排列páiliè

Concept fondamental

Une permutation est un arrangement de$m$

éléments ($m \leq n$

) sélectionnés parmi éléments$n$

distincts dans un ordre spécifique.

Caractéristiques clés

1. L'ordre est important : des ordres différents correspondent à des permutations différentes.
2. Pas de répétition : chaque élément est utilisé au maximum une fois.
3. Sélection : choisir$m$

parmi$n$

éléments ($m \leq n$

)

Formule de permutation

Permutation générale

Le nombre de permutations de$m$

éléments parmi éléments$n$

distincts, noté$A_n^m$

ou$P_n^m$

ou$P(n,m)$

:

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

Compréhension :

• Position 1 : $n$

choix

• Position 2 : $n-1$

choix

• ...
• Position$m$

: $n-m+1$

choix

Par principe de multiplication : $A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1)$

Permutation complète

Lorsque$m = n$

, appelée permutation complète :

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Convention : $0! = 1$

Valeurs courantes

|$n$

|$n!$

| |-----|------| |$0$

| |$1$

|$1$

|$1$

| |$2$

|$2$

| |$3$

|$6$

| |$4$

|$24$

| |$5$

|$120$

| |$6$

|$720$

|

Permutations spéciales

1. Dérangement

Nombre de permutations où aucun élément n'est dans sa position d'origine :

$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$

Approximation : $D_n \approx \frac{n!}{e}$

2. Permutation circulaire

Disposition de $n$

éléments distincts en cercle :

$Q_n = \frac{A_n^n}{n} = (n-1)!$

(Pas de point de départ fixe, diviser par$n$

)

3. Permutations avec répétition

$n$

éléments avec$n_1$

identiques,$n_2$

identiques, ...,$n_k$

identiques ($n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$

):

$\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}$

Techniques de calcul

Technique 1 : multiplication étape par étape

Exemple : sélectionner 3 personnes parmi 10 pour les postes de président, vice-président et secrétaire. Combien de combinaisons possibles ?

Solution :

• Président : 10 choix
• Vice-président : 9 choix
• Secrétaire : 8 choix

Réponse : $10 \times 9 \times 8 = 720$

Technique 2 : traiter d'abord les éléments spéciaux

Exemple : 5 personnes en ligne, la personne A doit être la première. Combien de possibilités ?

Solution :

• A fixe en premier : 1 possibilité
• Organiser les 4 restants : $4! = 24$

Réponse : $1 \times 24 = 24$

Technique 3 : Comptage complémentaire

Exemple : 5 personnes dans une file, A et B ne sont pas adjacents. Combien de possibilités ?

Solution :

• Nombre total d'arrangements : $5! = 120$

• A et B adjacents (considérés comme un seul) : $2! \times 4! = 48$

• Non adjacents :$120 - 48 = 72$

Réponse : $72$

Problèmes pratiques CSCA

[Exemple 1] Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Calculez$A_6^3$

.

Solution : Ou

$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 120$

Réponse :

---$120$

[Exemple 2] Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

5 personnes s'alignent pour une photo, A et B doivent se tenir ensemble. Combien de façons ?

Solution :

Méthode de regroupement :

1. Traiter A et B comme une seule unité, disposer 4 unités : $4! = 24$

2. Disposer A et B à l'intérieur : $2! = 2$

Réponse :$24 \times 2 = 48$

Idées fausses courantes

❌ Idée fausse n° 1 : confondre permutation et combinaison

Faux : ne pas tenir compte de l'ordre, traiter la permutation comme une combinaison.

Correct : la permutation est ordonnée, la combinaison est non ordonnée.

❌ Idée fausse n° 2 : oublier les restrictions spéciales

Faux : ignorer des conditions telles que « le premier chiffre ne peut pas être 0 ».

Correct : traiter d'abord les positions ou les éléments spéciaux

Relation avec la

$A_n^m = C_n^m \times m!$

combinaison

Compréhension :

• Sélectionner$m$

parmi$n$

: $C_n^m$

• Organiser ces$m$

éléments : $m!$

Conseils d'étude

1. ✅ Comprendre l'essence : la permutation met l'accent sur l'ordre

2. ✅ Maîtriser la formule :$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

3. ✅ Techniques d'entraînement : éléments spéciaux en premier, regroupement, insertion, complément

4. ✅ Analyse de cas : les problèmes complexes nécessitent une classification

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💡 Conseil pour l'examen : la permutation est fondamentale en combinatoire, obligatoire en CSCA ! Elle représente environ 40 % des problèmes de comptage. Il est essentiel de maîtriser l'analyse de cas et les techniques de traitement spécial.