数学期望shùxué qīwàng

Основная концепция

Математическое ожидание (или ожидаемое значение) случайной величины -- это взвешенное среднее всех возможных значений, где весами являются вероятности.

Дискретная случайная величина

Для дискретной случайной величины $X$, принимающей значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Обозначения

• $E(X)$ - Математическое ожидание $X$
• $\mu$ (мю) - Часто используется для обозначения математического ожидания
• $\overline{X}$ - Выборочное среднее (оценка $E(X)$)

Интерпретация

Математическое ожидание представляет:

• Долгосрочное среднее многих независимых испытаний
• Центр масс распределения вероятностей
• Справедливую стоимость в контексте азартных игр/финансов

Важно: Математическое ожидание может не являться фактически возможным результатом.

Свойства математического ожидания

1. Линейность

$E(aX + b) = aE(X) + b$

где $a$ и $b$ -- константы.

2. Сумма случайных величин

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Это выполняется, даже если $X$ и $Y$ НЕ являются независимыми.

3. Произведение независимых величин

Если $X$ и $Y$ независимы: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Математическое ожидание константы

$E(c) = c$

Распространённые распределения

Распределение	Математическое ожидание
Бернулли($p$)	$p$
Биномиальное($n, p$)	$np$
Равномерное($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Геометрическое($p$)	$\dfrac{1}{p}$

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Случайная величина $X$ имеет следующее распределение:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Найдите $E(X)$.

Решение: $E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3$ $= 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

Ответ: $E(X) = 2{,}1$

---

Пример 2: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Если $E(X) = 3$, найдите $E(2X + 5)$.

Решение:

Используя свойство линейности: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Ответ: $11$

---

Пример 3: Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Честную монету подбрасывают 100 раз. Пусть $X$ -- количество выпадений орла. Найдите $E(X)$.

Решение:

$X$ имеет биномиальное распределение с $n = 100$, $p = 0{,}5$.

$E(X) = np = 100 \times 0{,}5 = 50$

Ответ: $E(X) = 50$

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Путаница E(X) с наиболее вероятным значением

Неправильно: $E(X)$ -- это значение, которое встречается чаще всего ✗

Правильно: $E(X)$ -- это взвешенное среднее; мода -- это наиболее частое значение ✓

❌ Ошибка 2: Забывают, что сумма вероятностей должна равняться 1

Перед вычислением проверьте: $\sum p_i = 1$

❌ Ошибка 3: Неправильное применение линейности

Неправильно: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Правильно: В общем случае $E(X^2) \neq (E(X))^2$. Разность -- это дисперсия! ✓

Связь с дисперсией

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Или эквивалентно: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Советы по изучению

1. ✅ Запомните формулу: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Освойте линейность: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Знайте распространённые распределения: Математическое ожидание биномиального распределения равно $np$
4. ✅ Не путайте с дисперсией: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 Совет по экзамену: Когда дана таблица распределения вероятностей, сначала убедитесь, что сумма вероятностей равна 1, а затем непосредственно примените определение!