Analytic Geometry

Question 1

Question 1: 1. Cho điểm $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$, nếu đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $x - m y + 1 = ...

1. Cho điểm $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$, nếu đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $x - m y + 1 = 0$, thì $m =$

A. A. - 2
B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. 2

Answer

Answer: B

Solution: Theo đề bài, độ dốc của đường thẳng $A B$ là $\frac { 1 - 0 } { 3 - 1 } = \frac { 1 } { 2 }$, vì đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $x - m y + 1 = 0$, và độ dốc của đường thẳng $x - m y + 1 = 0$ là - 2, nên $\frac { 1 } { m } = - 2$ , ta có $m = - \frac { 1 } { 2 }$ .

Question 2

Question 2: 2. Đã biết parabol $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, phương trình chuẩn của nó là

2. Đã biết parabol $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, phương trình chuẩn của nó là

A. A. $x = - \frac { 1 } { 8 }$
B. B. $x = \frac { 1 } { 8 }$
C. C. $y = \frac { 1 } { 2 }$
D. D. $y = - \frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: D

Question 3

Question 3: 3. Phương trình chuẩn của đường parabol $x ^ { 2 } = - 4 y$ là

3. Phương trình chuẩn của đường parabol $x ^ { 2 } = - 4 y$ là

A. A. $x = \frac { 1 } { 16 }$
B. B. $x = 1$
C. C. $y = 1$
D. D. $y = 2$

Answer

Answer: C

Solution: Vì $x ^ { 2 } = - 4 y$ là một parabol mở xuống, nên phương trình chuẩn của nó là ${ } ^ { y = 1 }$.

Question 4

Question 4: 4. Nếu đường thẳng $y = k x - 2$ vuông góc với đường thẳng $y = 3 x$, thì $k =$

4. Nếu đường thẳng $y = k x - 2$ vuông góc với đường thẳng $y = 3 x$, thì $k =$

A. A. 3
B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. - 3
D. D. $- \frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: Giải: Từ hai đường thẳng vuông góc với nhau, có độ dốc lần lượt là $\mathrm { k } _ { 1 } , \mathrm { k } _ { 2 } , \mathrm { C } ^ { \mathrm { k } _ { 1 } } \mathrm { x } _ { 2 } = - 1$, ta có: $k : 3 = - 1$, giải được: $k = - \frac { 1 } { 3 }$,

Question 5

Question 5: 5. Góc nghiêng của đường thẳng $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ là

5. Góc nghiêng của đường thẳng $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ là

A. A. $\frac { \pi } { 3 }$
B. B. $\frac { \pi } { 4 }$
C. C. $\frac { \pi } { 6 }$
D. D. $\frac { \pi } { 2 }$

Answer

Answer: C

Solution: Độ dốc của đường thẳng $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ là $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$. Nếu góc nghiêng là $\alpha ( 0 \leq \alpha < \pi )$, thì $\tan \alpha = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ và $\therefore \alpha = \frac { \pi } { 6 }$.

Question 6

Question 6: 7. Nếu hai đường tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ và $x ^ { 2 } ...

7. Nếu hai đường tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ và $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 \sqrt { n } y - 1 + 4 n = 0 ( n > 0 )$ có chính xác ba đường tiếp tuyến chung, thì giá trị nhỏ nhất của $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n }$ là

A. A. $\frac { 1 } { 9 }$
B. B. $\frac { 4 } { 9 }$
C. C. 1
D. D. 3

Answer

Answer: C

Solution: Giải: Theo đề bài, hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau. Phương trình chuẩn của hai đường tròn lần lượt là $( x + \sqrt { m } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 , x ^ { 2 } + ( y - 2 \sqrt { n } ) ^ { 2 } = 1$, tâm của hai đường tròn lần lượt là $( - \sqrt { m } , 0 ) , ( 0,2 \sqrt { n } )$, bán kính lần lượt là 2 và 1. Do đó, ta có $\sqrt { m + 4 n } = 3$, $\therefore m + 4 n = 9$ $\therefore \frac { m + 4 n } { 9 } = 1$ $\therefore \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { m + 4 n } { 9 m } + \frac { m + 4 n } { 9 n }$ $= \frac { 1 } { 9 } + \frac { 4 } { 9 } + \frac { 4 n } { 9 m } + \frac { m } { 9 n } \geq \frac { 5 } { 9 } + 2 \sqrt { \frac { 4 } { 81 } } = 1$ khi và chỉ khi $\frac { 4 n } { 9 m } = \frac { m } { 9 n }$ , tức là $m = 2 n = 3 ^ { \text {khi dấu bằng thành lập.} }$

Question 7

Question 7: 8. Một nhóm thực hành xã hội trong quá trình nghiên cứu đã phát hiện ra một cây cầu đá một nhịp (như...

