 28: 28. Sách là bậc thang tiến bộ của nhân loại, và các tác phẩm toán học nổi tiếng càng có ý nghĩa hơn....

28. Sách là bậc thang tiến bộ của nhân loại, và các tác phẩm toán học nổi tiếng càng có ý nghĩa hơn. "Cửu chương số học", "Tôn Tử số kinh", "Chu bì số kinh" , "Hải đảo toán kinh" là bốn tác phẩm có ảnh hưởng sâu rộng trong lĩnh vực toán học cổ đại Trung Quốc, còn "Cơ bản hình học", "Tác phẩm toàn tập của Archimedes", "Lý thuyết đường cong hình nón" được gọi là "Ba tác phẩm toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại", đại diện cho thành tựu cao nhất của toán học châu Âu trước thời Phục hưng, những tác phẩm này có ảnh hưởng sâu rộng và lâu dài đến sự phát triển toán học của các thế hệ sau. Hiện nay, nếu chọn ba trong bảy tác phẩm nổi tiếng này, thì ít nhất hai cuốn trong số đó là tác phẩm toán học nổi tiếng của Trung Quốc với xác suất là

A. A. $\frac { 1 } { 7 }$
B. B. $\frac { 18 } { 35 }$
C. C. $\frac { 22 } { 35 }$
D. D. $\frac { 4 } { 15 }$

Answer

Answer: C

Solution: Từ bảy tác phẩm nổi tiếng, có $\mathrm { C } _ { 7 } ^ { 3 } = 35$ (loại) trường hợp có thể chọn ba cuốn bất kỳ, trong đó có ít nhất hai cuốn là tác phẩm toán học nổi tiếng của Trung Quốc, có $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 22$ (loại) trường hợp. Do đó, xác suất chọn ba cuốn bất kỳ từ bảy tác phẩm nổi tiếng này mà có ít nhất hai cuốn là tác phẩm toán học nổi tiếng của Trung Quốc là ${ } _ { P } , P = \frac { 22 } { 35 }$ .

Question 29

Question 29: 29. Hiện có 5 loại sách đọc ngoài giờ học là A, B, C, D, E. Một trường học muốn chọn ngẫu nhiên 2 lo...

29. Hiện có 5 loại sách đọc ngoài giờ học là A, B, C, D, E. Một trường học muốn chọn ngẫu nhiên 2 loại trong số đó cho học sinh đọc trong kỳ nghỉ đông. Xác suất ít nhất 1 trong số A và B được chọn là

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 9 } { 10 }$

Answer

Answer: C

Solution: Xét sự kiện $A$: A và B ít nhất có 1 loại được chọn, do đó sự kiện $\bar { A }$ là: A và B đều không được chọn, vì $P ( \bar { A } ) = \frac { C _ { 3 } ^ { 2 } } { C _ { 5 } ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 10 }$, nên $P ( A ) = 1 - P ( \bar { A } ) = 1 - \frac { 3 } { 10 } = \frac { 7 } { 10 }$,

Question 30

Question 30: 30. Zu Chongzhi là một nhà toán học và thiên văn học xuất sắc của Trung Quốc trong thời kỳ Nam Bắc T...

30. Zu Chongzhi là một nhà toán học và thiên văn học xuất sắc của Trung Quốc trong thời kỳ Nam Bắc Triều. Ông dành cả cuộc đời để nghiên cứu khoa học tự nhiên, với những đóng góp chính trong ba lĩnh vực: toán học, thiên văn lịch pháp và chế tạo máy móc, đặc biệt là trong việc khám phá độ chính xác của số pi $\pi$, lần đầu tiên đưa ra "$\pi$" đến bảy chữ số thập phân, tức là $\pi = 3.1415926$ . Trên cơ sở đó, chúng ta lấy ngẫu nhiên hai chữ số từ chữ số thứ ba đến thứ tám của "hằng số pi" $a , ~ b$ , thì xác suất của sự kiện "$| a - b | \leq 3$" là

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 8 } { 15 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 7 } { 15 }$

Answer

Answer: B

Question 31

Question 31: 31. Hiện tại, lớp A có $A , B , C$ ba học sinh, lớp B có $D , E$ hai học sinh. Từ 5 học sinh này, ch...

31. Hiện tại, lớp A có $A , B , C$ ba học sinh, lớp B có $D , E$ hai học sinh. Từ 5 học sinh này, chọn 2 học sinh tham gia một hoạt động nào đó, thì xác suất 2 học sinh được chọn đến từ các lớp khác nhau là

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 2 } { 5 }$
D. D. $\frac { 3 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Solution: Giải: Chọn 2 học sinh trong số 5 học sinh này để tham gia một hoạt động nào đó, tổng số sự kiện cơ bản là $n = C _ { 5 } ^ { 2 } = 10$, số sự kiện cơ bản bao gồm việc chọn 2 học sinh từ cùng một lớp là $m = C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 2 } ^ { 2 } = 4$, $\therefore$ xác suất chọn được 2 học sinh từ các lớp khác nhau là $P = 1 - \frac { m } { n } = 1 - \frac { 4 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$ .

