组合zǔhé

Основная концепция

Комбинация — это выбор$m$

элементов ($m \leq n$

) из$n$

различных элементов без учета порядка.

Ключевые характеристики

1. Порядок не имеет значения: одни и те же элементы в разном порядке считаются одной комбинацией
2. Без повторений: каждый элемент используется не более одного раза
3. Выбор: выбрать$m$

из$n$

элементов ($m \leq n$

)

Отличие от перестановки

• Перестановка: упорядоченная,$\{A, B, C\}$

и$\{B, A, C\}$

разные

• Комбинация: неупорядоченная,$\{A, B, C\}$

и$\{B, A, C\}$

одинаковые

Формула комбинации

Число комбинаций $m$

элементов из$n$

различных элементов, обозначается$C_n^m$

или$\binom{n}{m}$

или$C(n,m)$

:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Понимание:

• Сначала распределите: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• Удалите внутренний порядок: $A_m^m = m!$

• Результат:$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Свойства комбинаций

1.

$C_n^m = C_n^{n-m}$

Симметрия

Значение: Выбор$m$

из$n$

= Оставление$n-m$

из$n$

2. Тождество

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Паскаля

Значение: Включить конкретный элемент + Исключить конкретный элемент

3. Особые значения

-$C_n^0 = 1$

(не выбирать ничего, один способ) -$C_n^1 = n$

(выбрать один,$n$

вариантов) -$C_n^n = 1$

(выбрать все, один способ)

4. Сумма бинома$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

(Общее количество способов выбрать любое количество элементов из$n$

)

Методы вычисления

Метод 1: Использование

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

симметрии### Метод 2: Тождество

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

Паскаля### Метод 3: Упрощение путем отмены

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

Практические задачи CSCA

[Пример 1] Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Вычислите$C_7^3$

.

Решение:

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Ответ:

---$35$

[Пример 2] Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Из 10 мальчиков и 8 девочек выберите 5 человек для команды, в которой будет не менее 2 девочек. Сколько способов?

Решение:

Анализ случаев:

Случай 1: 2 девочки, 3 мальчика:

$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

Случай 2: 3 девочки, 2 мальчика: $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

Случай 3: 4 девочки, 1 мальчик: $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

Случай 4: 5 девочек, 0 мальчиков: $C_8^5 = 56$

Ответ: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

Распространенные заблуждения

❌ Заблуждение 1: Путаница между комбинацией и перестановкой

Неправильно: Использование$C_n^5$

для расположения 5 человек в линию.

Правильно: Линия имеет порядок, следует использовать$A_n^5$

❌ Заблуждение 2: Забывание анализа случаев

Неправильно: Прямой расчет «не менее 2 девочек».

Правильно: Разбить на случаи: 2 девочки, 3 девочки, 4 девочки, 5 девочек

Связь с перестановкой

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

Советы по изучению

1. ✅ Понять суть: Комбинация игнорирует порядок

2. ✅ Освоить формулу:$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ Запомнить свойства: Симметрия, тождество Паскаля

4. ✅ Анализ случаев: «не менее», «не более» требуют рассмотрения случаев

5. ✅ Отличие от перестановки: проверьте, имеет ли значение порядок

---

💡 Совет по экзамену: Комбинации — ключ к комбинаторике, обязательный элемент CSCA! Составляют около 60 % задач на подсчет. Анализ случаев и включение-исключение — важные техники.