数学期望shùxué qīwàng

Основная концепция

Ожидаемое значение (или математическое ожидание) случайной величины — это среднее взвешенное значение всех возможных значений, где весами являются вероятности.

Дискретная случайная величина

Для дискретной случайной величины $X$, принимающей значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Обозначения

• $E(X)$ — Ожидаемое значение $X$
• $\mu$ (mu) — часто используется для обозначения математического ожидания
• $\overline{X}$ — среднее значение выборки (оценка $E(X)$)

Толкование

Ожидаемое значение представляет собой:

• Среднее значение за длительный период, полученное по результатам множества независимых испытаний
• Центр тяжести распределения вероятностей
• Справедливая стоимость в контексте азартных игр и финансов

Важно: Ожидаемое значение может не совпадать с реально возможным результатом.

Свойства математического ожидания

1. Линейность

$E(aX + b) = aE(X) + b$

где $a$ и $b$ — константы.

2. Сумма случайных величин

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Это верно даже в том случае, если $X$ и $Y$ НЕ являются независимыми.

3. Произведение независимых переменных

Если $X$ и $Y$ являются независимыми: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Ожидаемое значение константы

$E(c) = c$

Распространенные распределения

Распределение	Ожидаемое значение
Бернулли ($p$)	$p$
Бином ($n, p$)	$np$
Униформа ($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Геометрический ($p$)	$\dfrac{1}{p}$

Практические задачи по CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задачи составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Случайная величина $X$ имеет следующее распределение:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Найдите $E(X)$.

Решение: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

Ответ: $E(X) = 2.1$

---

Пример 2: Средний уровень сложности (★★★☆☆)

Если $E(X) = 3$, то найдите $E(2X + 5)$.

Решение:

Использование линейности: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Ответ: $11$

---

Пример 3: Средний уровень (сложность ★★★☆☆)

Справедливую монету подбрасывают 100 раз. Пусть $X$ — количество выпавших «орел». Найдите $E(X)$.

Решение:

$X$ подчиняется биномиальному распределению, как и $n = 100$, $p = 0.5$.

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

Ответ: $E(X) = 50$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

В коробке находятся 3 красных и 2 белых шарика. Два шарика извлекаются без возврата. Пусть $X$ — количество извлеченных красных шариков. Найдите значение $E(X)$.

Решение:

Найдите распределение $X$:

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$ (оба белого цвета)

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$ (один красный, один белый)

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$ (оба красные)

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

Ответ: $E(X) = 1.2$

---

Пример 5: Продвинутый уровень (Уровень сложности ★★★★★)

Если есть $E(X) = 2$ и $E(X^2) = 8$, найдите $E((X-1)^2)$.

Решение:

Развернуть: $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

Ответ: $5$

Применение в реальных условиях

1. «Честные игры»

Игра считается «честной», если $E(\text{profit}) = 0$.

Пример: Вы платите 2 иены, чтобы подбросить монету. «Орел»: выигрыш 4 иены. «Решка»: выигрыша нет. $E(\text{profit}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ Это честная игра.

2. Страхование

Страховые компании используют ожидаемое значение для расчета страховых взносов.

3. Анализ инвестиций

Ожидаемая доходность помогает сравнивать варианты инвестирования.

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Путаница между E(X) и наиболее вероятным значением

Неверно: $E(X)$ — это значение, которое встречается чаще всего ✗

Правильно: $E(X)$ — это средневзвешенное значение; мода — это наиболее часто встречающееся значение ✓

❌ Ошибка 2: забыть, что сумма вероятностей должна равняться 1

Перед расчётом проверьте: $\sum p_i = 1$

❌ Ошибка 3: Неправильное применение линейности

Неправильно: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Правильно: Как правило, $E(X^2) \neq (E(X))^2$. Разница заключается в отклонении! ✓

Связь с дисперсией

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Или, что то же самое: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Советы по учебе

1. ✅ Запомните формулу: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Линейность: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Знать распространенные распределения: математическое ожидание биномиального распределения — $np$
4. ✅ Не путайте с дисперсией: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 Совет по сдаче экзамена: Если вам предложили таблицу вероятностного распределения, сначала проверьте, что сумма вероятностей равна 1, а затем сразу примените определение!