数学期望shùxué qīwàng

Concept fondamental

L'espérance mathématique (ou valeur espérée) d'une variable aléatoire est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles, où les poids sont les probabilités.

Variable aléatoire discrète

Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \ldots, p_n$ :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Notation

• $E(X)$ - Espérance de $X$
• $\mu$ (mu) - Souvent utilisé pour désigner l'espérance
• $\overline{X}$ - Moyenne de l'échantillon (estimation de $E(X)$)

Interprétation

L'espérance représente :

• La moyenne à long terme de nombreux essais indépendants
• Le centre de masse de la distribution de probabilité
• La valeur équitable dans les contextes de jeux de hasard/finance

Important : L'espérance n'est pas nécessairement un résultat réellement possible.

Propriétés de l'espérance

1. Linéarité

$E(aX + b) = aE(X) + b$

où $a$ et $b$ sont des constantes.

2. Somme de variables aléatoires

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Ceci est valable même si $X$ et $Y$ ne sont PAS indépendants.

3. Produit de variables indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendants : $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Espérance d'une constante

$E(c) = c$

Distributions courantes

Distribution	Espérance
Bernoulli($p$)	$p$
Binomiale($n, p$)	$np$
Uniforme($\{1,2,...,n\}$)	$\dfrac{n+1}{2}$
Géométrique($p$)	$\dfrac{1}{p}$

Problèmes d'entraînement CSCA

💡 Note : Les problèmes d'entraînement suivants sont conçus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Une variable aléatoire $X$ a la distribution suivante :

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Calculez $E(X)$.

Solution : $E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3$ $= 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

Réponse : $E(X) = 2{,}1$

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Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si $E(X) = 3$, calculez $E(2X + 5)$.

Solution :

En utilisant la linéarité : $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Réponse : $11$

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Exemple 3 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

On lance une pièce équilibrée 100 fois. Soit $X$ le nombre de fois que l'on obtient face. Calculez $E(X)$.

Solution :

$X$ suit une loi binomiale avec $n = 100$, $p = 0{,}5$.

$E(X) = np = 100 \times 0{,}5 = 50$

Réponse : $E(X) = 50$

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Confondre E(X) avec la valeur la plus probable

Faux : $E(X)$ est la valeur qui apparaît le plus souvent ✗

Correct : $E(X)$ est la moyenne pondérée ; le mode est la valeur la plus fréquente ✓

❌ Erreur 2 : Oublier que les probabilités doivent sommer à 1

Avant de calculer, vérifiez : $\sum p_i = 1$

❌ Erreur 3 : Mauvaise application de la linéarité

Faux : $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Correct : En général $E(X^2) \neq (E(X))^2$. La différence est la variance ! ✓

Relation avec la variance

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Ou de manière équivalente : $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Conseils d'étude

1. ✅ Retenir la formule : $E(X) = \sum x_i p_i$
2. ✅ Maîtriser la linéarité : $E(aX+b) = aE(X)+b$
3. ✅ Connaître les distributions courantes : L'espérance de la loi binomiale est $np$
4. ✅ Ne pas confondre avec la variance : $E(X^2) \neq (E(X))^2$

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💡 Conseil pour l'examen : Lorsqu'un tableau de distribution de probabilités est donné, vérifiez d'abord que la somme des probabilités vaut 1, puis appliquez directement la définition !