指数函数zhǐshù hánshù

Основная концепция

Показательная функция - это функция вида:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Где:

• $a$ - основание (должно быть положительным и не равным 1)
• $x$ - показатель степени (переменная)

Важное отличие от степенной функции: В показательной функции переменная находится в показателе степени; в степенной функции $x^n$ переменная находится в основании.

Область определения и область значений

• Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа)
• Область значений: $(0, +\infty)$ (все положительные действительные числа)

Замечание: $a^x > 0$ для всех действительных $x$ при $a > 0$.

Основные свойства

1. Проходит через точку (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{для всех } a > 0$

Каждая показательная функция проходит через точку $(0, 1)$.

2. Всегда положительна

$a^x > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$

3. Монотонность

• Если $a > 1$: $f(x) = a^x$ строго возрастает
• Если $0 < a < 1$: $f(x) = a^x$ строго убывает

4. Свойства степеней

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

Характеристики графика

При $a > 1$ (например, $y = 2^x$)

• Возрастает слева направо
• Стремится к 0 при $x \to -\infty$
• Неограниченно растёт при $x \to +\infty$
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$

При $0 < a < 1$ (например, $y = (1/2)^x$)

• Убывает слева направо
• Неограниченно растёт при $x \to -\infty$
• Стремится к 0 при $x \to +\infty$
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$

Сравнение значений

При $a > 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

При $0 < a < 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

Правило запоминания: "Основание > 1: больший показатель - большее значение; Основание < 1: больший показатель - меньшее значение"

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Сравните значения: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

Решение: Поскольку основание $2 > 1$, $y = 2^x$ возрастает.

Так как $0.5 > 0.3 > -0.1$: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

Ответ: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

---

Пример 2: Средний (Сложность ★★★☆☆)

Сравните: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

Решение:

Для $0.5^{-0.1}$ и $0.5^{0.1}$: Поскольку $0 < 0.5 < 1$, $y = 0.5^x$ убывает. Значит $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

Для $0.5^{0.1}$: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

Для $1.5^{0.1}$: Поскольку $1.5 > 1$ и $0.1 > 0$, то $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

Для $0.5^{-0.1}$: Это равно $2^{0.1} > 1$.

Сравнение $2^{0.1}$ и $1.5^{0.1}$: Так как $2 > 1.5$ и показатель положительный: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

Ответ: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Найдите область значений $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$.

Решение:

Пусть $t = 2^x$. Так как $x \in [-1, 2]$: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

Тогда $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$.

Следовательно: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

Для $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$:

• Минимум при $t = 1$: $f = 0 + 1 = 1$
• Проверка концов отрезка:
  • При $t = \dfrac{1}{2}$: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • При $t = 4$: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

Область значений: $[1, 10]$

Специальные показательные функции

Натуральная показательная функция

$f(x) = e^x \quad \text{где } e \approx 2.71828$

Это самая важная показательная функция в математическом анализе, так как $(e^x)' = e^x$.

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Путаница со степенной функцией

Неправильно: $x^2$ - это показательная функция ✗

Правильно: $2^x$ - показательная функция (переменная в показателе), $x^2$ - степенная функция ✓

❌ Ошибка 2: Неправильное направление неравенства

Неправильно: Так как $0.5 < 1$, то $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

Правильно: Для $0 < a < 1$ больший показатель даёт меньшее значение: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ Ошибка 3: Забыть, что $a^x > 0$

Неправильно: Уравнение $2^x = -1$ имеет решение ✗

Правильно: Для всех $x$, $2^x > 0$, поэтому уравнение не имеет решения. ✓

Советы по изучению

1. ✅ Освоить два случая: $a > 1$ (возрастание) vs $0 < a < 1$ (убывание)
2. ✅ Использовать подстановку: Пусть $t = a^x$ для приведения к алгебраическому уравнению
3. ✅ Помнить об асимптоте: $y = 0$ всегда является горизонтальной асимптотой
4. ✅ Проверять положение переменной: Переменная в показателе = показательная функция

---

💡 Совет для экзамена: При решении показательных уравнений используйте подстановку $t = a^x$ для приведения к алгебраическим уравнениям. Помните: $t > 0$!