Skip to main content

Calculus - Practice Questions (36)

Question 1: 1. Đạo hàm của hàm $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ là

1. Đạo hàm của hàm $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ là

  • A. A. $\frac { 1 } { 5 } x ^ { 3 }$
  • B. B. $\frac { 2 } { 5 } x ^ { 3 }$
  • C. C. $\frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$
  • D. D. $- \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$

Answer: C

Solution: Phân tích câu hỏi: Dựa trên công thức đạo hàm $y ^ { \prime } = \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$, nên chọn C. Điểm kiểm tra: Công thức đạo hàm của hàm mũ.

Question 2: 2. Nếu $f ( x ) = \cos x$, thì giá trị của $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ là ( ...

2. Nếu $f ( x ) = \cos x$, thì giá trị của $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ là ( ).

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. - 1
  • D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer: C

Solution: Vì $f ( x ) = \cos x$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = - \sin x$, nên $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = - 1$

Question 3: 5. Đường cong của hàm số $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ có độ dốc của tiếp tuyến tại điểm $( - ...

5. Đường cong của hàm số $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ có độ dốc của tiếp tuyến tại điểm $( - 1 , f ( - 1 ) )$ là ${ } _ { 1 }$, thì phương trình của tiếp tuyến này là

  • A. A. $x - y - 4 = 0$
  • B. B. $x - y - 6 = 0$
  • C. C. $x + y - 4 = 0$
  • D. D. $x + y - 5 = 0$

Answer: A

Solution: $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - a , f ^ { \prime } ( 1 ) = - 2 - a = 1 , a = - 3$ , do đó $f ( x ) = \frac { 2 } { x } + 3 x , f ( - 1 ) = - 2 - 3 = - 5$ , do đó phương trình tiếp tuyến là $y + 5 = x + 1 , x - y - 4 = 0$ .

Question 4: 6. Nếu hàm $f ( x ) = \sin x$, thì $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \fr...

6. Nếu hàm $f ( x ) = \sin x$, thì $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = ( )$

  • A. A. $- \sqrt { 2 }$
  • B. B. $\sqrt { 2 }$
  • C. C. 1
  • D. D. 0

Answer: B

Solution: Theo đề bài, $f ^ { \prime } ( x ) = \cos x$ , thì $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = \sin \frac { \pi } { 4 } + \cos \frac { \pi } { 4 } = \sqrt { 2 }$ nên chọn: B.

Question 5: 7. "$a \leq 0$" là điều kiện không đủ và không cần thiết cho "hàm $f ( x ) = a x + \ln x$ có giá trị...

7. "$a \leq 0$" là điều kiện không đủ và không cần thiết cho "hàm $f ( x ) = a x + \ln x$ có giá trị cực đại".

  • A. A. Điều kiện đầy đủ không cần thiết
  • B. B. Điều kiện cần nhưng không đủ
  • C. C. Điều kiện cần và đủ
  • D. D. 既

Answer: B

Solution: Theo đề bài, hàm $f ( x )$ có giá trị cực đại, tức là đạo hàm của nó có giá trị dương và âm. $f ^ { \prime } ( x ) = a + \frac { 1 } { x } ( x > 0 )$ , để đạo hàm có giá trị dương và âm, thì cần $a < 0$ , do đó $a \leq 0$ là điều kiện cần nhưng không đủ. Điểm mấu chốt: Bài toán này chủ yếu kiểm tra hai kiến thức, một là cách tính đạo hàm và giá trị cực đại, hai là cách xác định điều kiện đủ và cần thiết. Định nghĩa của giá trị cực đại là giá trị tăng bên trái và giảm bên phải, giá trị cực tiểu là giá trị giảm bên trái và tăng bên phải, do đó đạo hàm của hàm số phải có giá trị dương và âm. Trong bài toán này, hàm đạo hàm của hàm số là $\frac { 1 } { x } \Rightarrow a + \frac { 1 } { x }$, tức là phải dịch chuyển $\frac { 1 } { x }$ lên trên hoặc xuống dưới, tùy theo yêu cầu của giá trị cực đại, phải dịch chuyển xuống dưới, do đó $a < 0$. Do phạm vi của $a \leq 0$ tương đối lớn, phạm vi lớn là điều kiện cần nhưng không đủ cho phạm vi nhỏ.

Question 6: 8. Các câu sau đây đúng là:

8. Các câu sau đây đúng là:

  • A. A. $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 x + 1 }$
  • B. B. $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$
  • C. C. $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$

Answer: B

Solution: Tùy chọn A: $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 2 } { 2 x + 1 }$, Tùy chọn A sai; Tùy chọn B: $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 1 \cdot 2 ^ { x } + x \cdot 2 ^ { x } \ln 2 = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$, Tùy chọn B đúng; Tùy chọn C: $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { - \sin x \cdot x - \cos x } { x ^ { 2 } } = - \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$, Tùy chọn C sai; Tùy chọn D: $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = \left( x ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$, Tùy chọn D sai;

Question 7: 9. Đã biết đạo hàm của hàm số $y = f ( x )$ tại điểm $x = x _ { 0 }$ là $f ^ { \prime } \left( x _ {...

