排列páiliè

Основная концепция

Перестановка — это расположение элементов$m$

($m \leq n$

), выбранных из$n$

различных элементов в определенном порядке.

Ключевые характеристики

1. Порядок имеет значение: разные порядки считаются разными перестановками.
2. Без повторений: каждый элемент используется не более одного раза.
3. Выбор: выберите$m$

из$n$

элементов ($m \leq n$

).

Формула перестановки

Общая перестановка

Число перестановок $m$

элементов из$n$

различных элементов обозначается$A_n^m$

или$P_n^m$

или$P(n,m)$

:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Понимание:

• Позиция 1: $n$

вариантов

• Позиция 2: $n-1$

вариантов

• ...
• Позиция$m$

: $n-m+1$

вариантов

По принципу умножения: $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Полная перестановка

Когда$m = n$

, называется полной перестановкой:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Условное обозначение: $0! = 1$

Общие значения

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

Специальные перестановки

1. Перестановка

Количество перестановок, в которых ни один элемент не находится в исходном положении:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Приблизительное значение: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Циклическая перестановка

Расположение$n$

различных элементов по кругу:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Без фиксированной начальной точки, делим на$n$

)

3. Перестановки с повторением

$n$

элементов с$n_1$

одинаковыми,$n_2$

одинаковыми, ...,$n_k$

одинаковыми ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Методы вычисления

Метод 1: Пошаговое умножение

Пример: Выберите 3 человека из 10 для должностей президента, вице-президента и секретаря. Сколько вариантов?

Решение:

• Президент: 10 вариантов
• Вице-президент: 9 вариантов
• Секретарь: 8 вариантов

Ответ: $10 \times 9 \times 8 = 720$

Метод 2: сначала обработать особые элементы

Пример: 5 человек в линии, человек A должен быть первым. Сколько способов?

Решение:

• Первый фиксированный: 1 способ
• Расположить оставшихся 4: $4! = 24$

Ответ: $1 \times 24 = 24$

Метод 3: Взаимодополняющий подсчет

Пример: 5 человек в линии, A и B не соседствуют. Сколько способов?

Решение:

• Общее количество расположений: $5! = 120$

• A и B соседствуют (рассматриваются как одно): $2! \times 4! = 48$

• Не соседствуют:$120 - 48 = 72$

Ответ: $72$

Практические задачи CSCA

[Пример 1] Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Вычислите$A_6^3$

.

Решение:

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Или

Ответ:

---$120$

[Пример 2] Средний (Сложность ★★★☆☆)

5 человек выстраиваются в ряд для фотографии, A и B должны стоять вместе. Сколько вариантов?

Решение:

Метод группировки:

1. Рассматриваем A и B как одну единицу, располагаем 4 единицы: $4! = 24$

2. Располагаем A и B внутри: $2! = 2$

Ответ:$24 \times 2 = 48$

Распространенные заблуждения

❌ Заблуждение 1: Путаница между перестановкой и комбинацией

Неправильно: Не учитывать порядок, рассматривать перестановку как комбинацию.

Правильно: Перестановка упорядочена, комбинация неупорядочена.

❌ Заблуждение 2: Забывание об особых ограничениях

Неправильно: Игнорирование условий, таких как «первая цифра не может быть 0».

Правильно: сначала обрабатывать особые позиции или элементы

Связь с

$A_n^m = C_n^m \times m!$

комбинацией

Понимание:

• Выбрать$m$

из$n$

: $C_n^m$

• Расположить эти$m$

элементы: $m!$

Советы по изучению

1. ✅ Понять суть: перестановка подчеркивает порядок

2. ✅ Освоить формулу:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Практикуйте техники: сначала особые элементы, группировка, вставка, дополнение

4. ✅ Анализ случаев: сложные проблемы требуют классификации

---

💡 Совет по экзамену: Перестановка является основой комбинаторики, обязательной в CSCA! Составляет около 40% задач по подсчету. Ключевым моментом является освоение анализа случаев и специальных техник обработки.