数学期望shùxué qīwàng

핵심 개념

확률변수의 기댓값 (또는 수학적 기대값)은 모든 가능한 값의 가중 평균이며, 가중치는 확률이다.

이산 확률변수

이산 확률변수 $X$가 값 $x_1, x_2, \ldots, x_n$을 확률 $p_1, p_2, \ldots, p_n$으로 취할 때:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

표기법

• $E(X)$ - $X$의 기댓값
• $\mu$ (뮤) - 기댓값을 나타내는 데 자주 사용됨
• $\overline{X}$ - 표본 평균 ($E(X)$의 추정값)

해석

기댓값이 나타내는 것:

• 많은 독립적 시행의 장기 평균
• 확률 분포의 무게중심
• 도박/금융에서의 공정 가치

중요: 기댓값은 실제로 가능한 결과가 아닐 수 있다.

기댓값의 성질

1. 선형성

$E(aX + b) = aE(X) + b$

여기서 $a$와 $b$는 상수이다.

2. 확률변수의 합

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

이것은 $X$와 $Y$가 독립이 아니어도 성립한다.

3. 독립 변수의 곱

$X$와 $Y$가 독립이면: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. 상수의 기댓값

$E(c) = c$

자주 나오는 분포

분포	기댓값
베르누이($p$)	$p$
이항분포($n, p$)	$np$
이산 균등분포($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
기하분포($p$)	$\dfrac{1}{p}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 아래 연습 문제는 CSCA 시험 강의 계획서에 맞추어 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

확률변수 $X$의 분포가 다음과 같다:

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.5	0.3

$E(X)$를 구하라.

해법: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

답안: $E(X) = 2.1$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$E(X) = 3$일 때, $E(2X + 5)$를 구하라.

해법:

선형성을 이용하면: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

답안: $11$

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예제 3: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

공정한 동전을 100번 던진다. $X$를 앞면이 나온 횟수라 하자. $E(X)$를 구하라.

해법:

$X$는 이항분포 $n = 100$, $p = 0.5$를 따른다.

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

답안: $E(X) = 50$

흔한 실수

❌ 실수 1: E(X)와 최빈값 혼동

잘못됨: $E(X)$는 가장 자주 나타나는 값이다 ✗

정확함: $E(X)$는 가중 평균이며, 최빈값(모드)이 가장 빈번한 값이다 ✓

❌ 실수 2: 확률의 합이 1인지 확인하지 않음

계산 전에 확인: $\sum p_i = 1$

❌ 실수 3: 선형성의 잘못된 적용

잘못됨: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

정확함: 일반적으로 $E(X^2) \neq (E(X))^2$. 그 차이가 바로 분산이다! ✓

분산과의 관계

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

또는 동치로: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

학습 팁

1. ✅ 공식 기억하기: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ 선형성 숙지하기: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ 자주 나오는 분포 알기: 이항분포의 기댓값은 $np$
4. ✅ 분산과 혼동하지 않기: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 시험 팁: 확률 분포표가 주어지면, 먼저 확률의 합이 1인지 확인한 후 정의를 직접 적용하세요!