9. Đã biết đạo hàm của hàm số $y = f ( x )$ tại điểm $x = x _ { 0 }$ là $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$, thì $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } =$ $\_\_\_\_$.

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. - 2

Answer: D

Solution: Theo đề bài, đạo hàm của hàm $y = f ( x )$ tại điểm ${ } ^ { x = x _ { 0 } }$ là $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ , và $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } = 2 \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { 2 \Delta x } = 2 f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 2$ ,

Question 8: 10. Đã biết hàm $f ( x )$ có đạo hàm bằng 1 tại điểm $x = 1$, thì $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 }...

10. Đã biết hàm $f ( x )$ có đạo hàm bằng 1 tại điểm $x = 1$, thì $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { 3 \Delta x } =$

  • A. A. $- \frac { 1 } { 3 }$
  • B. B. 3
  • C. C. $\frac { 1 } { 3 }$
  • D. D. $- \frac { 3 } { 2 }$

Answer: C

Solution: $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { 3 \Delta x } = \frac { 1 } { 3 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = \frac { 1 } { 3 } f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { 1 } { 3 }$ ,

Question 9: 11. Đã biết đạo hàm của $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ là $f ^ { \prime } ( x )$, thì $...

11. Đã biết đạo hàm của $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ là $f ^ { \prime } ( x )$, thì $f ^ { \prime } ( i ) = ( i$ là đơn vị ảo $)$.

  • A. A. $- 1 - 2 i$
  • B. B. $- 2 - 2 i$
  • C. C. $- 2 + 2 i$
  • D. D. $2 - 2 i$

Answer: D

Solution: $\because f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 x ( 2 x + 1 ) } { x ^ { 4 } } = \frac { - 2 x ^ { 2 } - 2 x } { x ^ { 4 } } \quad \therefore f ^ { \prime } ( i ) = 2 - 2 i$ , do đó chọn D

Question 10: 12. $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

12. $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

  • A. A. 9
  • B. B. 12
  • C. C. 21
  • D. D. 25

Answer: C

Solution: $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x = \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + 4 x \right) \right| _ { 0 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } \times 3 ^ { 3 } + 4 \times 3 - \frac { 1 } { 3 } \times 0 ^ { 3 } + 4 \times 0 = 21$

Question 11: 13. Nếu hàm $y = f ( x )$ có đạo hàm trên R và thỏa mãn điều kiện $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) ...

13. Nếu hàm $y = f ( x )$ có đạo hàm trên R và thỏa mãn điều kiện $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$ luôn đúng, các hằng số ${ } ^ { a }$, $b$ và $\_\_\_\_$ $a$ ), thì bất đẳng thức sau đây nhất định đúng là

  • A. A. $\quad a f ( a ) > b f ( b )$
  • B. B. $a f ( b ) > b f ( a )$
  • C. C. $a f ( a ) < b f ( b )$
  • D. D. $a f ( b ) < b f ( a )$

Answer: A

Solution: Phân tích câu hỏi: Giả sử $g ( x ) = x f ( x ) , \therefore g ^ { \prime } ( x ) = x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$ luôn đúng, $\therefore g ( x )$ tăng đơn điệu trên $R$. $\because a > b , \therefore g ( a ) > g ( b )$. Tức là $a f ( a ) > b f ( b )$. Do đó, A là đúng. Điểm kiểm tra: Sử dụng đạo hàm để nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số.

Question 12: 14. Đã biết hàm $f ( x )$ là hàm chẵn, miền xác định là R. Khi $x > 0$, thì $f ^ { \prime } ( x ) < ...

14. Đã biết hàm $f ( x )$ là hàm chẵn, miền xác định là R. Khi $x > 0$, thì $f ^ { \prime } ( x ) < 0$, do đó tập nghiệm của bất đẳng thức $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ là

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. $( 0,2 )$
  • C. C. $( - 1,1 )$
  • D. D. $( - 2,2 )$

Answer: B

Solution: Khi $x > 0$ thì $f ^ { \prime } ( x ) < 0$, do đó hàm chẵn ${ } ^ { f ( x ) }$ giảm dần trên $^ { ( 0 , + \infty ) }$, do đó $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ biến đổi thành: $f \left( \left| x ^ { 2 } - x \right| \right) > f ( | x | )$ , nên $\left| x ^ { 2 } - x \right| < | x |$ , rõ ràng $x = 0$ không thỏa mãn bất đẳng thức, giải được: $| x - 1 | < 1$ , do đó $x \in ( 0,2 )$ .

