분산 | CSCA Math Glossary

핵심 개념

확률변수의 분산은 기댓값(평균) 주위로 값들이 얼마나 퍼져 있는지를 측정한다.

정의

기댓값이 $\mu = E(X)$ 인 확률변수 $X$ 에 대해:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

표기법

$\text{Var}(X)$ 또는 $V(X)$ - $X$ 의 분산
$\sigma^2$ (시그마 제곱) - 분산의 일반적인 기호
$D(X)$ - 대체 표기법 (중국 교과서에서 사용)

두 가지 공식

공식 1: 정의식

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

공식 2: 계산식 (더 실용적)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

암기 요령: "제곱의 평균 빼기 평균의 제곱"

분산의 성질

1. 비음수성

$\text{Var}(X) \geq 0$

등호는 $X$ 가 상수일 때만 성립한다.

2. 상수 인수

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

주의: 인수는 제곱된다.

3. 상수 더하기

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

상수를 더해도 산포도는 변하지 않는다.

4. 결합 선형 변환

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. 독립 변수의 합

$X$ 와 $Y$ 가 독립이면: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

경고: 종속 변수에는 성립하지 않는다!

6. 상수의 분산

$\text{Var}(c) = 0$

주요 분포

분포	분산
베르누이( $p$ )	$p(1-p)$
이항( $n, p$ )	$np(1-p)$
이산 균등( $\{1,...,n\}$ )	$\dfrac{n^2-1}{12}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 요강을 기반으로 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

확률변수 $X$ 의 분포가 다음과 같다:

$X$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

$\text{Var}(X)$ 를 구하라.

풀이:

먼저 $E(X)$ 를 구한다: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

$E(X^2)$ 를 구한다: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

공식 적용: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

답: $\text{Var}(X) = 0.49$

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$\text{Var}(X) = 4$ 일 때, $\text{Var}(3X + 2)$ 를 구하라.

풀이:

성질 $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ 를 이용하면: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

답: $36$

예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$E(X) = 2$ 이고 $E(X^2) = 8$ 일 때, $\text{Var}(2X - 3)$ 을 구하라.

풀이:

먼저 $\text{Var}(X)$ 를 구한다: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

그러면: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

답: $16$

표준편차

표준편차는 분산의 제곱근이다: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

표준편차는 $X$ 와 동일한 단위를 가지므로 해석이 더 용이하다.

분산 vs. 기댓값

성질	기댓값 $E(X)$	분산 $\text{Var}(X)$
측정	중심 (위치)	산포 (분산도)
선형 변환	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
합	항상 가법적	독립일 때만 가법적

흔한 실수

❌ 실수 1: 계수를 제곱하는 것을 잊음

틀림: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

맞음: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ 실수 2: 종속 변수의 분산을 더함

틀림: $X$ 와 $Y$ 가 종속일 때, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

맞음: 독립 변수에 대해서만 성립한다 ✓

❌ 실수 3: 분산과 표준편차를 혼동

틀림: 이항분포( $n,p$ )의 표준편차가 $np(1-p)$ 이다 ✗

맞음: 분산이 $np(1-p)$ 이고, 표준편차는 $\sqrt{np(1-p)}$ 이다 ✓

학습 팁

✅ 계산 공식 사용: $E(X^2) - (E(X))^2$ 가 대개 더 간편하다
✅ 계수는 제곱: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
✅ 독립성 확인: 분산의 합은 독립 변수에 대해서만 성립한다
✅ 이항분포 분산 암기: $np(1-p)$ 는 자주 출제된다

💡 시험 팁: 분산을 계산할 때 항상 $E(X)$ 와 $E(X^2)$ 를 먼저 따로 구하라. 계산 공식이 정의식보다 오류가 적다!

方差fāngchā