方差fāngchā

Основная концепция

Дисперсия случайной величины измеряет разброс или рассеяние её значений вокруг ожидаемого значения (среднего).

Определение

Для случайной величины $X$ с математическим ожиданием $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Обозначения

• $\text{Var}(X)$ или $V(X)$ — вариант модели $X$
• $\sigma^2$ (сигма квадрат) — общепринятый символ, обозначающий дисперсию
• $D(X)$ — Альтернативная нотация (используется в китайских учебниках)

Две формулы

«Формула-1»: определение

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Формула 2: Вычислительный подход (более практичный)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Памятка: «Среднее квадратиков минус квадрат среднего»

Свойства дисперсии

1. Неотрицательность

$\text{Var}(X) \geq 0$

Равенство выполняется только при условии, что $X$ является постоянной величиной.

2. Постоянный множитель

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Примечание: Коэффициент возводится в квадрат.

3. Добавление константы

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Добавление константы не изменяет разброс.

4. Комбинированное линейное преобразование

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Сумма независимых переменных

Если $X$ и $Y$ являются независимыми: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Внимание: это НЕ относится к зависимым переменным!

6. Диапазон значений константы

$\text{Var}(c) = 0$

Распространенные распределения

Распределение	Дисперсия
Бернулли ($p$)	$p(1-p)$
Биномиал ($n, p$)	$np(1-p)$
Униформа ($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Практические задачи по CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задания составлены на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Уровень сложности ★★☆☆☆)

Случайная величина $X$ имеет следующее распределение:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Найдите $\text{Var}(X)$.

Решение:

Сначала найдите $E(X)$: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

Найти $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

Примените формулу: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

Ответ: $\text{Var}(X) = 0.49$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Если $\text{Var}(X) = 4$, то найдите $\text{Var}(3X + 2)$.

Решение:

Использование свойства $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Ответ: $36$

---

Пример 3: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Справедливую монету подбрасывают 100 раз. Пусть $X$ — количество выпавших «решек». Найдите $\text{Var}(X)$.

Решение:

$X$ следует за Binomial($n=100$, $p=0.5$).

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

Ответ: $\text{Var}(X) = 25$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если есть $E(X) = 2$ и $E(X^2) = 8$, найдите $\text{Var}(2X - 3)$.

Решение:

Сначала найдите $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Затем: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Ответ: $16$

---

Пример 5: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★★)

Если $X$ и $Y$ независимы от $\text{Var}(X) = 2$ и $\text{Var}(Y) = 3$, найдите $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$.

Решение:

Использование свойств: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

Ответ: $35$

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и $X$, что облегчает его интерпретацию.

Дисперсия и математическое ожидание

Недвижимость	Ожидаемое значение $E(X)$	Вариант $\text{Var}(X)$
Меры	Центр (местоположение)	Распределение (дисперсия)
Линейное преобразование	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Сумма	Всегда аддитивно	Добавляется только в том случае, если является независимым

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Забыть возвести коэффициент в квадрат

Неправильно: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Правильно: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Ошибка 2: Добавление дисперсий зависимых переменных

Неверно: Если $X$ и $Y$ являются зависимыми, то $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Правильно: Это справедливо только для независимых переменных ✓

❌ Ошибка 3: Путаница между дисперсией и стандартным отклонением

Неверно: Стандартное отклонение биномиального распределения ($n,p$) равно $np(1-p)$ ✗

Правильно: дисперсия — $np(1-p)$; стандартное отклонение — $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Советы по учебе

1. ✅ Используйте вычислительную формулу: $E(X^2) - (E(X))^2$, как правило, проще
2. ✅ Помните, что коэффициент возводится в квадрат: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Проверка независимости: дисперсия суммы складывается только для независимых переменных
4. ✅ Знать дисперсию биномиального распределения: $np(1-p)$ часто встречается в экзаменационных заданиях

---

💡 Совет по сдаче экзамена: При вычислении дисперсии всегда сначала отдельно вычисляйте $E(X)$ и $E(X^2)$. Формула для вычисления менее подвержена ошибкам, чем определение!