8. Một nhóm thực hành xã hội trong quá trình nghiên cứu đã phát hiện ra một cây cầu đá một nhịp (như hình vẽ), phần vòm parabol của cầu có chiều dài nhịp là 21,6 m, đỉnh vòm cách mặt nước 10,9 m, độ dày mặt cầu khoảng 1 m. Nếu nhóm dự định dùng dây thừng thả máy quay từ lan can đá của cầu xuống để quay phim, sao cho máy quay rơi vào tâm của đường parabol, thì chiều dài thích hợp nhất của dây thừng là ![](/images/questions/analytic-geometry/image-001.jpg)

A. A. 3 m
B. B. 4 m
C. C. 5 m
D. D. 6 m

Answer

Answer: B

Solution: Lấy đỉnh của phần cong làm gốc tọa độ, trục ngang là trục $x$, vuông góc với trục $x$ và hướng lên trên, thiết lập hệ tọa độ phẳng. ![](/images/questions/analytic-geometry/image-002.jpg) Giả sử phương trình của parabol là $x ^ { 2 } = - 2 p y ( p > 0 )$. Dễ dàng nhận thấy parabol đi qua điểm $( 10.8 , - 10.9 )$ , thì $10.8 ^ { 2 } = 21.8 p$ , ta có $p = \frac { 10.8 ^ { 2 } } { 21.8 }$ , nên $\frac { p } { 2 } = \frac { 5.4 ^ { 2 } } { 10.9 } \approx 2.7$ , nên $\frac { p } { 2 } + 1 \approx 3.7$ .

Question 8

Question 8: 9. Nếu phương trình $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ biểu thị đường h...

9. Nếu phương trình $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ biểu thị đường hyperbol, thì phạm vi giá trị của số thực $m$ là

A. A. $( 0,2 )$
B. B. $( 0,1 ) \cup ( 1,2 )$
C. C. $( - \infty , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$
D. D. $( 2 , + \infty )$

Answer

Answer: C

Solution: Nếu phương trình $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ biểu diễn đường hyperbol, thì $m ( 2 - m ) < 0$ , ta có: $m < 0$ hoặc $m > 2$ , tức là phạm vi giá trị của số thực $m$ là $( - \infty , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$ .

Question 9

Question 9: 10. Nếu trục thực và tiêu cự của đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ...

10. Nếu trục thực và tiêu cự của đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ lần lượt là 2 và 4, thì phương trình đường tiệm cận của đường hyperbola $C$ là

A. A. $y = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$
B. B. $y = \pm \frac { 1 } { 3 } x$
C. C. $y = \pm \sqrt { 3 } x$
D. D. $y = \pm 3 x$

Answer

Answer: C

Solution: Vì $2 a = 2,2 c = 4$, nên $a = 1 , c = 2 , b = \sqrt { 3 }$, nên phương trình tiệm cận của $C$ là $y = \pm \sqrt { 3 } x$.

Question 10

Question 10: 11. Đã biết đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$, thì tọa độ...

11. Đã biết đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$, thì tọa độ tiêu điểm của đường hyperbola là

A. A. $( - \sqrt { 7 } , 0 ) , ( \sqrt { 7 } , 0 )$
B. B. $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$
C. C. $( 0 , - 5 ) , ( 0,5 )$
D. D. $( 0 , - \sqrt { 7 } ) , ( 0 , \sqrt { 7 } )$

Answer

Answer: B

Solution: Theo phương trình hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$, ta thấy tiêu điểm nằm trên trục $x$, $a ^ { 2 } = 16 , b ^ { 2 } = 9$ , $\therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 16 + 9 = 25$ , tức là ${ } ^ { c = 5 }$ , do đó tiêu điểm là $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$ .

Question 11

Question 11: 12. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { và }$ l _ { 2 ...

12. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { và }$ l _ { 2 } : m x - y - 3 = 0$ là

A. A. 5
B. B. $\frac { 1 } { 5 }\$
C. C. $\sqrt { 5 }$
D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer

Answer: C

Solution: Vì $l _ { 1 } \| l _ { 2 }$, nên ${ } ^ { 2 \times ( - 1 ) - ( - 1 ) \times m = 0 }$, giải được $m = 2$, thì khoảng cách giữa $l _ { 1 } , l _ { 2 }$ là $\frac { | 2 + 3 | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } } } = \sqrt { 5 }$.

Question 12

Question 12: 13. Đối với hình tròn ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$, phát biểu nào sau đây là ...

13. Đối với hình tròn ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$, phát biểu nào sau đây là đúng? ( )

A. A. Điểm ${ } ^ { A ( 1 , - 1 ) }$ bên trong hình tròn $C$
B. B. Trung tâm của hình tròn $C$ là $( - 2,0 )$
C. C. Bán kính của hình tròn $C$ là 3.
D. D. Đường tròn $C$ tiếp xúc với đường thẳng $y = 3$

Answer

Answer: A

Solution: Đối với A, thay điểm $A ( 1 , - 1 )$ vào vòng tròn $C$, ta được $1 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 + 1 = - 1 < 0$, do đó điểm $A ( 1 , - 1 )$ nằm bên trong vòng tròn $C$, nên A đúng; Đối với $\mathrm { B } , \mathrm { C }$, từ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$, ta có $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3$, do đó tâm của hình tròn $C$ có tâm là $( 2,0 )$ và bán kính là $r = \sqrt { 3 }$, do đó B, C sai; Đối với D, từ tâm $C ( 2,0 ) _ { \text {đến đường thẳng } } y = 3$ có khoảng cách là $d = | 3 - 0 | = 3$ , nên $3 > \sqrt { 3 }$ , tức là $d > r$ , nên hình tròn $C _ { \text {và直线 } } { } ^ { y = 3 }$ cách nhau, nên D sai.

