combination | CSCA Math Glossary

핵심 개념

조합이란 순서를 고려하지 않고 서로 다른 개 $n$

요소 ( $m \leq n$

) 중에서 개 $m$

요소를 선택하는 것이다.

주요 특성

순서는 중요하지 않음: 동일한 요소를 다른 순서로 배열해도 하나의 조합으로 간주
중복 없음: 각 원소는 최대 한 번만 사용
선택: 개의 원소 $n$

( $m \leq n$

) 중에서 개를 $m$

고름

순열과의 차이

순열: 순서가 중요하며, $\{A, B, C\}$

와 $\{B, A, C\}$

는 서로 다름

조합: 순서가 중요하지 않으며, $\{A, B, C\}$

와 $\{B, A, C\}$

는 동일함

조합 공식

개 $n$$m$

원소 중 개의 원소를 고르는 조합의 개수, 또는 $\binom{n}{m}$

또는 $C_n^m$

로 $C(n,m)$

표기:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

이해:

먼저 배열: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
내부 순서 제거: $A_m^m = m!$
결과: $C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

조합의 성질

1. 대칭성

$C_n^m = C_n^{n-m}$

의미: 개 $m$

원소 $n$

중 개 고르기 = $n-m$

개 원소 $n$

중 개 남기기 ### 2. 파스칼의 항등식

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

의미: 특정 원소 포함 + 특정 원소 제외

3. 특수값

- $C_n^0 = 1$

(선택 없음, 1가지 방법) - $C_n^1 = n$

(하나 선택, $n$

가지 선택지) - $C_n^n = 1$

(모두 선택, 1가지 방법)

4. 이항합

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

(개 원소 중 임의 개 원소 $n$

선택 총 방법)

계산 기법

기법 1: 대칭성

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

활용### 기법 2: 파스칼의

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

항등식### 기법 3: 취소에 의한

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

단순화

CSCA 연습 문제

[예제 1] 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

를 계산하라 $C_7^3$

해법:

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

답안:

--- $35$

[예제 2] 중급 (난이도 ★★★☆☆)

10명의 남학생과 8명의 여학생 중에서 여학생이 최소 2명 포함된 팀을 구성하기 위해 5명을 선택하는 방법의 수는?

해법:

경우 분석:

경우 1: 여자 2명, 남자 3명: $C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

경우 2: 여자 3명, 남자 2명: $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

경우 3: 여자 4명, 남자 1명: $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

경우 4: 여자 5명, 남자 0명: $C_8^5 = 56$

답안: $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

흔한 오해

❌ 오해 1: 조합과 순열 혼동

잘못됨: 5명을 줄 세우는 데 $C_n^5$

사용

정확함: 줄은 순서가 있으므로 $A_n^5$

❌ 오해 2: 경우 분석 생략

잘못됨: "여자 최소 2명"을 직접 계산

정답: 경우로 나누기: 여자 2명, 3명, 4명, 5명

순열과의 관계

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

학습 팁

✅ 본질 이해: 조합은 순서를 무시함
✅ 공식 숙지: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
✅ 성질 기억: 대칭성, 파스칼의 항등식
✅ 경우 분석: "최소", "최대"는 경우 구분 필요
✅ 순열과 구분: 순서 유무 확인

💡 시험 팁: 조합은 수론의 핵심으로, CSCA 필수! 계수 문제의 약 60%를 차지합니다. 경우 분석과 포함-제외 원리는 필수 기술입니다.

组合zǔhé