Question 13: 15. Hình vẽ là một bình hình trụ chứa đầy nước. Nếu mở một lỗ ở đáy bình và lượng nước chảy ra trong...

15. Hình vẽ là một bình hình trụ chứa đầy nước. Nếu mở một lỗ ở đáy bình và lượng nước chảy ra trong các khoảng thời gian bằng nhau là như nhau, thì độ cao mực nước trong bình là $h$ thay đổi theo thời gian $t$ là hàm $h = f ( t )$ , miền xác định là $D$ , giả sử $t _ { 0 } \in D , t _ { 0 } \pm \Delta t \in D , k _ { 1 } , k _ { 2 }$ tương ứng biểu thị $^ { f ( t ) }$ là tốc độ thay đổi trung bình trên khoảng $^ { \left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 ) }$ , thì ![](/images/questions/calculus/image-001.jpg) là mối quan hệ về kích thước

  • A. A. $k _ { 1 } > k _ { 2 }$
  • B. B. $k _ { 1 } < k _ { 2 }$
  • C. C. $k _ { 1 } = k _ { 2 }$
  • D. D. Không thể xác định ${ } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } }$

Answer: A

Solution: Từ hình dạng của vật chứa, có thể thấy rằng trong cùng một khoảng thời gian thay đổi, mức giảm chiều cao ngày càng lớn, và tốc độ thay đổi của chiều cao $h$ nhỏ hơn 0, do đó tốc độ thay đổi trung bình của ${ } ^ { f ( t ) }$ trên khoảng $\left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 )$ giảm dần, tức là $k _ { 1 } > k _ { 2 }$.

Question 14: 16. Độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm $P$ trên đường cong $y = \frac { 1 } { x }$ là -4, thì tọa ...

16. Độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm $P$ trên đường cong $y = \frac { 1 } { x }$ là -4, thì tọa độ của điểm $P$ là

  • A. A. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$
  • B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$ hoặc $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$
  • C. C. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$
  • D. D. $\left( \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$

Answer: B

Solution: $\because$ Đường cong $\mathrm { y } = \frac { 1 } { x } , \therefore \mathrm { y } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ , giả sử $\mathrm { P } \left( \mathrm { x } _ { 0 } , \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right)$ , $\because$ Độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm P là $- 4 , \therefore - \frac { 1 } { x _ { 0 } { } ^ { 2 } } = - 4$ , giải được $x _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 }$ hoặc $x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 }$ , $\therefore$ tọa độ của điểm P là $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$ hoặc $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$ .

Question 15: 17. Khoảng giảm dần đơn điệu của hàm $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ là ( )

17. Khoảng giảm dần đơn điệu của hàm $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ là ( )

  • A. A. $( - 1,1 ]$
  • B. B. $( 0,1 ]$
  • C. C. $[ 1 , + \infty )$
  • D. D. $[ 0 , + \infty )$

Answer: B

Solution: Định nghĩa của hàm là $( 0 , + \infty )$, từ $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$, ta có $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x }$, từ $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } < 0$ , ta có $x \left( x ^ { 2 } - 1 \right) < 0$ , vì $x > 0$ , nên ta giải được $0 < x < 1$ , do đó khoảng giảm đơn điệu của hàm là $( 0,1 ]$ .

Question 16: 18. Hàm $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$, trong đó $a , b , c$ là số thực, khi $a ^ { 2...

18. Hàm $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$, trong đó $a , b , c$ là số thực, khi $a ^ { 2 } - 3 b < 0$ thì $f ( x )$ trên R là

  • A. A. hàm tăng
  • B. B. hàm giảm
  • C. C. hằng số
  • D. D. Không thể xác định tính đơn điệu của hàm

Answer: A

Solution: Giải: Vì $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + 2 a x + b$, do đó $\Delta = 4 a ^ { 2 } - 12 b = 4 \left( a ^ { 2 } - 3 b \right) < 0$, nên $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ luôn đúng trên R, do đó $f ( x )$ là hàm tăng trên R;

Question 17: 19. Nếu hàm $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ tăng đơn điệu trên khoảng ${ } ^ { ( - 1,1 ) }...

19. Nếu hàm $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ tăng đơn điệu trên khoảng ${ } ^ { ( - 1,1 ) }$, thì phạm vi giá trị của số thực $k$ là ( )

  • A. A. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
  • B. B. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$
  • C. C. $\left[ - \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left[ - \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$

Answer: B

Solution: Hàm $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ , thì $f ^ { \prime } ( x ) = k + 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ , vì hàm $f ^ { ( x ) }$ tăng đơn điệu trên khoảng $^ { ( - 1,1 ) }$ , thì $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ luôn đúng trong khoảng $( - 1,1 )$, tức là $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ luôn đúng trong khoảng $( - 1,1 )$, Vì $y = - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ giảm đơn điệu trên khoảng $( - 1,1 )$, thì $y < - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ , do đó $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ , tức là phạm vi giá trị của số thực $k$ là $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$ .