Question 13

Question 13: 14. Đường parabol $y ^ { 2 } = 4 x$ tiêu điểm $F$ của đường parabol giao với đường thẳng tại hai điể...

14. Đường parabol $y ^ { 2 } = 4 x$ tiêu điểm $F$ của đường parabol giao với đường thẳng tại hai điểm $A , B$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$, thì đường tròn có đường kính là đoạn thẳng $A B$ chắc chắn là ( )

A. A. qua điểm gốc
B. B. Sau khi điểm $( - 1,0 )$
C. C. Tiếp xúc với đường thẳng $x = - 1$
D. D. Tiếp xúc với đường thẳng $y = - 1$

Answer

Answer: C

Solution: Đặt $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$, sử dụng công thức bán kính tiêu cự có thể tính được: $| A B | = x _ { 1 } + x _ { 2 } + p$, và $^ { M \left( \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } \right) }$, do đó $M$ Đến đường thẳng $x = - 1$ khoảng cách là $d = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + p } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } | A B |$ , vì vậy đường tròn có đường kính là đoạn thẳng $A B$ nhất định tiếp xúc với đường thẳng $x = - 1$ .

Question 14

Question 14: 15. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? ( )

15. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai? ( )

A. A. Đường thẳng $y = 5 x - 3$ có điểm cắt với trục $^ { y }$ là ${ } ^ { - 3 }$
B. B. Vector hướng của đường thẳng $\sqrt { 3 } x - y + 1 = 0$ là $( - \sqrt { 3 } , - 3 )$
C. C. Quá điểm ${ } ^ { ( 3,4 ) }$ và tại $x , y _ { \text {轴上的截距相等的直线方程为 } } x + y - 7 = 0$
D. D. $A ( 1,3 ) , B ( 2,5 ) , C ( - 2 , - 3 )$ Ba điểm thẳng hàng

Answer

Answer: C

Question 15

Question 15: 16. Phương trình $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ biểu thị hình tròn, thì phạm vi giá...

16. Phương trình $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ biểu thị hình tròn, thì phạm vi giá trị của $m$ là ( )

A. A. $( - \infty , - 2 ) \cup ( 6 , + \infty )$
B. B. $( - 2,6 )$
C. C. $( - ¥ , - 6 ) \cup ( 2 , + ¥ )$
D. D. $( - 6,2 )$

Answer

Answer: A

Solution: Từ đề bài có thể suy ra $m ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( m + 4 ) > 0$, tức là $m ^ { 2 } - 4 m - 12 > 0$, giải được $m < - 2$ hoặc $m > 6$. Do đó, chọn: A

Question 16

Question 16: 17. Hình elip có cùng tiêu điểm với hình elip $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 ...

17. Hình elip có cùng tiêu điểm với hình elip $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ và đi qua điểm $( 5,3 )$ có phương trình chuẩn là ( )

A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 24 } + \frac { y ^ { 2 } } { 40 } = 1$
B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$
C. C. $\frac { x ^ { 2 } } { 36 } + \frac { y ^ { 2 } } { 20 } = 1$
D. D. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 26 } = 1$

Answer

Answer: B

Solution: Giải: Theo đề bài, tiêu điểm của elip $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ là $( - 4,0 )$ và $( 4,0 )$, do đó yêu cầu tiêu điểm của elip nằm trên trục $x$ và ${ } ^ { c = 4 }$ ; do elip này đi qua điểm $( 5,3 )$ , nên có $2 a = \sqrt { 81 + 9 } = \sqrt { 1 + 9 } = 4 \sqrt { 10 }$ , thì $a = 2 \sqrt { 10 }$ , nên $b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 40 - 16 } = \sqrt { 24 }$ ; do đó, phương trình chuẩn của elip phải là $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$ ;

Question 17

Question 17: 18. Nếu khoảng cách từ một điểm trên đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ...

18. Nếu khoảng cách từ một điểm trên đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ đến tiêu điểm $( - \sqrt { 5 } , 0 )$ lớn hơn khoảng cách đến tiêu điểm $( \sqrt { 5 } , 0 )$ $b$, thì phương trình của đường hyperbola đó là ( ).

A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$
B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = 1$
C. C. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$
D. D. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

Answer

Answer: D

Solution: Theo đề bài $c = \sqrt { 5 }$, dựa trên định nghĩa của đường hyperbol, ta có $2 a = b$ và $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$, vì vậy $5 a ^ { 2 } = 5$ , ta có $a ^ { 2 } = 1 , b ^ { 2 } = 4$ , do đó phương trình của đường hyperbola là $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ,

Question 18

Question 18: 19. "$0 < a < 3$" là "độ lệch tâm của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 }...