Question 32

Question 32: 33. Máy tính là công cụ tính toán truyền thống của Trung Quốc, có hình chữ nhật, khung gỗ bao quanh,...

33. Máy tính là công cụ tính toán truyền thống của Trung Quốc, có hình chữ nhật, khung gỗ bao quanh, bên trong có các thanh thẳng, thường được gọi là "thanh", trên thanh có các thanh ngang, mỗi thanh có hai hạt, mỗi hạt tương ứng với số 5. dưới thanh ngang có năm hạt, mỗi hạt tương ứng với số 1. Phần trên thanh ngang được gọi là hạt trên, phần dưới thanh ngang được gọi là hạt dưới. Ví dụ, nếu kéo một hạt dưới ở vị trí trăm, một hạt trên và hai hạt dưới ở vị trí chục, thì số đó là 170. Nếu trong các thanh hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, trước tiên chọn ngẫu nhiên một thanh và di chuyển một hạt trên, sau đó chọn ngẫu nhiên hai thanh và di chuyển một hạt dưới, thì xác suất số được di chuyển lớn hơn 500 là ( ) hàng nghìn hàng trăm hàng chục hàng đơn vị ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 2 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: D

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, có tổng cộng $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 24$ khả năng cho số được quay, tức là không gian mẫu chứa tổng cộng ${ } ^ { 24 }$ điểm mẫu. Để số được quay lớn hơn 500, thì: (1) Nếu hạt trên được quay ở vị trí hàng nghìn hoặc hàng trăm, thì số được quay nhất định phải lớn hơn ${ } ^ { 500 }$ , có $C _ { 2 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } = 12$ loại; (2) Nếu hạt trên được quay ở hàng chục hoặc hàng đơn vị, thì chọn ngẫu nhiên hai hàng nữa nhất định có hàng nghìn, có $\mathrm { C } _ { 2 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 6$ loại, thì xác suất số được quay lớn hơn 1000 là $\frac { 12 + 6 } { 24 } = \frac { 3 } { 4 }$ .

Question 33

Question 33: 34. Lớp 12 của một trường có 410 nam sinh, số học sinh là $001,002 , ~ \mathrm {~L} , ~ 410$; 290 nữ...

34. Lớp 12 của một trường có 410 nam sinh, số học sinh là $001,002 , ~ \mathrm {~L} , ~ 410$; 290 nữ sinh, số học sinh là 411, 412, L, 700. Tiến hành khảo sát bằng bảng câu hỏi đối với học sinh lớp 12, sử dụng phương pháp lấy mẫu hệ thống theo số học sinh, chọn ngẫu nhiên 10 người trong số 700 học sinh này để tham gia khảo sát (nhóm thứ nhất sử dụng phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản, số được chọn là 030); sau đó chọn ngẫu nhiên 3 người trong số 10 học sinh này để phân tích dữ liệu, thì xác suất có cả nam và nữ trong số 3 người này là

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 4 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Question 34

Question 34: 35. Trong lời nhắn của biên tập viên chính của sách giáo khoa Toán A, Tập 1, do Nhà xuất bản Giáo dụ...

35. Trong lời nhắn của biên tập viên chính của sách giáo khoa Toán A, Tập 1, do Nhà xuất bản Giáo dục Nhân dân phát hành, câu nói "Học toán khi còn trẻ" đã chạm đến trái tim của học sinh Trường Trung học Thí nghiệm Giang Hạ. Nếu sắp xếp ngẫu nhiên 6 chữ cái này, xác suất để chúng tạo thành cụm từ "Học toán khi còn trẻ" là

A. A. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$
B. B. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 ^ { 4 } }$
D. D. $\frac { 2 } { 6 ^ { 6 } }$

Answer

Answer: A

Solution: Khi sắp xếp 6 chữ trong câu "Học toán khi còn trẻ", tương đương với việc chọn 4 trong 6 vị trí để sắp xếp 4 chữ "Số khi còn trẻ" trước, sau đó sắp xếp 2 vị trí còn lại với chữ "học". Có duy nhất một cách sắp xếp hai chữ "học", do đó có tổng cộng $\mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} ^ { 4 }$ cách sắp xếp, trong đó chỉ có một cách sắp xếp tạo thành cụm từ " học toán khi còn trẻ", do đó xác suất tạo thành "học toán khi còn trẻ" là $\frac { 1 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} _ { 4 } ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$ .