Question 18: 20. Nếu hàm $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ tăng đơn điệu trong khoảng $^ { ( 1,2 ) }$, thì ph...

20. Nếu hàm $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ tăng đơn điệu trong khoảng $^ { ( 1,2 ) }$, thì phạm vi giá trị của số thực $a$ là ( ).

  • A. A. $\left( - \infty , \frac { 3 } { 8 } \right]$
  • B. B. $\left( \frac { 3 } { 8 } , \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$

Answer: D

Solution: Từ hàm $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$, ta có $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } + 2 a x - 2$. Nếu ${ } ^ { f ( x ) }$ tăng đơn điệu trong khoảng $^ { ( 1,2 ) }$, thì $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ luôn đúng trong $x \in { } ^ { ( 1,2 ) }$, tức là $a \geq \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } }$ luôn đúng trong $x \in ( 1,2 )$, đặt $g ( x ) = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { x } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$ , từ $\frac { 1 } { x } \in \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$ , $\therefore g ( x ) < g ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }$, do đó $a \geq \frac { 1 } { 2 }$ , tức là phạm vi giá trị của số thực $a$ là $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$ .

Question 19: 21. Trong môn nhảy cầu cao, tại thời điểm $t$ (đơn vị: giây), độ cao của trọng tâm so với mặt nước c...

21. Trong môn nhảy cầu cao, tại thời điểm $t$ (đơn vị: giây), độ cao của trọng tâm so với mặt nước của một vận động viên là $h$ (đơn vị: m) thỏa mãn mối quan hệ ${ } ^ { h ( t ) = a t ^ { 2 } + 5 t + 11 }$ , khi $1 \leq t \leq 2$ , tốc độ thay đổi trung bình của $h$ là - 10 m/s, thì khi $t = 3$ , tốc độ thay đổi tức thời của $h$ là ( )

  • A. A. - 15 mét/giây
  • B. B. 15 mét/giây
  • C. C. - 25 mét/giây
  • D. D. 25 mét/giây

Answer: C

Solution: Từ đề bài có thể suy ra $\frac { h ( 2 ) - h ( 1 ) } { 2 - 1 } = 3 a + 5 = - 10$, giải được $a = - 5$, thì $h ( t ) = - 5 t ^ { 2 } + 5 t + 11$, do đó $h ^ { \prime } ( t ) = - 10 t + 5$, nên $h ^ { \prime } ( 3 ) = - 10 \times 3 + 5 = - 25$.

Question 20: 23. Đường chuẩn của parabol ${ } ^ { 2 } = 4 y$ và điểm giao của trục ${ } ^ { y }$ là ${ } ^ { M }$...

23. Đường chuẩn của parabol ${ } ^ { 2 } = 4 y$ và điểm giao của trục ${ } ^ { y }$ là ${ } ^ { M }$. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm ${ } ^ { M }$ và tiếp xúc với parabol là ( ).

  • A. A. $y = 2 x - 1$ hoặc $y = - 2 x - 1$
  • B. B. $y = 3 x - 1$ hoặc $y = - 3 x - 1$
  • C. C. $y = 4 x - 1$ hoặc $y = - 4 x - 1$
  • D. D. $y = x - 1$ hoặc $y = - x - 1$

Answer: D

Solution: Giải: Theo đề bài, đường chuẩn của parabol $x ^ { 2 } = 4 y$ là $y = - 1$, thì $M ( 0 , - 1 )$, Từ $x ^ { 2 } = 4 y$ ta có $y = \frac { x ^ { 2 } } { 4 }$ , lấy đạo hàm ta được $y ^ { \prime } = \frac { x } { 2 }$ , Giả sử tọa độ điểm tiếp xúc là $\left( x _ { 0 } , \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right)$ , thì $\frac { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + 1 } { x _ { 0 } } = \frac { x _ { 0 } } { 2 }$ , giải được $x _ { 0 } = \pm 2$ , $\therefore$ Độ dốc của đường tiếp tuyến là $k = \pm 1$ , $\therefore$ Phương trình của đường tiếp tuyến là $y + 1 = \pm x$ , tức là $y = x - 1$ hoặc $y = - x - 1$ ,

Question 21: 24. Nếu đã biết $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$...