19. "$0 < a < 3$" là "độ lệch tâm của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ lớn hơn 2" ( )

A. A. Điều kiện đầy đủ và không cần thiết
B. B. Điều kiện cần nhưng không đủ
C. C. Điều kiện cần và đủ
D. D. Không đủ và không cần thiết

Answer

Answer: C

Solution: Nếu hệ số ly tâm của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ lớn hơn ${ } _ { 2 }$, thì $\left\{ \begin{array} { l } e = \sqrt { \frac { a + 9 } { a } } > 2 \\ a > 0 \end{array} \right.$, giải được ${ } _ { 0 < a < 3 }$, do đó " $0 < a < 3$" là điều kiện cần và đủ để "hệ số ly tâm của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ lớn hơn 2";

Question 19

Question 19: 20. Khoảng cách từ tâm của đường tròn $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ đến đường tiệm cận của đ...

20. Khoảng cách từ tâm của đường tròn $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ đến đường tiệm cận của đường hyperbola $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ là ( )

A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
B. B. $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
C. C. $\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 }$
D. D. $\frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer

Answer: B

Solution: Trung tâm của đường tròn $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ là $( 0,1 )$, đường tiệm cận của đường hyperbol $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ là $y = \pm \frac { 1 } { 2 } x$, tức là $x \pm 2 y = 0$ Vì vậy, khoảng cách từ tâm đến đường tiệm cận là $\frac { | 2 | } { \sqrt { 5 } } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ .

Question 20

Question 20: 21. Góc nghiêng của đường thẳng ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ là ().

21. Góc nghiêng của đường thẳng ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ là ().

A. A. $150 ^ { \circ }$
B. B. $120 ^ { \circ }$
C. C. $60 ^ { \circ }$
D. D. $- 30 ^ { \circ }$

Answer

Answer: A

Solution: Theo đề bài, độ dốc của đường thẳng $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ là $k = - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$, do đó góc nghiêng của đường thẳng $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ là $150 ^ { \circ }$.

Question 21

Question 21: 22. Nếu độ dài của đoạn thẳng ${ } ^ { x - y - 2 = 0 }$ bị cắt bởi đường tròn $^ { ( x - a ) ^ { 2 }...

22. Nếu độ dài của đoạn thẳng ${ } ^ { x - y - 2 = 0 }$ bị cắt bởi đường tròn $^ { ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 }$ là ${ } ^ { 2 \sqrt { 2 } }$, thì số thực $a _ { \text {的值为( )} }$

A. A. - 1 hoặc 3
B. B. 1 hoặc 3
C. C. 0 hoặc 4
D. D. - 2 hoặc 6

Answer

Answer: C

Solution: Giải: Từ hình tròn $( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ có tâm $( a , 0 )$ và bán kính $r = 2$, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $d = \frac { | a - 2 | } { \sqrt { 2 } }$ và độ dài dây cung là $= 2 \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 4 - \frac { ( a - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$, ta có: $a = 0 ^ { \text {或 } } 4$ .

Question 22

Question 22: 23. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \fra...

23. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ lần lượt là $F _ { 1 } , F _ { 2 } , P$ là một điểm trên nhánh phải của đường hyperbola, và $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , O H \perp P F _ { 1 } 于 _ { H } , O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$, thì phương trình đường tiệm cận của đường hyperbola là

A. A. $y = \pm 4 x$
B. B. $y = \pm 3 x$
C. C. $y = \pm 2 x$
D. D. $y = \pm x$

Answer

Answer: D

Solution: Giải: Khi $x = c$, thay vào đường hyperbola ta được $y = \pm \frac { b ^ { 2 } } { a }$, nên $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { b ^ { 2 } } { a }$, lại $\left| P F _ { 1 } \right| - \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a$, nên $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a }$ Vì $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , ~ O H \perp P F _ { 1 }$ , nên $\triangle F _ { 1 } O H \sim \triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ Từ tam giác tương tự, có thể thấy $\frac { | O H | } { \left| P F _ { 2 } \right| } = \frac { \left| O F _ { 1 } \right| } { \left| P F _ { 1 } \right| }$ , vì $O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$ nên $\frac { 1 } { 3 } = \frac { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } { 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a } }$ , $\therefore \frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } b ^ { 2 } = b ^ { 2 }$ , thì $a = b$ , nên phương trình đường tiệm cận của đường hyperbol là $y = \pm x$ ;

Question 23

Question 23: 24. Nếu $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } ...