Question 35

Question 35: 36. Trong một hộp có 1 quả bóng đỏ. Sau khi cho ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ quả bón...

36. Trong một hộp có 1 quả bóng đỏ. Sau khi cho ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ quả bóng đen vào hộp, lấy ngẫu nhiên một quả bóng ra khỏi hộp, số quả bóng đỏ được lấy ra là ${ } ^ { \xi }$ quả. Khi ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ tăng lên, phát biểu nào sau đây là đúng?

A. A. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
B. B. $E ( \xi ) _ { \text {增加 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$
C. C. $E ( \xi ) _ { \text {增加,} } D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
D. D. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$

Answer

Answer: D

Solution: Số lượng quả bóng đỏ lấy được $\xi$ tuân theo phân phối hai điểm $B ( 1 , p )$, trong đó $p = \frac { 1 } { n + 1 }$, vì vậy $E ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 }$ , rõ ràng $E ( \xi )$ giảm khi $n$ tăng. $D ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = \frac { n } { ( n + 1 ) ^ { 2 } }$, Ghi nhớ $f ( x ) = \frac { x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ , $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } = \frac { - x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } }$, khi $x \geq 1$ , $f ( x ) \leq 0$ , do đó $f ( x )$ giảm dần trên $^ { [ 1 , + \infty ) }$ , khi $n \in N ^ { * }$ , $D ( \xi ) _ { \text {随着 } } n$ tăng lên thì nó giảm xuống.

Question 36

Question 36: 37. Cho biến ngẫu nhiên $\xi \sim B ( 12 , p )$ và $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$, thì $D ( 3 \xi ) _ { \text...

37. Cho biến ngẫu nhiên $\xi \sim B ( 12 , p )$ và $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$, thì $D ( 3 \xi ) _ { \text {等于( )} }$

A. A. 24
B. B. 36
C. C. 48
D. D. 72

Answer

Answer: A

Solution: Từ $\xi \sim B ( 12 , p )$, ta có $E ( \xi ) = 12 p , E ( 2 \xi - 3 ) = 24 p - 3 = 5$, giải được $p = \frac { 1 } { 3 }$, nên $D ( 3 \xi ) = 9 \times 12 \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } = 24$.

Question 37

Question 37: 38. Chất lượng sản phẩm là nền tảng của doanh nghiệp, việc kiểm tra sản phẩm là công việc quan trọng...

38. Chất lượng sản phẩm là nền tảng của doanh nghiệp, việc kiểm tra sản phẩm là công việc quan trọng không thể thiếu trong quá trình sản xuất. Để đảm bảo chất lượng sản phẩm, một nhà máy đã sử dụng hai phương pháp kiểm tra khác nhau. Hai nhân viên đã ngẫu nhiên lấy ra cùng một số lượng sản phẩm từ dây chuyền sản xuất. Được biết, trong số sản phẩm mà hai nhân viên lấy ra đều có 5 sản phẩm lỗi. Nhân viên A lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô sản phẩm này mà không trả lại, nhân viên B lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô sản phẩm này mà không trả lại. Giả sử số lượng sản phẩm không đạt chất lượng trong 3 sản phẩm mà nhân viên A lấy là $X$, số lượng sản phẩm không đạt chất lượng trong 3 sản phẩm mà nhân viên B lấy là $Y , k = 0,1,2,3$, thì phán đoán nào sau đây là không chính xác? ( ) (Tham khảo: phân phối siêu hình học với giá trị trung bình là $E ( X ) = \frac { n M } { N }$)

A. A. Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức.
B. B. Biến ngẫu nhiên $Y$ tuân theo phân phối siêu hình học.
C. C. $E ( X ) = E ( Y )$
D. D. $P ( X = k ) < P ( Y = k )$

Answer

Answer: D

Solution: Đối với A, nhân viên A ngẫu nhiên chọn 3 sản phẩm từ lô hàng này và trả lại các sản phẩm còn lại, thì biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức, A đúng; Đối với B, nhân viên B lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô sản phẩm này mà không trả lại, thì biến ngẫu nhiên $Y$ tuân theo phân phối siêu hình học, B đúng; Đối với C, lô sản phẩm này có ${ } _ { M }$ sản phẩm, thì $E ( X ) = 3 \cdot \frac { 5 } { M } = \frac { 15 } { M }$ , $E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \frac { 15 ( M - 1 ) ( M - 2 ) } { M ( M - 1 ) ( M - 2 ) } = \frac { 15 } { M }$ , C đúng; Đối với D, $E ( X ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( X = k ) , E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( Y = k )$ , nếu $P ( X = k ) < P ( Y = k )$ , thì ${ } ^ { E ( X ) < E ( Y ) }$ , mâu thuẫn với lựa chọn C, D sai.