24. Nếu đã biết $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$, thì $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

  • A. A. 2017
  • B. B. 2018
  • C. C. 2019
  • D. D. 2020

Answer: D

Solution: $f ^ { \prime } ( x ) = - x + 2 f ^ { \prime } ( 2019 ) - \frac { 2019 } { x }$ Làm cho $\mathrm { x } = 2019$ bằng $f ^ { \prime } ( 2019 ) = 2020$, thì $f ^ { \prime } ( 1 ) = - 1 + 4040 - 2019 = 2020$

Question 22: 25. Cho hàm số $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$, nếu $f ( 1 ) > f \left( \log _ ...

25. Cho hàm số $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$, nếu $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$, thì khoảng giá trị của số thực ${ } _ { x }$ là ( )

  • A. A. $( 0,2 )$
  • B. B. $( 0,1 )$
  • C. C. $( 2 , + \infty )$
  • D. D. $( 1 , + \infty )$

Answer: A

Solution: Vì $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = x ^ { 2 } + 1 - \sin x > 0$, do đó hàm $y = f ( x )$ tăng đơn điệu trên R, nên $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$ , tương đương với $\left\{ \begin{array} { l } \log _ { 2 } x < 1 \\ x > 0 \end{array} \right.$ , giải được $0 < x < 2$ .

Question 23: 26. Đã biết hàm $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$, thì $f ^ { \prime ...

26. Đã biết hàm $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$, thì $f ^ { \prime } ( 1 ) = ( )$

  • A. A. $e + 5$
  • B. B. $e + 8$
  • C. C. $e + 11$
  • D. D. $e + 12$

Answer: C

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài $f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } + 2 f ^ { \prime } ( 0 ) x + 3$, do đó $f ^ { \prime } ( 0 ) = e ^ { 0 } + 0 + 3 = 4$, $f ^ { \prime } ( 1 ) = e + 2 \times 4 + 3 = e + 11$

Question 24: 27. Đã biết đồ thị của hàm $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ cắt trục $x$ tại gốc tọa độ, thì giá tr...

27. Đã biết đồ thị của hàm $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ cắt trục $x$ tại gốc tọa độ, thì giá trị của $a$ và $b$ lần lượt là ( )

  • A. A. $a = - 1 , b = 1$
  • B. B. $a = 1 , b = - 1$
  • C. C. $a = - 1 , b = 0$
  • D. D. $a = 0 , b = - 1$

Answer: B

Solution: Vì $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = a e ^ { x } + b$, từ điều kiện đã biết có thể suy ra $\left\{ \begin{array} { l } f ( 0 ) = a - 1 = 0 \\ f ^ { \prime } ( 0 ) = a + b = 0 \end{array} \right.$, giải được $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 \\ b = - 1 \end{array} \right.$.

Question 25: 28. Đã biết $x = \ln 3$ là điểm cực tiểu của hàm $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$, thì $a =$ ...

28. Đã biết $x = \ln 3$ là điểm cực tiểu của hàm $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$, thì $a =$ ( )

  • A. A. $\ln 3$
  • B. B. $- \ln 3$
  • C. C. 3
  • D. D. - 3

Answer: D

Solution: Vì $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a$, vì $x = \ln 3$ là điểm cực tiểu của $f ( x )$, nên $f ^ { \prime } ( \ln 3 ) = 3 + a = 0$, giải được $a = - 3$, Khi $a = - 3$ , $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - 3$ , Khi $x > \ln 3$ , $f ^ { \prime } ( x ) > 0 , f ( x )$ tăng dần; khi $x < \ln 3$ , $f ^ { \prime } ( x ) < 0 , f ( x )$ giảm dần, vì vậy khi $a = - 3$ , $x = \ln 3$ là điểm cực tiểu của $f ( x )$ , do đó $a = - 3$ ,

Question 26: 29. Đã biết hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$, thì $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 ...

29. Đã biết hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$, thì $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = ( )$

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. $- \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $\frac { 1 } { x ^ { 2 } }$

Answer: A

Solution: Vì $f ( 1 + \Delta x ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } , f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 } = 1$, nên $f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } - 1 = \frac { - \Delta x } { 1 + \Delta x }$, do đó $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { - 1 } { 1 + \Delta x } = - 1$.

Question 27: 31. Câu nào sau đây là phép tính đạo hàm đúng?

31. Câu nào sau đây là phép tính đạo hàm đúng?

  • A. A. $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
  • B. B. $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$
  • C. C. $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \log _ { 3 } \mathrm { e }$
  • D. D. $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x + x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$

Answer: B

Solution: A. $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$, A sai; B. $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$, B đúng; C. $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \ln 3 = 3 ^ { x } \cdot \frac { 1 } { \log _ { 3 } \mathrm { e } }$, C sai; D. $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x - x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$, do đó D sai.

