数学期望shùxué qīwàng

핵심 개념

확률변수의 기대값(또는 수학적 기대값)은 모든 가능한 값의 가중 평균이며, 여기서 가중치는 확률이다.

이산 확률변수

확률 $p_1, p_2, \ldots, p_n$에 따라 값 $x_1, x_2, \ldots, x_n$를 갖는 이산 확률변수 $X$에 대해:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

기호

• $E(X)$ - $X$의 기대값
• $\mu$ (mu) - 기대값을 나타내는 데 자주 사용된다
• $\overline{X}$ - 표본 평균 ($E(X)$의 추정치)

해석

기대값은 다음을 나타냅니다:

• 수많은 독립적인 임상시험의 장기 평균
• 확률 분포의 질량 중심
• 도박/금융 맥락에서의 공정가치

중요: 기대값이 실제로 발생할 수 있는 결과와 다를 수 있습니다.

기대값의 성질

1. 선형성

$E(aX + b) = aE(X) + b$

여기서 $a$와 $b$는 상수이다.

2. 확률변수의 합

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$X$와 $Y$가 서로 독립적이지 않은 경우에도 마찬가지입니다.

3. 독립 변수의 곱

$X$와 $Y$가 서로 독립적이라면: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. 상수의 기대값

$E(c) = c$

흔히 볼 수 있는 분포

유통	기대값
베르누이($p$)	$p$
이항분포($n, p$)	$np$
유니폼($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
기하학($p$)	$\dfrac{1}{p}$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 커리큘럼을 바탕으로 구성되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

확률변수 $X$는 다음과 같은 분포를 가진다:

$X$	1	2	3
$P$	0.2	0.5	0.3

$E(X)$를 찾아보세요.

해결책: $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

답: $E(X) = 2.1$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$E(X) = 3$가 있다면, $E(2X + 5)$를 찾으십시오.

해결책:

선형성 활용: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

답: $11$

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예제 3: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

공정한 동전을 100번 던졌다. $X$를 앞면이 나온 횟수라고 하자. $E(X)$를 구하시오.

해결책:

$X$는 $n = 100$, $p = 0.5$와 마찬가지로 이항 분포를 따릅니다.

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

답: $E(X) = 50$

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예제 4: 상급 (난이도 ★★★★☆)

한 상자에는 빨간 공 3개와 흰 공 2개가 들어 있다. 공을 두 개를 되돌리지 않고 뽑는다. $X$를 뽑은 빨간 공의 개수로 하자. $E(X)$를 구하시오.

해결책:

$X$의 분포를 구하십시오:

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$ (둘 다 흰색)

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$ (빨간색 1개, 흰색 1개)

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$ (둘 다 빨간색)

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

답: $E(X) = 1.2$

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예제 5: 상급 (난이도 ★★★★★)

$E(X) = 2$와 $E(X^2) = 8$가 있다면, $E((X-1)^2)$를 찾으세요.

해결책:

펼치기: $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

답: $5$

실생활에서의 활용

1. 페어 게임

$E(\text{profit}) = 0$일 때, 그 게임은 “공정한” 게임이다.

예시: 동전 던지기를 하려면 2엔을 내야 합니다. 앞면이 나오면 4엔을 받습니다. 뒷면이 나오면 아무것도 받지 못합니다. $E(\text{profit}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ 이건 공정한 경기입니다.

2. 보험

보험사들은 기대값을 바탕으로 보험료를 책정합니다.

3. 투자 분석

기대 수익률은 투자 대안을 비교하는 데 도움이 됩니다.

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: E(X)를 가장 가능성이 높은 값으로 오해하기

틀림: $E(X)$는 가장 자주 나타나는 값이다 ✗

정답: $E(X)$는 가중 평균이며, 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다 ✓

❌ 실수 2: 확률의 합이 반드시 1이 되어야 한다는 사실을 잊는 것

계산하기 전에 다음을 확인하십시오: $\sum p_i = 1$

❌ 실수 3: 선형성 적용 오류

틀림: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

정답: 일반적으로 $E(X^2) \neq (E(X))^2$입니다. 차이점은 분산입니다! ✓

분산과의 관계

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

또는 다음과 같이 표현할 수도 있습니다: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

공부 요령

1. ✅ 공식을 기억하세요: $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ 선형성 숙달: $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ 일반적인 확률 분포 파악하기: 이항 분포의 기대값은 $np$입니다.
4. ✅ 분산과 혼동하지 마세요: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 시험 팁: 확률 분포표가 주어지면, 먼저 확률의 합이 1이 되는지 확인한 다음, 정의에 따라 직접 계산하세요!