24. Nếu $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$, thì số đường tiếp tuyến chung của $\oplus C _ { 1 }$ và $\odot C _ { 2 }$ là

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: B

Solution: $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0$ , tức là $\odot C _ { 1 } : ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 16$ , tâm $C _ { 1 } ( 1,1 ) , r _ { 1 } = 4$ , $\odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$ tức là $\odot C _ { 2 } : ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } = 9$ , tâm $C _ { 2 } ( - 2 , - 3 ) , r _ { 1 } = 3$ , thì $\left| C _ { 1 } C _ { 2 } \right| = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 5$ , nên $r _ { 1 } - r _ { 2 } < 5 < r _ { 1 } + r _ { 2 }$ , nên hai đường tròn giao nhau, có 2 đường tiếp tuyến chung.

Question 24

Question 24: 25. Đã biết phương trình tổng quát của đường tròn là $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$, th...

25. Đã biết phương trình tổng quát của đường tròn là $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$, thì bán kính của đường tròn là

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: C

Solution: Từ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ có thể suy ra phương trình chuẩn của hình tròn: $( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 9$ , do đó bán kính của hình tròn là 3.

Question 25

Question 25: 26. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của elip $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^...

26. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của elip $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \quad ( a > b > 0 )$ lần lượt là $F _ { 1 } , F _ { 2 } , P$ và một điểm trên elip, $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ , nếu khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $P F _ { 1 }$ là $\frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a$ , thì độ lệch tâm của elip là

A. A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$
B. B. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
C. C. $\frac { \sqrt { 7 } } { 3 }$
D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: Đặt $\left| P F _ { 1 } \right| = m , \left| P F _ { 2 } \right| = n$, thực hiện ${ } ^ { O N \perp P F _ { 1 } } , \quad F _ { 2 } M \perp P F _ { 1 }$, ![](/images/questions/analytic-geometry/image-003.jpg) Theo ý nghĩa của đề bài, có thể suy ra $| O N | = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a , \left| F _ { 2 } M \right| = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a , \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$, tức là có $| P M | = \frac { 1 } { 3 } a , \left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 2 } { 3 } a$, từ $m + n = 2 a$, có thể suy ra $\left| M F _ { 1 } \right| = a$, Vì $\left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c$ , trong tam giác vuông $F _ { 1 } M F _ { 2 }$ , từ định lý Pythagoras có $a ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a \right) ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 }$ , có thể có $e = \frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ .

Question 26

Question 26: 27. Đã biết $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R }...

27. Đã biết $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R }$, đường thẳng ${ } ^ { l } : a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 , l _ { 2 } : a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } = 0$, thì "$\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } = \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } }$" là "đường thẳng $l _ { 1 }$ song song với $l _ { 2 }$".

A. A. Điều kiện không cần thiết
B. B. Điều kiện cần nhưng không đủ
C. C. Điều kiện cần và đủ
D. D. Không phải là điều kiện đầy đủ cũng không phải là điều kiện cần thiết

Answer

Answer: D

Solution: Khi $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$, hai đường thẳng có thể song song hoặc trùng nhau, do đó điều kiện đầy đủ không thành lập; Khi $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$ thì $b _ { 1 }$ và $b _ { 2 }$ có thể đều bằng 0, do đó $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ không nhất thiết đúng, nên tính cần thiết không thành lập; Tóm lại, $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ là điều kiện không đầy đủ và không cần thiết của $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$.

Question 27

Question 27: 29. Đã biết tiêu điểm của parabol $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ là $F , P$ là một điểm trên ...

29. Đã biết tiêu điểm của parabol $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ là $F , P$ là một điểm trên parabol $C$ và $| P F | = 3$, thì khoảng cách từ điểm ${ } _ { P }$ đến gốc tọa độ $O$ là ( )

A. A. 2
B. B. $2 \sqrt { 2 }$
C. C. $2 \sqrt { 3 }$
D. D. 4

Answer

Answer: C

Solution: $4 y = x ^ { 2 }$ , thì phương trình đường chuẩn là ${ } ^ { y = - 1 }$ , giả sử $P ( m , n )$ , từ đề bài có thể suy ra $n + 1 = 3$ , giải được $n = 2$ , thì $m ^ { 2 } = 8$ , do đó khoảng cách từ điểm $P$ đến gốc tọa độ $O$ là $\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 4 } = 2 \sqrt { 3 }$ .

Question 28

Question 28: 30. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - ...

30. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$ lần lượt là $F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$. Nếu trên nhánh trái của đường hyperbola có điểm $P$ sao cho $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 3 } { 2 } C - 2 a$, thì khoảng giá trị của hệ số ly tâm là ( ).

A. A. $( 1,4 ]$
B. B. $[ 6 , + \infty )$
C. C. $[ 4 , + \infty )$
D. D. $[ 2 , + \infty )$

Answer

Answer: B

Question 29

Question 29: 31. Giả sử $F$ là tiêu điểm bên phải của elip $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$, và khoảng...