Question 28: 32. Nếu trên đồ thị của hàm $y = f ( x )$ có hai điểm sao cho các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm...

32. Nếu trên đồ thị của hàm $y = f ( x )$ có hai điểm sao cho các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau, thì hàm ${ } ^ { y = f ( x ) }$ được gọi là có tính chất $T$. Trong các hàm sau, hàm nào có tính chất $T$?

  • A. A. $y = \cos x$
  • B. B. $y = \ln x$
  • C. C. $y = \mathrm { e } ^ { x }$
  • D. D. $y = x ^ { 3 }$

Answer: A

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, ${ } ^ { y = f ( x ) }$ có tính chất $T$, tức là tồn tại ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ sao cho $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$; Đối với $\mathrm { A } , ~ y ^ { \prime } = - \sin x$ , tồn tại $x _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } , ~ x _ { 2 } = - \frac { \pi } { 2 }$ , khiến $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = \left( - \sin \frac { \pi } { 2 } \right) \left[ - \sin \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \right] = - 1$ , A đúng; Đối với B, $y = \ln x$ có miền định nghĩa là $( 0 , + \infty ) , y ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } > 0$ , do đó không tồn tại ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ , khiến $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ , B sai; Đối với C, $y ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } > 0$ , do đó không tồn tại ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ , khiến $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ , C sai; Đối với D, $y ^ { \prime } = 3 x ^ { 2 } \geq 0$ , do đó không tồn tại ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ , dẫn đến $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ , D sai;

Question 29: 33. Giả sử hàm $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ giảm đơn điệu trên $( 1 , + \infty ...

33. Giả sử hàm $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ giảm đơn điệu trên $( 1 , + \infty )$, thì khoảng giá trị của số thực $a$ là

  • A. A. $( 0,1 ]$
  • B. B. $[ 1 , + \infty )$
  • C. C. $( 0,1 )$
  • D. D. $( 0 , + \infty )$

Answer: B

Solution: Vì $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$, nên $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } - a x ^ { 2 }$, Theo ý nghĩa của đề bài, $f ^ { \prime } ( x ) \leq 0$ luôn đúng đối với bất kỳ $x > 1$ nào, thì $a \geq \frac { 1 } { x ^ { 3 } }$ luôn đúng đối với bất kỳ $x > 1$ nào, Khi $x > 1$ , thì $\frac { 1 } { x ^ { 3 } } \in ( 0,1 ) , \therefore a \geq 1$ .

Question 30: 34. Diện tích của hình phẳng được tạo thành bởi đường thẳng $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ và đường cong ...

34. Diện tích của hình phẳng được tạo thành bởi đường thẳng $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ và đường cong $y = x ^ { 2 } - x$ là ( )

  • A. A. $\frac { 16 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 17 } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 8 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 } { 3 }$

Answer: B

Solution: Phân tích: Vẽ đồ thị của hàm $y = x ^ { 2 } - x$ và đường thẳng $x = - 2 , x = 2$, xác định giới hạn trên và dưới của tích phân. Giải thích chi tiết: Như hình vẽ, ![](/images/questions/calculus/image-002.jpg) $S = \int _ { - 2 } ^ { 0 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( - x ^ { 2 } + x \right) d x + \int _ { 1 } ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x$ $= \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { - 2 } ^ { 0 } + \left. \left( - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 0 } ^ { 1 } + \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 17 } { 3 }$.

Question 31: 35. Hàm $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ giảm dần trên khoảng $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \ri...

35. Hàm $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ giảm dần trên khoảng $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$, thì khoảng giá trị của $k$ là ( )

  • A. A. $[ - 3 , + \infty )$
  • B. B. $[ 3 , + \infty )$
  • C. C. $[ 0 , + \infty )$
  • D. D. $[ - 3,3 ]$

Answer: B

Solution:

Question 32: 36. Đã biết hàm $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$, thì tập nghiệm của bất đẳng thức $f ( 2 x - 1 ) < ...

36. Đã biết hàm $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$, thì tập nghiệm của bất đẳng thức $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ là ( )

  • A. A. $\left( - 1 , \frac { 1 } { 5 } \right)$
  • B. B. $\left( - \frac { 1 } { 5 } , 1 \right)$
  • C. C. $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 5 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$

Answer: C

Solution: Vì miền định nghĩa của hàm $y = f ( x )$ là $R , f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 2 \cos ( - x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x = f ( x )$, nên hàm $y = f ( x )$ là hàm chẵn, khi $x \geq 0$ , thì $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x = g ( x ) , g ^ { \prime } ( x ) = 2 - 2 \cos x \geq 0$ , do đó $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x$ tăng đơn điệu trong $[ 0 , + \infty )$ , do đó $f ^ { \prime } ( x ) \geq f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ , do đó hàm $y = f ( x )$ tăng đơn điệu trong $[ 0 , + \infty )$ , từ $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ , ta có $f ( | 2 x - 1 | ) < f ( | 3 x | )$ , thì $| 2 x - 1 | < | 3 x |$ , hai bên của bất đẳng thức bình phương được $9 x ^ { 2 } > ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$ , có thể thu được $( x + 1 ) ( 5 x - 1 ) > 0$ , giải được $x < - 1$ hoặc $x > \frac { 1 } { 5 }$ . Do đó, tập hợp các giải pháp của bất đẳng thức $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ là $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$ .

