数学期望shùxué qīwàng

Concept fondamental

La valeur attendue (ou moyenne mathématique) d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles, les poids correspondant aux probabilités.

Variable aléatoire discrète

Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \ldots, p_n$ :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Notation

• $E(X)$ - Valeur attendue de $X$
• $\mu$ (mu) - Souvent utilisé pour désigner la valeur attendue
• $\overline{X}$ - Moyenne de l'échantillon (estimation de $E(X)$)

Interprétation

La valeur attendue correspond à :

• La moyenne à long terme de nombreux essais indépendants
• Le centre de masse de la distribution de probabilité
• La juste valeur dans les contextes des jeux d'argent et de la finance

Important : la valeur attendue peut ne pas correspondre à un résultat réellement possible.

Propriétés de la valeur attendue

1. Linéarité

$E(aX + b) = aE(X) + b$

où $a$ et $b$ sont des constantes.

2. Somme de variables aléatoires

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Cela reste vrai même si $X$ et $Y$ ne sont PAS indépendants.

3. Produit de variables indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendants : $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Valeur attendue d'une constante

$E(c) = c$

Distributions courantes

Distribution	Valeur attendue
Bernoulli ($p$)	$p$
Binomial ($n, p$)	$np$
Uniforme ($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Géométrique ($p$)	$\dfrac{1}{p}$

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants ont été élaborés sur la base du programme de l'examen du CSCA.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★★☆☆☆)

Une variable aléatoire $X$ suit la loi suivante :

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Recherchez le modèle $E(X)$.

Solution : $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$ $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

Réponse : $E(X) = 2.1$

---

Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si c'est $E(X) = 3$, cherchez $E(2X + 5)$.

Solution :

Utilisation de la linéarité : $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Réponse : $11$

---

Exemple 3 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

On lance une pièce impartiale 100 fois. Soit $X$ le nombre de faces. Déterminez la valeur de $E(X)$.

Solution :

La variable $X$ suit une distribution binomiale, tout comme les variables $n = 100$ et $p = 0.5$.

$E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50$

Réponse : $E(X) = 50$

---

Exemple 4 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Une boîte contient 3 boules rouges et 2 boules blanches. On tire deux boules au hasard, sans remise. Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. Déterminez la valeur de $E(X)$.

Solution :

Déterminez la distribution de $X$ :

$P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{C_5^2} = \dfrac{1}{10}$ (les deux en blanc)

$P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10}$ (un rouge, un blanc)

$P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$ (les deux rouges)

$E(X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$ $= 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$

Réponse : $E(X) = 1.2$

---

Exemple 5 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★★)

Si $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 8$ existent, trouvez $E((X-1)^2)$.

Solution :

Développer : $E((X-1)^2) = E(X^2 - 2X + 1)$ $= E(X^2) - 2E(X) + 1$ $= 8 - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$

Réponse : $5$

Applications concrètes

1. Jeux autorisés

Un jeu est « équitable » si $E(\text{profit}) = 0$.

Exemple : Vous payez 2 ¥ pour lancer une pièce. Face : vous gagnez 4 ¥. Pile : vous ne gagnez rien. $E(\text{profit}) = 0.5 \times (4-2) + 0.5 \times (0-2) = 1 - 1 = 0$ C'est un jeu équitable.

2. Assurance

Les compagnies d'assurance se basent sur la valeur attendue pour fixer le montant des primes.

3. Analyse des investissements

Le rendement attendu permet de comparer les différentes options d'investissement.

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : confondre E(X) avec la valeur la plus probable

Faux : $E(X)$ est la valeur qui revient le plus souvent ✗

Correct : $E(X)$ correspond à la moyenne pondérée ; le mode est la valeur la plus fréquente ✓

❌ Erreur n° 2 : oublier que la somme des probabilités doit être égale à 1

Avant de procéder au calcul, vérifiez : $\sum p_i = 1$

❌ Erreur n° 3 : mauvaise application du principe de linéarité

Incorrect : $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Correct : En général, $E(X^2) \neq (E(X))^2$. La différence, c'est la variance ! ✓

Lien avec la variance

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Ou, ce qui revient au même : $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Conseils pour étudier

1. ✅ N'oubliez pas la formule : $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Maîtrise de la linéarité : $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Connaître les distributions courantes : la valeur attendue de la distribution binomiale est $np$
4. ✅ À ne pas confondre avec la variance : $E(X^2) \neq (E(X))^2$

---

💡 Astuce d'examen : lorsqu'on vous présente un tableau de distribution de probabilités, vérifiez d'abord que la somme des probabilités est égale à 1, puis appliquez directement la définition !