31. Giả sử $F$ là tiêu điểm bên phải của elip $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$, và khoảng cách lớn nhất giữa điểm $F$ là $M$ , khoảng cách nhỏ nhất là $m$ , thì khoảng cách từ điểm ${ } _ { F }$ trên elip đến điểm có tọa độ là ( )

A. A. $( 0 , \pm 2 )$
B. B. $( 0 , \pm 1 )$
C. C. $\left( \sqrt { 3 } , \pm \frac { 1 } { 2 } \right)$
D. D. $\left( \sqrt { 2 } , \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right)$

Answer

Answer: B

Solution: Giải: $\because \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$, do đó $a = 2 , b = 1 , c = \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$, và khoảng cách lớn nhất giữa điểm trên đường tròn và tiêu điểm bên phải $F$ là $M$, khoảng cách nhỏ nhất là $m$; $\therefore M = a + c , n = a - c$ , $\therefore \frac { 1 } { 2 } ( M + m ) = a = 2$ , thì điểm trên elip có khoảng cách đến tiêu điểm bên phải $F$ bằng $\frac { 1 } { 2 } ( M + m )$ là hai đỉnh của trục ngắn, tọa độ của chúng là $( 0 , \pm 1 )$ .

Question 30

Question 30: 32. $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ là một điểm trên đường tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$...

32. $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ là một điểm trên đường tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ không trùng với tâm của đường tròn, thì vị trí tương đối giữa đường thẳng $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ và đường tròn đó là

A. A. tangent
B. B. giao nhau
C. C. xa cách
D. D. Tương giao hoặc tương cắt

Answer

Answer: C

Solution: Theo ý nghĩa của đề bài, $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ là một điểm nằm trong đường tròn $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ nhưng không phải là tâm của đường tròn, thì $x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } < 1$ , và khoảng cách từ tâm của hình tròn: $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ đến đường thẳng $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ là $d = \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } } > 1 = r$ , do đó mối quan hệ vị trí giữa đường thẳng $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ và hình tròn này là tách biệt.

Question 31

Question 31: 33. Đã biết đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ , điểm ...

33. Đã biết đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ , điểm $F$ là tiêu điểm bên phải của $C$ , nếu điểm $P$ là điểm động trên nhánh trái của $C$ , giả sử điểm $P$ đến $C$ là $d$ , thì giá trị nhỏ nhất của $d + | P F |$ là ( )

A. A. $2 + 4 \sqrt { 3 }$
B. B. $6 \sqrt { 3 }$
C. C. 8
D. D. 10

Answer

Answer: A

Solution: Từ đường hyperbola $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$, ta có $a = 2 \sqrt { 3 } , b = 2 , F ( 40 )$. Giả sử tiêu điểm trái của đường hyperbola là $F ^ { \prime } ( - 40 )$, ta có thể giả sử một đường tiệm cận là $l : y = - \frac { b } { a } x = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$, tức là $x + \sqrt { 3 } y = 0$, làm $P E \perp l$ , chân thẳng đứng là $E$ , tức là $| P E | = d$ , Làm $_ { F \prime } H \perp l$ , chân vuông là $H$ , thì $\left| F ^ { \prime } H \right| = \frac { | - 4 | } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } } = 2$ , ![](/images/questions/analytic-geometry/image-004.jpg) Vì điểm $P$ là điểm động trên nhánh trái của $C$, nên $| P F | - \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a$ , có thể được $| P F | = 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right|$ , do đó ${ } ^ { d + | F P | = | P E | + 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| \text { ,} }$ Từ hình vẽ có thể thấy, khi $P , F ^ { \prime } , E$ ba điểm thẳng hàng, tức là $E$ và $H$ điểm trùng nhau, $2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| _ { \text {取得最小值,} }$ giá trị nhỏ nhất là $2 \times 2 \sqrt { 3 } + \left| F ^ { \prime } H \right| = 4 \sqrt { 3 } + 2$ , tức là $d + | P F | _ { \text {có giá trị nhỏ nhất là } } 4 \sqrt { 3 } + 2$ ,

Question 32

Question 32: 34. Giả sử $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ lần lượt là tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $C : x ^ {...

34. Giả sử $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ lần lượt là tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$, và đường thẳng đi qua $F _ { 2 }$ cắt trục $x$ tại hai điểm $A$ và $B$. Nếu đường thẳng vuông góc với trục $C$ cắt trục $A$ tại hai điểm $B$ và $\triangle A B F _ { 1 }$, thì $x$ và $C$ giao nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Nếu $\triangle A B F _ { 1 }$ là tam giác đều, thì ( )

A. A. $b = 2$
B. B. Tiêu cự của $C$ là $2 \sqrt { 3 }$
C. C. Tỷ lệ ly tâm của $C$ là $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
D. D. Diện tích của $\triangle A B F _ { 1 }$ là $2 \sqrt { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: Từ đường hyperbola $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$, ta có $c = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ \therefore F _ { 1 } \left( - \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right) , ~ F _ { 2 } \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right)$. Thay $x = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } }$ vào phương trình hyperbola, ta được: $1 + b ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$. Giải phương trình, ta được $y = \pm b ^ { 2 }$. Hãy lấy $A \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , b ^ { 2 } \right) , B \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , - b ^ { 2 } \right)$ và $\triangle A B F _ { 1 }$ là tam giác đều, $\tan \angle A F _ { 1 } F _ { 2 } = \tan 30 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } = \frac { \left| A F _ { 2 } \right| } { \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| } = \frac { b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } }$, giải được $b ^ { 2 } = 2$, $\therefore b = \sqrt { 2 } , ~ c = \sqrt { 3 } , ~ 2 c = 2 \sqrt { 3 } , e = \frac { c } { a } = \sqrt { 3 }$ và $S _ { \triangle A B F _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 c \times 2 b ^ { 2 } = 4 \sqrt { 3 }$.