Question 33: 37. Đường parabol $C : x ^ { 2 } = 4 y$ đi qua điểm $M ( 0,4 )$ với đường thẳng đi qua điểm $C$ giao...

37. Đường parabol $C : x ^ { 2 } = 4 y$ đi qua điểm $M ( 0,4 )$ với đường thẳng đi qua điểm $C$ giao nhau tại hai điểm $A , B$ và $C _ { \text {在 } } A , B$ , các đường tiếp tuyến tại hai điểm $C _ { \text {在 } } A , B$ giao nhau tại điểm $N$ . Trong bốn điểm sau, điểm nào có thể là điểm giữa của đoạn thẳng $M N$ ? ( )

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$
  • C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$
  • D. D. $\left( 1 , - \frac { 1 } { 2 } \right)$

Answer: B

Solution: Hãy đặt $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$, từ $x ^ { 2 } = 4 y$ ta có $y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$, thì $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x$, do đó phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm $A$ là $y - y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } \left( x - x _ { 1 } \right)$ , vì $x _ { 1 } ^ { 2 } = 4 y _ { 1 }$ , đơn giản hóa phương trình ta được: $x _ { 1 } x = 2 \left( y + y _ { 1 } \right)$ , Tương tự, phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm ${ } ^ { B }$ là $x _ { 2 } x = 2 \left( y + y _ { 2 } \right)$ , và hai tiếp tuyến giao nhau tại điểm $N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ , do đó có $\left\{ \begin{array} { l } x _ { 1 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 1 } \right) \\ x _ { 2 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 2 } \right) \end{array} \right.$ , tức là điểm $A , B$ đều nằm trên đường thẳng $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ , tức là phương trình của đường thẳng $A B$ là $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ , Vì điểm $M ( 0,4 )$ nằm trên đường thẳng $A B$, thay vào để giải được $y _ { 0 } = - 4$, tức là $N \left( x _ { 0 } , - 4 \right)$, do đó, điểm giữa của đoạn thẳng $M N$ là $N \left( \frac { x _ { 0 } } { 2 } , 0 \right)$ , vì vậy, trong các lựa chọn, điểm giữa của đoạn thẳng $M N$ là $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$ . ![](/images/questions/calculus/image-003.jpg)

Question 34: 38. Đã biết hàm $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ tăng đơn điệu trên R...

38. Đã biết hàm $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ tăng đơn điệu trên R, thì giá trị lớn nhất của $a$ là ( )

  • A. A. 0
  • B. B. $\frac { 1 } { 6 }$
  • C. C. e
  • D. D. 3

Answer: A

Solution: Từ hàm $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$, ta có $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a$, vì $f ( x )$ là hàm đơn điệu tăng trên R, nên $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a \geq 0$ luôn đúng, tức là $a \leq 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$ luôn đúng, Đặt $g ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$, thì $g ^ { \prime } ( x ) = ( 2 x + 2 ) \mathrm { e } ^ { x } - 2$ , khi $x < 0$ , thì $g ^ { \prime } ( x ) < 0$ ; Khi $x > 0$ , thì $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ , thì $g ^ { ( x ) }$ giảm dần trên $^ { ( - \infty , 0 ) }$ và tăng dần trên $( 0 , + \infty )$ , vì vậy $g ( x ) _ { \text {min } } = g ( 0 ) = 0$ , tức là $a \leq 0$ , do đó giá trị lớn nhất của số thực $a$ là 0 .

Question 35: 39. Đường thẳng $y = a x + b$ tiếp xúc với đường cong $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } {...

39. Đường thẳng $y = a x + b$ tiếp xúc với đường cong $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$, thì giá trị lớn nhất của $2 a + b$ là ( )

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $\frac { 5 } { 2 }$
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: Đặt tọa độ hoành của điểm cắt là $m ( m \neq 0 )$, tính đạo hàm: $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ được $y ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$, từ đề bài có thể suy ra $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ a m + b = m + \frac { 1 } { m } \end{array} \right.$ giải được: $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ b = \frac { 2 } { m } \end{array} \right.$ , do đó $2 a + b = - \frac { 2 } { m ^ { 2 } } + \frac { 2 } { m } + 2 = - 2 \left( \frac { 1 } { m } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 }$ , do đó khi $m = 2$ , giá trị lớn nhất của $2 a + b$ là $\frac { 5 } { 2 }$ .

