方差fāngchā

Основная концепция

Дисперсия случайной величины измеряет разброс её значений относительно математического ожидания (среднего значения).

Определение

Для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Обозначения

• $\text{Var}(X)$ или $V(X)$ — дисперсия $X$
• $\sigma^2$ (сигма в квадрате) — распространённый символ дисперсии
• $D(X)$ — альтернативное обозначение (используется в китайских учебниках)

Две формулы

Формула 1: Определение

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Формула 2: Вычислительная (более практичная)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Мнемоника: «Среднее квадратов минус квадрат среднего»

Свойства дисперсии

1. Неотрицательность

$\text{Var}(X) \geq 0$

Равенство выполняется только если $X$ — постоянная.

2. Постоянный множитель

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Примечание: множитель возводится в квадрат.

3. Прибавление постоянной

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Прибавление постоянной не меняет разброс.

4. Комбинированное линейное преобразование

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Сумма независимых переменных

Если $X$ и $Y$ независимы: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Внимание: Это НЕ выполняется для зависимых переменных!

6. Дисперсия постоянной

$\text{Var}(c) = 0$

Распространённые распределения

Распределение	Дисперсия
Бернулли($p$)	$p(1-p)$
Биномиальное($n, p$)	$np(1-p)$
Дискретное равномерное($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Случайная величина $X$ имеет распределение:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Найдите $\text{Var}(X)$.

Решение:

Сначала найдём $E(X)$: $E(X) = 0(0{,}3) + 1(0{,}5) + 2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9$

Найдём $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0{,}3) + 1^2(0{,}5) + 2^2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$

Применяем формулу: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49$

Ответ: $\text{Var}(X) = 0{,}49$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Если $\text{Var}(X) = 4$, найдите $\text{Var}(3X + 2)$.

Решение:

Используя свойство $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Ответ: $36$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если $E(X) = 2$ и $E(X^2) = 8$, найдите $\text{Var}(2X - 3)$.

Решение:

Сначала найдём $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Затем: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Ответ: $16$

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и $X$, что делает его более наглядным.

Дисперсия vs. Математическое ожидание

Свойство	Мат. ожидание $E(X)$	Дисперсия $\text{Var}(X)$
Измеряет	Центр (положение)	Разброс (рассеяние)
Линейное преобразование	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Сумма	Всегда аддитивна	Аддитивна только при независимости

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают возвести коэффициент в квадрат

Неверно: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Верно: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Ошибка 2: Складывают дисперсии зависимых переменных

Неверно: Если $X$ и $Y$ зависимы, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Верно: Это верно только для независимых переменных ✓

❌ Ошибка 3: Путают дисперсию и стандартное отклонение

Неверно: Стандартное отклонение биномиального распределения($n,p$) равно $np(1-p)$ ✗

Верно: Дисперсия равна $np(1-p)$; стандартное отклонение равно $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Советы по изучению

1. ✅ Используйте вычислительную формулу: $E(X^2) - (E(X))^2$ обычно проще
2. ✅ Коэффициент возводится в квадрат: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Проверяйте независимость: дисперсия суммы аддитивна только для независимых переменных
4. ✅ Знайте дисперсию биномиального распределения: $np(1-p)$ часто встречается на экзамене

---

💡 Совет по экзамену: При вычислении дисперсии всегда сначала находите $E(X)$ и $E(X^2)$ по отдельности. Вычислительная формула менее подвержена ошибкам, чем определение!