Question 33

Question 33: 35. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \fra...

35. Đã biết hai tiêu điểm trái và phải của đường hyperbola $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ $F _ { 1 } , F _ { 2 } , c$ là bán kính tiêu cự, $P$ là điểm trên đường hyperbol khác với điểm cuối của trục thực, thỏa mãn $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$, thì giá trị của hệ số ly tâm $e$ của đường hyperbol nằm trong khoảng

A. A. $( 1 + \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 3 } )$ B. $( 1 + \sqrt { 2 } , + \infty )$
B. B. $( 1 + \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 3 } )$ B. $( 1 + \sqrt { 2 } , + \infty )$
C. C. $( \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 2 } )$
D. D. $( 1,1 + \sqrt { 2 } )$

Answer

Answer: B

Solution: Vì $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$, nên $e = \frac { c } { a } = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } }$, đặt $P ( m , n ) , F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ là, nên $e = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = - \frac { n } { m - c } \cdot \frac { m + c } { n } = - \frac { m + c } { m - c } = - 1 - \frac { 2 c } { m - c }$ , vì $m > a$ , nên $- 1 - \frac { 2 c } { m - c } > - 1 + \frac { - 2 c } { a - c } = - 1 + \frac { 2 e } { e - 1 }$ , nên $e + 1 > \frac { 2 e } { e - 1 }$ , tức là $e ^ { 2 } - 2 e - 1 > 0$ , giải được $e > 1 + \sqrt { 2 }$ .

Question 34

Question 34: 36. Nếu đường thẳng $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ đi qua điểm cố định $P$, thì tọa độ của điểm $...

36. Nếu đường thẳng $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ đi qua điểm cố định $P$, thì tọa độ của điểm $P$ là ( ).

A. A. $( 3,0 )$
B. B. $( 0,2 )$
C. C. $( 0,3 )$
D. D. $( 2,0 )$

Answer

Answer: B

Solution: Chuyển đổi phương trình đường thẳng thành $( 2 x - 3 y + 6 ) + k ( y - 2 ) = 0$, khi đó $\left\{ \begin{array} { l } y - 2 = 0 \\ 2 x - 3 y + 6 = 0 \text { 即 } \end{array} \left\{ \begin{array} { l } x = 0 \\ y = 2 \text { ,直线 } 2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0 \text { 恒过定点 } ( 0,2 ) \text { ,} \end{array} \right. \right.$

Question 35

Question 35: 37. Đề bài đã biết: Đường thẳng $p :$ đi qua điểm cố định $( 0,2 )$. Đề bài $q : n = 1$ là điều kiện...

37. Đề bài đã biết: Đường thẳng $p :$ đi qua điểm cố định $( 0,2 )$. Đề bài $q : n = 1$ là điều kiện cần và đủ để đường thẳng $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ vuông góc với đường thẳng $l _ { 2 } : y = n x + 1$, thì đề bài nào sau đây là đề bài đúng?

A. A. $p ^ { \wedge } q$
B. B. $p ^ { \wedge } \neg q$
C. C. $\neg p ^ { \wedge } q$
D. D. $\neg p ^ { \vee } q$

Answer

Answer: D

Solution: Giải: Đề bài $p$: Đường thẳng $^ { l : y = m x - 2 }$ đi qua điểm cố định $^ { ( 0 , - 2 ) }$, do đó đề bài $p$ là đề xuất sai, $\neg p$ là đề xuất đúng, do ${ } ^ { n - n } = 0$ luôn đúng, nên đối với bất kỳ ${ } ^ { n \in \mathrm { R } }$ nào, đường thẳng ${ } ^ { l }$ và đường thẳng ${ } ^ { l }$ đều vuông góc, do đó đề xuất $q : n = 1$ là điều kiện đủ nhưng không cần thiết để đường thẳng $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ vuông góc với đường thẳng $l _ { 2 } : y = n x + 1$, do đó đề xuất $q$ là đề xuất sai, $\neg q$ là đề xuất đúng, do đó $p ^ { \wedge } q , p ^ { \wedge } \neg q , ~ \neg p ^ { \wedge } q$ là đề xuất sai, $\neg p ^ { \wedge } q$ là đề xuất đúng,

Question 36

Question 36: 38. Trong hệ tọa độ phẳng $x O y$, cho biết $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ là điểm động trên đường tr...

38. Trong hệ tọa độ phẳng $x O y$, cho biết $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ là điểm động trên đường tròn $C : ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 1$, thì giá trị nhỏ nhất của $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ là ( ).