Question 36: 40. Đã biết hàm $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ giảm đ...

40. Đã biết hàm $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ giảm đơn điệu trên $( 1,2 )$ và tăng đơn điệu trên $( 2,3 )$, và nếu hình tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 )$ chứa chính xác ba điểm tương ứng với các giá trị cực đại của $f ( x )$, thì phạm vi giá trị của $r$ là ( ) Bài tập toán trung học ngày 29 tháng 10 năm 2025

  • A. A. $[ 2 , \sqrt { 5 } )$
  • B. B. $\left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$
  • C. C. $( \sqrt { 5 } , 3 ]$
  • D. D. $\left[ \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 53 } } { 2 } \right]$

Answer: B

Solution: Từ giá trị nhỏ nhất của $f ( x )$ tại điểm $x = 2$, ta có $\therefore \sin \left( 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } \right) = - 1 , \therefore 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } = 2 k \pi - \frac { \pi } { 2 } ( k \in \mathbf { Z } )$, từ đó giải được $\omega = k \pi - \frac { \pi } { 3 } ( k \in \mathbf { Z } )$, $\because$ hàm ${ } ^ { f ( x ) }$ giảm dần trên $^ { ( 1,2 ) }$, $\therefore \frac { T } { 2 } \geq 1$ , tức là $\frac { \pi } { \omega } \geq 1 , ~ \therefore 0 < \omega \leq \pi$ , khi ${ } _ { k = 1 }$ , $\omega = \frac { 2 \pi } { 3 } , ~ T = 3$ , đáp ứng điều kiện, $\therefore f ( x ) = \sin \left( \frac { 2 \pi } { 3 } x + \frac { \pi } { 6 } \right)$ . Từ hình ảnh có thể thấy ${ } ^ { y }$ trục bên phải chứa hai điểm tương ứng với giá trị cực đại, bên trái chứa một điểm tương ứng với giá trị cực đại, phạm vi giá trị của ![](/images/questions/calculus/image-004.jpg) lớn hơn điểm tương ứng với giá trị cực đại thứ hai bên phải gốc $( 2 , - 1 ) _ { \text {到原点的距离,小于等于原点左侧第二个极值对应的点 } } \left( - \frac { 5 } { 2 } , 1 \right)$ đến khoảng cách đến gốc tọa độ, tức là $r \in \left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$,
Quay lại danh sách

Calculus

导数与微积分

36 Câu hỏi luyện tập

Luyện tập với đề tiếng Trung để chuẩn bị cho kỳ thi CSCA. Bạn có thể bật/tắt bản dịch trong khi luyện tập.

Tổng quan chủ đề

Đạo hàm và tích phân là công cụ cốt lõi của phân tích toán học, chủ yếu nghiên cứu các vấn đề như tốc độ thay đổi của hàm số, độ dốc của đường tiếp tuyến và tính toán diện tích. Trong kỳ thi CSCA, phần nội dung này thường xuất hiện dưới dạng bài toán tính toán và bài toán ứng dụng, yêu cầu thí sinh thành thạo các quy tắc đạo hàm cơ bản, ý nghĩa hình học của đạo hàm và các phép tính tích phân đơn giản. Độ khó của bài toán ở mức trung bình, tập trung vào việc áp dụng các công thức cơ bản và tính chính xác của phép tính.

Số câu hỏi:36

Điểm chính

  • 1Công thức đạo hàm và quy tắc tính toán của hàm số cơ bản
  • 2Ý nghĩa hình học của đạo hàm (độ dốc của tiếp tuyến và phương trình tiếp tuyến)
  • 3Phương pháp tính đạo hàm của hàm hợp và hàm ẩn
  • 4Sử dụng đạo hàm để phân tích tính đơn điệu và giá trị cực đại của hàm số

Mẹo học tập

Đề nghị củng cố công thức đạo hàm thông qua các bài tập phân loại, đặc biệt chú ý đến quy tắc chuỗi đạo hàm của hàm hợp và phương pháp giải chuẩn của phương trình tiếp tuyến.

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Bộ đề thi thử đầy đủ theo đề cương chính thức, tổng hợp nhiều chủ đề như thi thật

Nhận đề thi thử →

Không có thẻ tín dụng? Email cho chúng tôi: kaiguo370@gmail.com

Tài liệu học tập liên quan

Hướng dẫn Toán
Tài liệu chuẩn bị thi đầy đủ
Thuật ngữ Toán
Ôn tập thuật ngữ và khái niệm liên quan

Khám phá bài tập các môn khác:

Luyện Vật lýLuyện Hóa học