方差fāngchā

Concept fondamental

La variance d'une variable aléatoire mesure la dispersion de ses valeurs autour de l'espérance (moyenne).

Définition

Pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu = E(X)$ :

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Notation

• $\text{Var}(X)$ ou $V(X)$ - Variance de $X$
• $\sigma^2$ (sigma au carré) - Symbole courant pour la variance
• $D(X)$ - Notation alternative (utilisée dans les manuels chinois)

Deux formules

Formule 1 : Définition

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Formule 2 : Formule de calcul (plus pratique)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Moyen mnémotechnique : « Moyenne des carrés moins carré de la moyenne »

Propriétés de la variance

1. Non-négativité

$\text{Var}(X) \geq 0$

L'égalité n'est vérifiée que si $X$ est constante.

2. Facteur constant

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Remarque : le facteur est élevé au carré.

3. Ajout d'une constante

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

L'ajout d'une constante ne modifie pas la dispersion.

4. Transformation linéaire combinée

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Somme de variables indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Attention : cela ne s'applique PAS aux variables dépendantes !

6. Variance d'une constante

$\text{Var}(c) = 0$

Distributions courantes

Distribution	Variance
Bernoulli($p$)	$p(1-p)$
Binomiale($n, p$)	$np(1-p)$
Uniforme discrète($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : les exercices suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★★☆☆☆)

Une variable aléatoire $X$ a la distribution suivante :

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Calculez $\text{Var}(X)$.

Solution :

D'abord, calculer $E(X)$ : $E(X) = 0(0{,}3) + 1(0{,}5) + 2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9$

Calculer $E(X^2)$ : $E(X^2) = 0^2(0{,}3) + 1^2(0{,}5) + 2^2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$

Appliquer la formule : $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49$

Réponse : $\text{Var}(X) = 0{,}49$

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Exemple 2 : niveau intermédiaire (difficulté ★★★☆☆)

Si $\text{Var}(X) = 4$, calculez $\text{Var}(3X + 2)$.

Solution :

En utilisant la propriété $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ : $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Réponse : $36$

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Exemple 3 : niveau avancé (difficulté ★★★★☆)

Si $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 8$, calculez $\text{Var}(2X - 3)$.

Solution :

D'abord, calculer $\text{Var}(X)$ : $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Puis : $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Réponse : $16$

Écart type

L'écart type est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

L'écart type a les mêmes unités que $X$, ce qui le rend plus facile à interpréter.

Variance vs. Espérance

Propriété	Espérance $E(X)$	Variance $\text{Var}(X)$
Mesure	Centre (position)	Dispersion
Transformation linéaire	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Somme	Toujours additive	Additive seulement si indépendantes

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : oublier d'élever le coefficient au carré

Faux : $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Correct : $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Erreur 2 : additionner les variances de variables dépendantes

Faux : Si $X$ et $Y$ sont dépendantes, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Correct : Cela ne fonctionne que pour des variables indépendantes ✓

❌ Erreur 3 : confondre variance et écart type

Faux : L'écart type de la loi binomiale($n,p$) est $np(1-p)$ ✗

Correct : La variance est $np(1-p)$ ; l'écart type est $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Conseils d'étude

1. ✅ Utiliser la formule de calcul : $E(X^2) - (E(X))^2$ est généralement plus simple
2. ✅ Le coefficient est élevé au carré : $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Vérifier l'indépendance : la variance d'une somme n'est additive que pour des variables indépendantes
4. ✅ Connaître la variance binomiale : $np(1-p)$ est fréquemment testé

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💡 Conseil pour l'examen : lors du calcul de la variance, calculez toujours $E(X)$ et $E(X^2)$ séparément d'abord. La formule de calcul est moins sujette aux erreurs que la définition !