A. A. 34
B. B. 40
C. C. 44
D. D. 48

Answer

Answer: B

Solution: Đặt $P ( x , y )$, thì $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } = ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 x + 10$ $= 2 \left[ ( x + 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right] + 8$, tức là $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ tương đương với hai lần bình phương khoảng cách từ điểm $P$ đến điểm $Q ( - 1,0 )$ cộng tám, và $| P Q | \geq | Q C | - | P C | = \sqrt { ( 3 + 1 ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } - 1 = 5 - 1 = 4$ , tức là $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } \geq 2 \times 4 ^ { 2 } + 8 = 40$ .

Question 37

Question 37: 39. Cho biết elip $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ và hyperbola $C _ { 2 } :...

39. Cho biết elip $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ và hyperbola $C _ { 2 } : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$, nếu đường tròn có trục lớn của $C _ { 1 }$ làm đường kính với một đường tiệm cận của ${ } ^ { C _ { 2 } }$ giao nhau tại hai điểm $A , B$ và hai điểm giao nhau của elip ${ } ^ { C _ { 1 } }$ với đường tiệm cận đó chia đoạn thẳng $A B$ thành ba phần bằng nhau, thì độ lệch tâm của $C _ { 2 }$ là

A. A. $\sqrt { 3 }$
B. B. 3
C. C. $\sqrt { 5 }$
D. D. 5

Answer

Answer: A

Solution: Đặt $O A _ { \text {的方程为 } } y = k x \left( k > 0 , x _ { 0 } > 0 \right)$ , $\therefore _ { \text {设 } } A \left( x _ { 0 } , k x _ { 0 } \right)$ , từ đó ta có $| O A | = \sqrt { 13 }$ tức là $\sqrt { 1 + k ^ { 2 } } x _ { 0 } = \sqrt { 13 }$ , giải được $x _ { 0 } = \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }$ , do đó $A \left( \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ , $\therefore A B$ có tọa độ điểm ba phần là $\left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ , điểm này nằm trên elip, $\therefore \frac { \left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { 13 } + \left( \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = 1$ , tức là $1 + 13 k ^ { 2 } = 9 \left( 1 + k ^ { 2 } \right)$ , giải được $k ^ { 2 } = 2$ , do đó có $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 2 , b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 }$ , giải được $e = \frac { c } { a } = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 }$ ,

Question 38

Question 38: 40. Hình lập phương $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ có chiều dài cạnh là 5, điểm...

40. Hình lập phương $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ có chiều dài cạnh là 5, điểm $M$ nằm trên cạnh $A B$, và $A M = 2$, điểm $P$ là điểm động nằm trong mặt đáy dưới của hình lập phương $A B C D$ (bao gồm cả ranh giới), và khoảng cách từ điểm động $P$ đến đường thẳng ${ } ^ { A _ { 1 } D _ { 1 } }$ bằng khoảng cách từ điểm $P$ đến điểm $M$ là 25, thì giá trị nhỏ nhất của điểm động $P$ đến điểm $B$ là "Bài tập toán trung học ngày 29 tháng 10 năm 2025".

A. A. $\frac { 7 } { 2 }$
B. B. $2 \sqrt { 3 }$
C. C. $\sqrt { 6 }$
D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: ![](/images/questions/analytic-geometry/image-005.jpg) Như hình vẽ, lấy ${ } ^ { P Q \perp A D } , Q$ làm chân vuông, thì ${ } ^ { P Q \perp }$ mặt phẳng $^ { A D D _ { 1 } A _ { 1 } }$ , qua điểm $Q$ làm ${ } ^ { Q R \perp A D }$ , giao ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ tại $R$ , thì ${ } ^ { A } D _ { 1 } \perp$ mặt phẳng $P Q R$ , do đó $P R$ là khoảng cách từ $P$ đến đường thẳng ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ . Vì $P R ^ { 2 } - P M ^ { 2 } = 25$ và $P R ^ { 2 } - P Q ^ { 2 } = R Q ^ { 2 } = 25$, nên $P M = P Q$. Vì vậy, quỹ đạo của điểm $P$ là đường parabol có đường chuẩn là $A D$ và tiêu điểm là điểm $M$. ![](/images/questions/analytic-geometry/image-006.jpg) Như hình vẽ, thiết lập hệ tọa độ góc vuông, thì phương trình quỹ đạo của điểm $P$ là $y ^ { 2 } = 4 x ( 0 \leq y \leq 4 )$ , điểm $_ { A ( - 1,0 ) , B ( 4,0 ) }$ , giả sử $P \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } , y \right)$ , nên $| P B | = \sqrt { \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } - 4 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { 16 } - y ^ { 2 } + 16 }$ $= \sqrt { \frac { 1 } { 16 } \left( y ^ { 2 } - 8 \right) ^ { 2 } + 12 }$ , do đó khi $y ^ { 2 } = 8 , | P B |$ đạt giá trị nhỏ nhất $2 \sqrt { 3 }$ .

Analytic Geometry

Tổng quan chủ đề

Điểm chính

Mẹo học tập

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Tài liệu học tập liên quan