排列páiliè

핵심 개념

순열이란 서로 다른 개$m$

$n$

$m \leq n$

요소 중 개를 선택하여 특정 순서로 배열한 것을 말한다.

주요 특성

1. 순서가 중요하다: 순서가 다르면 서로 다른 순열로 간주됨
2. 중복 없음: 각 요소는 최대 한 번만 사용됨
3. 선택: 개$m \leq n$

요소$n$

중 개를$m$

선택함

순열 공식

일반 순열

구별되는 개$n$

요소 중$m$

개 요소의 순열 개수는 또는$P_n^m$

또는 $P(n,m)$

로$A_n^m$

표기한다:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

이해:

• 위치 1:$n$

가지 선택

• 위치 2:$n-1$

가지 선택

• ...
• 위치$m$

:$n-m+1$

가지 선택

곱의 원리에 의해:

완전순열

일$m = n$

때,$A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

완전순열이라 부름:

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

약정: $0! = 1$

일반적인 값

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

|$1$

| |$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

특수 순열

1. 완전순열

원래 위치에 있는 요소가 하나도 없는 순열의 개수:

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

근사값: $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. 순환순열

서로 다른 개 요소를$n$

원형으로 배열할 때:

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(고정된 시작점이 없으므로, 로$n$

나눕니다)

3. 중복

$n$

원소 있는 순열:$n_1$

개 동일,$n_2$

개 동일, ...,$n_k$

개 동일 ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

계산 기법

기법 1: 단계별 곱셈

예시: 10명 중 3명을 회장, 부회장, 서기로 선택. 몇 가지 방법?

해법:

• 회장: 10명 중 선택
• 부회장: 9명 중 선택
• 서기: 8명 중 선택

답: $10 \times 9 \times 8 = 720$

기법 2: 특별한 요소 먼저 처리하기

예시: 5명이 줄을 서는데 A는 반드시 맨 앞에 서야 한다. 몇 가지 방법이 있는가?

해법:

• A를 고정: 1가지 방법
• 남은 4명 배열: $4! = 24$

답: $1 \times 24 = 24$

기법 3: 보완 계수법

예시: 5명이 줄을 서는데 A와 B가 인접하지 않게 배열하는 방법?

해법:

• 전체 배열: $5! = 120$

• A와 B 인접 (하나로 간주): $2! \times 4! = 48$

• 인접하지 않음:$120 - 48 = 72$

답:

$72$

CSCA 연습문제

[예제 1] 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

를 계산하라$A_6^3$

.

해법: 또는

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

답:

---$120$

[예제 2] 중급 (난이도 ★★★☆☆)

사진을 찍기 위해 5명이 줄을 섭니다. A와 B는 반드시 함께 서야 합니다. 몇 가지 방법이 있을까요?

해법:

묶음 방법:

1. A와 B를 하나의 단위로 간주하고, 4개의 단위를 배열합니다: $4! = 24$

2. A와 B의 내부 배열: $2! = 2$

답:$24 \times 2 = 48$

흔한 오해

❌ 오해 1: 순열과 조합 혼동

잘못된 예: 순서를 고려하지 않고 순열을 조합으로 오인

정확한 예: 순열은 순서가 중요, 조합은 순서가 무관

❌ 오해 2: 특수 제약 조건 누락

잘못된 예: "첫 자리가 0일 수 없음" 같은 조건 무시

정확: 특수 위치나 요소를 먼저 처리

조합과의 관계

$A_n^m = C_n^m \times m!$

이해:

• 에서 개$m$

$n$

선택: $C_n^m$

• 이$m$

개 요소를 배열: $m!$

학습 팁

1. ✅ 본질 이해: 순열은 순서를 강조

2. ✅ 공식 숙지:$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ 기법 연습: 특수 요소 우선, 그룹화, 삽입, 보완

4. ✅ 사례 분석: 복잡한 문제는 분류가 필요

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💡 시험 팁: 순열은 조합론의 기초로, CSCA 필수! 계수 문제의 약 40%를 차지합니다. 사례 분석과 특수 처리 기법 숙달이 핵심입니다.