方差fāngchā

핵심 개념

확률변수의 분산은 기대값(평균)을 중심으로 한 그 값들의 흩어짐이나 분산을 나타냅니다.

정의

기대값이 $\mu = E(X)$인 확률변수 $X$에 대해:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

기호

• $\text{Var}(X)$ 또는 $V(X)$ - $X$의 변형
• $\sigma^2$ (시그마 제곱) - 분산을 나타내는 일반적인 기호
• $D(X)$ - 대체 표기법 (중국 교과서에서 사용됨)

두 가지 공식

포뮬러 1: 정의

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

포뮬러 2: 계산적 접근법 (보다 실용적)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

기억법: “제곱값의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값”

분산의 성질

1. 비음수성

$\text{Var}(X) \geq 0$

$X$가 일정할 때만 등식이 성립한다.

2. 상수 인자

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

참고: 이 인자는 제곱된 값입니다.

3. 상수 더하기

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

상수를 더해도 분산은 변하지 않습니다.

4. 복합 선형 변환

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. 독립 변수의 합

$X$와 $Y$가 상호 독립적인 경우: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

주의: 이는 종속 변수에는 적용되지 않습니다!

6. 상수의 분산

$\text{Var}(c) = 0$

흔히 볼 수 있는 분포

유통	분산
베르누이($p$)	$p(1-p)$
이항분포($n, p$)	$np(1-p)$
유니폼($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 출제 범위를 바탕으로 구성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

확률변수 $X$의 분포는 다음과 같다:

$X$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

$\text{Var}(X)$를 찾아보세요.

해결책:

먼저, $E(X)$를 찾으세요: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

$E(X^2)$ 찾기: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

수식 적용: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

답: $\text{Var}(X) = 0.49$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$\text{Var}(X) = 4$가 있다면, $\text{Var}(3X + 2)$를 찾으십시오.

해결책:

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ 속성을 사용하여: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

답: $36$

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예제 3: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

공정한 동전을 100번 던졌다. $X$를 앞면이 나온 횟수라고 하자. $\text{Var}(X)$를 구하시오.

해결책:

$X$는 Binomial($n=100$, $p=0.5$)의 후속 모델입니다.

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

답: $\text{Var}(X) = 25$

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예제 4: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$E(X) = 2$와 $E(X^2) = 8$가 있다면, $\text{Var}(2X - 3)$를 찾으세요.

해결책:

먼저, $\text{Var}(X)$를 찾으세요: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

그 다음: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

답: $16$

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예제 5: 상급 (난이도 ★★★★★)

$X$와 $Y$가 $\text{Var}(X) = 2$ 및 $\text{Var}(Y) = 3$와 서로 독립적이라면, $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$를 구하시오.

해결책:

속성 사용: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

정답: $35$

표준편차

표준편차는 분산의 제곱근입니다: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

표준편차는 $X$와 단위가 같기 때문에 해석하기가 더 쉽습니다.

분산 대 기대값

속성	기대값 $E(X)$	변형 $\text{Var}(X)$
대책	센터 (위치)	분산(산포)
선형 변환	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
합계	항상 가산적	독립적인 경우에만 가산

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: 계수를 제곱하는 것을 깜빡하는 것

틀림: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

정답: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ 실수 2: 종속 변수의 분산 합산하기

틀림: $X$와 $Y$가 상호 의존적이라면, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

정답: 이는 독립 변수에게만 적용됩니다 ✓

❌ 실수 3: 분산과 표준편차를 혼동하는 것

틀림: 이항 분포($n,p$)의 표준편차는 $np(1-p)$ ✗

정답: 분산은 $np(1-p)$, 표준편차는 $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

공부 요령

1. ✅ 계산식을 사용하세요: $E(X^2) - (E(X))^2$가 보통 더 쉽습니다
2. ✅ 계수는 제곱된다는 점을 기억하세요: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ 독립성 확인: 독립 변수들 간의 경우에만 합계의 분산이 더해집니다.
4. ✅ 이항 분포의 분산 파악하기: $np(1-p)$는 시험에 자주 출제됩니다.

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💡 시험 팁: 분산을 구할 때는 항상 먼저 $E(X)$와 $E(X^2)$를 따로 구하십시오. 계산식을 사용하는 것이 정의에 따라 구하는 것보다 오류가 덜 발생합니다!