Question 38

Question 38: 39. Nếu một người sử dụng chữ cái $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \mathrm { y }$ và hai chữ cái e đ...

39. Nếu một người sử dụng chữ cái $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \mathrm { y }$ và hai chữ cái e để viết từ tiếng Anh "every", thì xác suất người đó viết sai từ tiếng Anh này là ( ).

A. A. $\frac { 119 } { 120 }$
B. B. $\frac { 9 } { 10 }$
C. C. $\frac { 19 } { 20 }$
D. D. $\frac { 59 } { 60 }$

Answer

Answer: D

Solution: Đối với việc sắp xếp $e , v , e , r , y 5$ chữ cái, tức là đặt $e , v , e , r , y$ vào 5 vị trí xác định, trước tiên chọn 2 trong 5 vị trí để đặt 2 chữ e, có $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 }$ cách, sau đó đặt 3 chữ cái còn lại vào 2 vị trí còn lại vị trí khác, có ${ } ^ { \mathrm { A } ^ { 3 } }$ cách, do đó có tổng cộng $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } \mathrm {~A} _ { 3 } ^ { 3 } = 60$ cách, trong khi chỉ có 1 cách viết đúng, vì vậy có $60 - 1 = 59$ cách viết sai từ tiếng Anh này, do đó xác suất viết sai từ tiếng Anh này là $P = \frac { 59 } { 60 }$ .

Question 39

Question 39: 40. Bốn đề xuất sau đây: (1) Từ dây chuyền sản xuất sản phẩm chuyển động đều đặn, cứ sau 30 phút lại...

40. Bốn đề xuất sau đây: (1) Từ dây chuyền sản xuất sản phẩm chuyển động đều đặn, cứ sau 30 phút lại lấy một sản phẩm để kiểm tra, việc lấy mẫu như vậy là lấy mẫu phân tầng; (2) Một thành phố đã tiến hành một cuộc điều tra thống kê chiều cao của nam sinh trung học toàn thành phố, dữ liệu cho thấy chiều cao của 30.000 nam sinh trung học của thành phố này $\xi$ (đơn vị: $c m )$ tuân theo phân phối chuẩn $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ và $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$ , thì số lượng nam sinh trung học có chiều cao trên $180 c m$ trong thành phố này khoảng 3000 người ; (3) Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B ( 100,0.4 )$ , nếu biến ngẫu nhiên $Y = 2 X + 1$ , thì giá trị kỳ vọng toán học của $Y$ là $E ( Y ) = 81$ , phương sai là $D ( Y ) = 48$ ; (4) Biến phân loại $X$ và $Y$ , giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên $K ^ { 2 }$ của chúng là $k$ , khi $k$ càng nhỏ, " $X$ và $Y$ càng lớn, số lượng chính xác là ( ) "Bài tập toán trung học ngày 29 tháng 10 năm 2025"

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: A

Solution: Giải thích: (1) Dựa trên việc lấy mẫu có khoảng cách bằng nhau và không có sự khác biệt rõ rệt giữa các mẫu, do đó (1) phải là lấy mẫu hệ thống, tức là (1) là đề xuất sai; (2) Một thành phố đã tiến hành một cuộc điều tra thống kê chiều cao của nam sinh trung học toàn thành phố, dữ liệu cho thấy chiều cao của 30.000 nam sinh trung học của thành phố này là $\xi$ (đơn vị: $c m )$), tuân theo phân phối chuẩn $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ và $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$, do đó $P ( \xi > 180 ) = \frac { 1 } { 2 } - P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.1$ , do đó số lượng nam sinh trung học có chiều cao trên ${ } _ { 180 \mathrm {~cm} }$ của thành phố này khoảng $30000 \times 0.1 = 3000$ người, do đó (2) là đề xuất đúng; (3) Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B ( 100,0.4 )$ , thì $E ( X ) = 100 \times 0.4 = 40$ , $D ( X ) = 100 \times 0.4 \times ( 1 - 0.4 ) = 24$ , nếu biến ngẫu nhiên $Y = 2 X + 1$ , thì giá trị kỳ vọng toán học của $Y$ là $E ( Y ) = 2 E ( X ) + 1 = 81$ , phương sai là $D ( Y ) = 2 ^ { 2 } D ( X ) = 96$ ; do đó (3) là đề xuất sai; (4) đối với biến phân loại $X$ và $Y$ của biến ngẫu nhiên $K ^ { 2 }$ , thì $k$ càng nhỏ, mức độ chắc chắn của "$X$ có mối quan hệ với $Y$" càng nhỏ, do đó (4) là đề xuất sai.

Probability and Statistics

Tổng quan chủ đề

Điểm chính

Mẹo học tập

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Tài liệu học tập liên quan